Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 38
Текст из файла (страница 38)
— радиальное квантовое число. % и] АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ где г~ и г2 ) г1 — корни подынтегральной функции. Вычисляя последний интеграл (точно), найдем: ( в ч/л Подставим сюда вместо А и В их значения из (12.5) и введем главное квантовое число и = 1 + и, + 1. Тогда для спектра энергии получим ту же самую формулу, которая была найдена по теории Шредингера (см. (12.32)): В .~/П2О ХЕР ч/А чl — ГЕ (12.98) Этот вывод не является случайным, поскольку в теории Шредингера квантовые уровни получаются в членах, пропорциональных й, а квазиклассический метод позволяет их точно учитывать.
Из формулы (12.97) можно сделать важный вывод о том, что при использовании квазиклассических выражений для центральных сил в орбитальном моменте необходимо сделать замену 1 (1 + 1) + (1 + /2) ° (12. 99) й 23. АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ Если атом поместить во внешнее постоянное электрическое поле, то его спектральные линии, вообще говоря, могут расщепляться. Такое явление было обнаружено в 1913 г.
в опытах Штарка. В этом параграфе построена квантовая теория э4>фекти Штарка для атома водорода. Внешнее электрическое поле выделяет определенное направление в пространстве. Поэтому решение уравнения Шредингера для атома водорода в электрическом поле удобно искать не в сферических координатах, как в й 12, а в параболических координатах. Рассмотрим вначале решение уравнения Шредингера для атома водорода, разделяя переменные в параболических координатах. а) Квантование атома водорода в параболических координатах. Вырождение в кулоиовском поле по квантовому числу 1 связано с тем, что переменные в уравнении Шредингера могут Возвращаясь в последнем интеграле к прежней переменной г = е", будем иметь О ~( — А+ — —, ' ) дг=и(п,+'/2), (12.97) НЕРЕЛЯТИВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА быть разделены не только в сферических координатах, как в любом другом центральном поле, но также и в параболических координатах. Эта возможность является специфической для кулоновского поля.
Если в сферических координатах имелись три коммутирующих оператора Н, Е' и 1.„ собственные функции которых определяли полный набор состояний атома водорода, то в параболических координатах мы можем выбрать другую тройку операторов Н, В, и 1.„которые также, согласно (12.55) и (12.59), коммутируют между собой и, стало быть, сохраняются. Новый набор состояний, задаваемый этими операторами, из-за некоммутативности операторов 12 и В, (см. (12.60)) не будет, очевидно, совпадать с прежним.
Для того чтобы отыскать собственные функции операторов Н, В, и 1„запишем уравнение Шредингера для электрона в кулоновском поле ядра ХЕВ 2 аггее 2 (13.1) г В + Ч Разделяя переменные фй 21 1р)=11(0)г(21)Ф(1р), (13.3) получим для функций Ф, )1 и )2 уравнения ееФ вЂ” = — и2Ф д,а2 (13.4) где так же, как и в (12 5), 2 д Ве (13.5) а и22, В1 и В2 — постоянные разделения, причем В+В =В= — „, мое ее (13.6) в параболических координатах с помощью полученного в и 10 выражения (10.16) для лапласиана 721 з !з! АТОМ ВОЛОРОЛА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 233 и параметров в, в, в — — 1)!+6з=— чГА ч/А запишем в виде (13,9) —, + — — + ~ — + — — —,~ (, =О, (13АО) и*1, ! Л(, Г ! 3, т Т ИР! Р ЛР! ~ 4 Р 4РЕ! ~ и точно такое же уравнение получится для !Е(рз) с параметром 6ь Предположим вначале, что т ) О.
Тогда, аналогично тому, как это было сделано при решении уравнения (12.7), отделяем конечные при р! -э ОО и р! -~ 0 асимптотики ! ! (р,) = е-ипр! пи,(р,). (13.11) Функция и!(р!) удовлетворяет уравнению р! — з+(т+ 1 — р!) — + ~6! — — !и! =О. (13.12) е и~ еи, г т+!х ЛР! ЕР, ~' 2 )' Подобно решению уравнения (12.15) функция и! будет полиномом, и характер поведения решения !!(р!) в нуле и на бесконечности будет определяться множителями перед и! в формуле (13.11), если коэффициент в последнем члене уравнения (13.12) р! — = и! т+1 2 (13.13) удовлетворяет условию и, = О, 1, 2, 3, ... (т) О).
(13.14) В этом случае и! представляет собой полипом Лагерра степени п!, определенный равенством (12.36) и! (р!) =(~щ(р!), (13.15) а п! называют параболическим квантовым числом. Второе уравнение для из(рз) решается точно так же, и мы получаем из (рз) = 1,!„(рз), (13.16) Решение первого из этих уравнений Ф(<р)=е' ! (13.7) при т = О, ~1, ~2, ~3, ... является, очевидно, собственной функцией оператора 1, Остальные два уравнения после введения новых переменных р =~/Ае, р =ТГА!! (13.8) НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !ч. ! где т+1 (13.17) причем (13.18) пэ=О, 1, 2, ... (т~)0).
Аналогично мы могли бы рассмотреть случай отрицательных пг, однако проще всего это сделать с помощью соотношения п! — — п!+т=О, 1,2, ..., йэ = пе + ги = О, 1, 2, ... (т ( 0). (13.20) Таким образом, стационарное состояние атома водорода можно задать тремя квантовыми числами: магнитным т = О, ~1, ~2, ... и двумя параболическими и! и пм пределы изменения которых при т ) 0 и т ( 0 задаются соответственно условиями (13.14), (13.18) и (13.20).
Волновая функция, определяющая это состояние, может быть записана в виде !»+м »Р„,„,,„= С„,„,,„е ' (Р!Рэ) ~Я,", (Р!) !',1,",, (Ре) е' ~, (13.21) где С„„— нормировочный коэффициент. Складывая (13.!3) и (13.17) с учетом (13.9), находим в — =и, + пе+ т+ 1= и!+ й, — т+ 1 =л. ЯГА (13.22) Отсюда следует, что главное квантовое число п принимает только целые положительные значения л = 1, 2, 3, ... и, согласно (13.5), определяет уровни энергии, для которых получаем прежнее выражение (12.41).
Из равенства (13.22) ясно также, что уровень с номером и вырожден по т и одному из чисел и! или пм причем л! изменяется в пределах от 0 до п — т — 1 при фиксированном значении т ) О. Точно так же легко найти изменение квантового числа й! в пределах от 0 до п — ( т ( — 1 при т ( О. Поэтому кратность вырождения равна »»-1 и+2 ~ (и — т)=лт, которое выполняется для полиномов Лагерра (12.36).
Тогда этот случай сводится к предыдущему с той разницей, что следует ввести новые квантовые числа и, и пм которые должны быть целыми и неотрицательными: % и! АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ т. е. она такая же, как н при использовании сферических координат. Учитывая выражение (10.16) для элемента объема в параболических координатах и вычисляя интегралы по 5 и и так же, как это было сделано в примечании после формулы (12.40), можно доказать ортонормированность функций фл,л, ф' г('х Ь'. ° ф = б лб б '"~"е 'ч г ~~~1 ~г~е (13.23) при соответствующем выборе коэффициента С„„. Вводя функции Лагерра л-л 7л,(р) ==а ' р Я," *(Р) (13.24) ~/л1е! т.
е. являются собственными функциями оператора проекции эксцентриситета (см. 5 12) на ось г. Оператор В, можно записать в следующем виде: В,= — ~ЕУ — (1+ гт7) — ~+ е . (!3.27) = гее ео' дг .1 Воспользуемся далее выражением для У' в параболических координатах (10.16) и соотношением (1+гч)д = — (й д е +$ дй — Т1~ д, — Т!д ), (!3.28) д 2 е дл д е д| д после чего, переходя к новым переменным р1 и рэ (см.
(13.8)), получим 1 Г 2Р~Ре ~ д' 1 д дл 1 д Х е = — — — — — — + — + —— 2 + е + л (р1+ре \, др1 р1 др~ ' дре ' ре дре) — — «'1+ Р' "*, (13,29) 2 р1рл .! р~+ рз ' запишем нормированные волновые функции атома водорода в параболических координатах е 2 х А е"лл Флвл =( — ) —,~- )л+ллл,(р!) 7л+т.л,(р1) (13.26) г а* где ае= — = †, — радиус первой боровской орбиты. В юеее Покажем теперь, что фл,,л, будучи собственными функциями операторов Н и 1., с собственными значениями соответственно Ел и и, удовлетворяют также уравнению Влфл лел "ч'л;лелю (!3.26~ негвлятивистскоя квантовая мвхонико !Ч. 1 236 Л= и~ — ио и (13.30) Величина Л при заданном л принимает 2л — 1 значение, изменяясь в пределах — — '~<Л ~< —" (13.31) и и Выражение (!3.30) для собственного значения Л вектора эксцентрнситета е, помогает понять физический смысл квантовых чисел и1 и иь В квазиклассическом приближении вектор е направлен от фокуса по большой оси эллипса, и поэтому прн и1 ) и, величина Л ) О, т.
е. ббльшая часть орбиты расположена в области г ) О, а при и, < ио, наоборот, в области г < О. б) Эффект Штарка. Расщепление спектральных линий атома, помещенного в электрическое поле, т. е. эффект Штарка, не нашло своего объяснения в классической теории, и только квантовая механнка позволила построить теорию этого эффекта. В самом деле, согласно классическим представлениям движение электрона в атоме всегда можно разложить на три взаимно ортогональных колебания.
Направим ось г параллельно постоянному электрическому полю Ю(Е„= Юо — — О, Ю,= Е). Тогда энергия взаимодействия электрона с полем го будет равна Г = — егЮ = е,гэ (е = — ео), (!3.32) а колебания вдоль оси г будут описываться уравнением тог + тооФ ео~ (13.33) где то — масса электрона, а гоо — круговая частота его колебаний. Нетрудно видеть, что решение уравнения (13.33) имеет внд г= — — ', +Асов(гоо!+ф). (13.34) момо Таким образом, действие постоянной силы ( — еод') по классической теории приводит лишь к изменению положения точки где мы учли, что оператор а, действует на ф„„„, и поэтому ввели главное квантовое число и, а оператор — д'/д<ро заменили его собственным значением то.
Действуя теперь оператором (13.29) на функцию Фто, ~ (13.25) и принимая во внимание уравнения (13.10), которым подчиняются функции ! +,„и ! + ., получаем собственное значение АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 237 з ке равновесия системы, но никоим образом не сказывается на частоте колебаний. Следовательно, в соответствии с классическими представлениями частота излучения атомов, определяемая частотой механических колебаний атомных электронов, вопреки экспериментам, не должна зависеть от того, помещен ли атом в электрическое поле или нет.
Рассмотрим теперь эффект Штарка, основываясь на квантовых представлениях. Существуют линейный и нелинейньш" штарк-эффект. Первый из иих характерен лишь для водородоподобных атомов. Это связано с тем обстоятельством, что для водородоподобных атомов имеет место вырождение не только по магнитному квантовому числу гл, но и по орбитальному квантовому числу ! (см. 3 12), н поэтому состояние с определенной энергией является суперпозицией состояний с различными значениями й Следовательно, такое состояние не обладает определенной четностью (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
