Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 34
Текст из файла (страница 34)
') Условия нормировки в этом случае будут такими же, как и для сво. бодного движения. Поэтому нормировочный коэффициент мы оставляем таким же, как и в формуле (11.57!. Интегрируя последнее выражение от О до достаточно больших значений г, мы имеем право в левую часть (!1.59), зависящую после подстановки пределов только от конечного значения г, подставить асимптотические решения (11.57) и (11.58). После простых преобразований мы найдем 4 м1 ткооия водородоподовного атома 207 (11.56) ), получаем б, = — — "„"," ~ Угу„'„(йг)г(г.
е (!! .60) Формулы (11.68) и (!1.60) и определяют асимптотическое пове- дение радиальной части волновой функции при малых значе- ниях бг (б~ << 1). й 12. ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА (ПРОБЛЕМА КЕПЛЕРА) Исследование движения одного электрона в кулоновском поле ядра (водородоподобный атом) с помощью квантовой механики открывает путь к изучению структуры атома вообще. Эта теория представляет собой в математическом отношении квантовое обобщение классической теории движения планеты вокруг Солнца (проблема Кеплера).
Она интересна еще и в методическом отношении, так как наряду с задачей о гармоническом осцилляторе и ротаторе допускает точное решение. а) Радиальное уравнение. Энергия взаимодействия электрона с ядром равна хе о (! 2.1) где г — расстояние между ними, Я вЂ” порядковый номер атома (для водорода У = 1, для гелия г. = 2 и т.
д.), а заряд электрона и заряд ядра равны соответственно — еэ и лес. Во многих задачах ядро в атоме можно считать покоящимся *), и естественно поместить туда начало координат. Тогда угловую часть Уг волновой функции ф можно считать известной (см. (!0.67)), а для нахождения уровней энергии и радиальной части )с(г) воспользоваться уравнением (!0.2!), которое в на)дем случае принимает вид З 2шО ( Ее~ Л 1(1+1) 1 2шегз (12.2) ') Строго говоря, неподвижным может оставаться только центр тязкести системы.
Однано, учитывая, что масса самого легкого атома — водоро. да — примерно в 1840 раз больше массы электрона, центр тяжести должен лежать от ядра на расстоянии, в 1840 раз меньшем, чем от электрона, т. е. в первом приближении можно считать, что он совпадает с положением ядра, куда мы и помещаем начало координат. Поправки, которые вносит учет движения ядра,мы рассмотрим в конце этого параграфа. НВРЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МРХАННКА Введем эффективную потенциальную энергию электрона лео " 1(1+ !) (' ВВ= + (12.3) первый член которой обусловлен кулоновским взаимодействием, а второй — центробежными силами.
Попытаемся дать интерпретацию выражения (12.3) с точки зрения классической теории. Будем исходить из классического соотношения (см. также (10.70) ) 2 — Š— ( — — е ) (12.3а) г 2лаага 2гла Учитывая, далее, что для центральных сил рч — — сопя!, можем написать: ге р з з Уаеф- — — +— г 2зааг' ' Графически )гаев представлена на рнс.
12.1. Иэ этого графика, в частности, следует, что если полная энергия электрона отрицательна Е ( О, то его движение будет происходить в области, ограниченной с обеих сторон потенциальными барьерами (классический аналог — эллиптические орбиты), благодаря чему энергетический спектр должен иметь дискретный характер. При Е ) О барьер справа (г-ь оо) будет отсутствовать, и положение электрона перестает быть ограниченным со стороны больших г (классический аналог — гиперболические орбиты). Так как в атоме положение электрона должно быть ограничено некоторым значением гиаяс (эллиптические орбиты), то при построении теории атома следует считать Е ( О.
Тогда уравнение (!2.2) принимает вид — + —,— „, + ~ — А+ — — „, ) )(=О, (12А) а(а)7 2 а()7 г 2В !(!+ 1) ч где ш,г з 2лаеЕ =В > О и — —,=А > О. (12.5) Вводя новую переменную р = 2 )!'А г', (12.6) 1)ля того чтобы обобшить зто выра хенне на квантовый случай, следует вместо р подставить его квантовое значение ре=й 1(1+1). Точно так же т 2 з в фоРмУле (12.2) выРажение — !ч —, (гг~ можно согласно классической 2гла 'ч 1 Р,' теории трактовать как— 2гла 209 ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОВНОГО АТОМА получаем уравнение Йм + — К'+ ~ — — + — — — ~ й = О, (12.7) 2, г 1 В (((+1) 1 где )т' = (йг/(1р). Исходя из графика для )гофф, можно судить об общем ха- РаКтЕРЕ РЕШЕНИЯ.
ЯСНО, ЧтО ВНУТРИ ЯМЫ Гмин ( Г ( Гмакс ОНО будет иметь колебательный характер, а вне ее (г-+ О и г-ь оо) Рис. 12.1. График зависимости аффективной потенпяальной виергии (спломнав яриваа) от расстоякия (см. формулу (!2.З)). Штрнкпунктирной кривой показан кол волновой функции. возникнут как неограниченно возрастающие, так и убывающие решения. Необходимо подобрать такие условия, которые позволят исключить неограниченно возрастающие решения.
Это требование, так же как и в задаче гармонического осциллятора, должно привести к пахом(дению дискретных уровней энергии электрона. Поскольку яма не обладает симметрией, асимптотические решения будем искать по отдельности, как при р - О, так и при Р -В. ОО. Асимптотическое решение при р-~ оо можно найти согласно (12.7) из уравнения 11т — 17()1 =О, (12.8) т. е 1Т„=С(е "+Сйеап. (12.9) Чтобы исключить экспоненцнально возрастающее решение, следует положить Сй — — О. Коэффициент же С) может быть вклю- НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1Ч. ! 2!О чен в общий нормировочный множитель волновой функции, и поэтому его можно приравнять единице. Тогда !т =е (12.10) (12.12) Полагая Сэ = О (при этом неограниченно возрастающее решение при р = О исключается), а С! = 1, получаем )т!е = Р ° (!2.!3) Общее решение уравнения (12.7), которое можно также записать в виде !22р о + ~рй=О (!2.7а) (л выберем в форме В этом случае ТС = )т' !кои.
р!т'=р! ые 'аеи =ои, (12.14) н для определения неизвестной функции и получаем уравнение и+2и' +1 +, ~и=О. (127б) Замечая, что ! п о = — — р + (1 + 1) !п р, 1 находим ! !+1 г / 1 !+1Ъ вЂ” =(!по)'= — — + —, т. е. о'= ~ — — ! — ) о. ) Далее имеем !+1 У 1 !+!Те о" = — — о+ — — + — о 2 р ) ') Прн р-э О члены — /! н — по порядку будут много меньше ! В я/Л р ! (1+ 1) члена 2, н поэтому могут быть отброшены Р Для определения асимптотического решения при р-ьО на основании (!2.7) будем иметь уравнение *) (12.11) Р р' откуда, полагая !то= ре. находим: о(г)+ 1) — 1(1+!)=О, т. е. д! =1, !72= — (1+ 1). Следовательно, )70 = С!р'+ Сэр-'-!.
твогия водогодоподовиого хтомл 2И з" 1 1+! 1(1+ 1) в 4 р а~ Пользуясь найденными формулами, преобразуем (12.7б) к виду ри" + [2 (! + ! ) — р) и'+ ) = — ! — 1~ и = О. (12.! 5) 1 з(А б) Круговые орбиты, Разберем вначале частный случай, когда коэффициент перед функцией и в уравнении (12.15) обращается в нуль: (12.
16) в = — ! — 1=0, ~/А и поэтому уравнение имеет решение и = сопз! = С. Отсюда следует, что отношение В1' 1/А равно целому положительному числуп=1,2,3, ...: ==и=!+! =1, 2, 3, ..., В з/А (12.17) которое носит название главного квантового числа. Решая последнее уравнение (12.17) с помощью определения (12.5), находим спектр энергии водородоподобного атома 22 4 Лагг 2а~а~ (12.18) где постоянная Ридберга гР'о )7 = —. 2аз Радиальная функция (12.14) при условии (12.16) имеет особенно простой вид Д„1 — СрЗг-'/во (12.19) где С вЂ” нормировочная константа.
Для ее определения необходимо вычислить интеграл г')!г бг=1, (12.20) о который в силу условия нормировки должен равняться единице. Величина 1)(г) = «Щ (г), (12.21) стоящая под знаком интеграла (!2.20), характеризует распределение плотности вероятности по радиусу. Принимая во внима- НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МГХАНИК т 2!я Эта функция имеет только один максимум (рлс. 12.2), и поэтому условие (12.16) соответствует движению по круговым ор- г=а Рио !аа Расиренеленве раинальноа ллотности вероятности в случае круговых арбат.
битам. Определяя то значение г, прн котором функция Р(г) до- стигает максимального значения ( ) гл находим р„ = 2п, т. е. радиусы круговых орбит равны Р„л' г = — = — пр л (12.23) Здесь величина ас= —,=0,5 ° 10 В см лграо (12.24) является радиусом первой боровской орбиты. Она соответствует наинизшему, т. е. основному состоянию атома водорода (2 = 1) при и = 1. С учетом значения боровского радиуса ас связь (12.6) г и р можно записать теперь в виде у = парр/22. Тогда, вычисляя нормировочный интеграл (!2.20) для функции (12.19) с помощью соотношения ее рт"в-о Ыр = (2п)1, о получим нормировочный коэффициент С= и ай (2л)1 (12.25) ние вид функции (12.19) и соотношения ( '.6),;!2.17), для плотности Р(г) найдем следующее значение: Р(г)=сопз1р'"е '.
(12.22) 2!З ТЕОРИЯ ИОПОРОПОПОПОВИОГО АТОМА й !21 Таким образом, радиальная функция й ! в случае круговых орбит оказывается равной и „,= 1/, г ( — ) ". (1226! Отсюда, в частности, для основного состояния и =1 ((=л — ! =О, пг=О), когда угловая часть У, волновой функции з(!, =И„,У," представляет собой константу У,= !/3/4а, получим хс ф!ао = Й!оуе = — ~ — ! * е (! 2.27) Заметим, однако, что состояние зр!оо не имеет классического аналога. в) Эллиптические орбиты. Найдем теперь радиальную функцию (12.!4) в случае, когда коэффициент перед и в уравнении (12.15) отличен от нуля: В/ т/А — ! — 1 чь О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
