Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 29
Текст из файла (страница 29)
з) Комбинационное рассеяние света. Проанализируем явление дисперсии с точки зрения энергетической схемы. Е» Е» б»» Рис. 9,9. Энергетическая схема рассея. ния фотона; Аы — энергия падающего фотона; Аю' †энерг рассеянного фо. тона; 1, 11 †упруг рассеяние фотона !ДючГ Аю,, в аычеяы„„); Н1, 1У— нуждеиные переходы !яю аюк к или "юкк") Рис. 9.4.
Комбинационное рассеяние света: аю-энергия падающего фотома; Лм' и аю" — энергии рассеянных фотонов, отвечающие «стоисовымэ и саитистоксовым» линиям. Предположим, что на атом, обладающий всего лишь тремя уровнями Е; < Е' < Еж (рис. 9.3), падает фотон с энергией Вообще говоря, рассеяние этого фотона представляет собой эффект второго порядка и может происходить двояким путем: 1) вначале произойдет поглощение падающего фотона (прп этом электрон, находящийся в начальный момент на уровне к, перейдет в некоторое промежуточное состояние, которое, вообще говоря, может быть и запрещенным о) (! на рис.
9.3)), а затем непускание рассеянного фотона; 2) сначала атом испустит фотон (П на рис. 9.3), а потом только произойдет поглощение падающего фотона. Если электрон после этих двух процессов возвратится в свое прежнее состояние, то согласно закону сохране- э) Точнее, н промежуточных состояниях закон сохранения энергии может нарушаться. Только н окончательном результате этот аакои должен Выполняться. КВАИТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧШ)ИЯ )77 нпя энергии частота ш' рассеянного фотона равна частоте падающего фотона ш *).
Может оказаться, что из промежуточного состояния электрон перейдет не на начальный уровень к, а на уровень к', лежащий выше, или на уровень к", лежащий ниже, чем уровень к (рис. 9.4). Тогда частота рассеянного света (ш' или ш") не будет равна частоте ш падающего света. В таких случаях говорят о так называемом комбинпционпом рассеянии, или раман-эффекте. Экспериментально комбинационное рассеяние света впервые было обнаружено в жидкостях индийскими физиками Ч.
В. Раманом и К. С. Кришнаном, а в твердых телах — советскими физиками Г. С. Ландсбергом н Л. И. Мандельштамом (1928). Как видно из рис. 9.4, частота рассеянного фотона в раман- эффекте может быть как меньше, так и больше частоты падающего. В первом случае линии ш'=ш — о)кк(ш, (9.166) называемые сгоксовыма линиял)и (смещение происходит в сторону «красной» части спектра), соответствуют возбуждению атома, так как в результате рассеяния атом оказывается в энергетически более высоком состоянии. Во втором случае воз- Ы никают так называемые антистоксовы пу' оу" ш р ° х ° р у аС::Х:::Г~ «фиолетовой» части спектра) Рис. 9Л. Налоукеиие молеку" ш = о)+ шкк ) ш, (9.166а) ляркмх'частот иа частоту лакающего света: а) спекураль- ПРИЧЕМ ОИИ МОГУТ ПОЯВИТЬСЯ ТОЛЬИО В иаа линия м бев учета молекуляримх колебаиий; б) сме- тоМ случае, кОгда Свет расееивается на щеиие спектральной липин, возбужденных атомах (рис. 9.5).
Важную роль комбинационное рассея- - — к и"- +и ние играет при исследовании строения молекул. В самом деле, ротационные и вибрационные (а также вибрационно-ротационные) спектры расположены в глубокой инфракрасной области (см, ниже $11) и поэтому труднодоступны наблюдению. Изучая же комбинационное рассеяние,можно иметь дело с видимым светом и судить о спектре молекул лишь по изменению частоты в результате рассеяния. е) В случае резонанса (ы щ„. ) наряду с рассеянием фотоны могут также поглощаться, а электроны в атоме совершать вынужденные переходы.
Вероятность вынужденных переходов определяется коэффициентом Эйнштей. на В„, ())1 иа рис. 9.3). Наличие внешнего поля может также усилить переходы сверху вниз. Тогда наряду со спонтанным появляется еще и вынужденное излучение, пропорциональное коэффициенту В . (гу на рис, Э.З) нерелятнвнстскля квлнтовля мехАрплкА !Ч. 1 !Тв й !О. ОБЦ(АЯ ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ Движение частицы в центрально-симметричном поле представляет собой наряду с гармоническим осциллятором одну из фундаментальных задач квантовой механики.
Эта задача легла в основу построения квантовой теории атома водорода, много- электронных атомов, молекул, теории рассеяния. Дело заключается в том, что зависимость волновой функции частицы от сферических углов в центрально-симметричном поле не связана с конкретным выбором вида потенциальной энергии. Поэтому угловая часть волновой функции (шаровые функции) относится к любому центрально-симметричному полю.
а) Уравнение Шредингера в криволинейных ортогональных координатах. Потенциальная энергия частицы У(г) в центрально-симметричном поле зависит только от расстояния частицы т до некоторой фиксированной точки пространства, называемой силовым центром, Поместим начало координат в силовом центре и введем аг сферические координаты г, О, ср, связанные с декартовыми х, у, г (рис. 1О.!) со- отношениями х=тз!пбсоз Р, у=та!пба!пср, е=тсозб (О (~ т ( оа, 0 (~ чр ( 2п, 0 ( 6 ~ (и).
(10.1) Рис. 10.1. Ортогоиальиаи система и сЛгеричес«их «оордииатах. сер )л(т) = —— Г (1 0.2) Уравнение Шредингера для частицы, движущейся в центрально-симметричном поле У(г), в сферических координатах всегда можно решить методом разделения переменных.
В важном частном случае, когда центральное поле является кулоновским и описывает, например, взаимодействие ядра с зарядом лес и электрона с зарядом е= — ео, пвиткение В центРАльно.симметоичном пОле 179 т!м задача допускает решение методом разделения переменных так- же и в параболических координатах 9, т1,тр: х = А/$т~ соз!р, у = А/9~ з)п <у, г = !/з(9 — т1), — тРЧ7 РР-т,(т~-т>о (10,8) т.
е. 9 = г + г, т! = г — е, тр = а ге !д— у х (0<$< оо, 0<т! < оо, 0~(тр~(2п). (10.4) г = Ьх+ Ьу+ 1 е (10.5) и учтем, что направление ортов декартовых координат 1, (п = .= 1, 2, 3) остается неизменным, легко получить дг . дх . дэ . дх — =Ь вЂ” +Ь вЂ” +1з —, ду! дд! ду! ду! ' (10.6) т. е. ~= 11/(~~ ) +(д ) +(~~ 1 =Н!. (10.7) Отсюда для дифференциала длины 1! находим г(1! = Н! г(дт, (10.8) т.е.
составляющая градиента на направление 1; будет равна дту дту (10.9) дт! НН! !ду! Тогда элемент объема в ортогональной системе координат мож- но записать в виде г( х = т(1! т(!э!(1з = Н! НАНз т(ч! г(чз г)чз. (10.10) Чтобы получить выражение для оператора Лапласа, запишем в координатах дн дз, дз ВЫРажение для дивергенЦии произ- Рассмотрим вначале общую запись уравнения Шредингера в произвольных ортогональных системах координат (дь дз, оз), когда направление, связанное с дифференциальным изменением одной из координат, перпендикулярно к соответствующим направлениям двух других координат. Прн этом радиус-вектор г является функцией этих координат, т.
е. г(дь дм дз) . Если запишем радиус-вектор через декартовы координаты |ч. г НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХА!|ИКА 15О вольного вектора В ф (вал! йчВ=1!т 5,3 д д д — и, ач, ад, + — и, пуз ддъ + — В, ду, дд, ду! дчз дуз Н|Н|нъ ду! ауз дчз (10.1! ) где |!В! |!!2 г(!3 Н2НЪ |(Чз г Чзэ г!Вз= «!за|!! = НЗН! |(Ч3 (Ч» з('зз = ||1! гъ12 = Н ! Н2 |ъЧ! |3Ч2. Полагая в (10.11) В=пгабэр, найдем для оператора Лапласа Чзъ!3 = йч Кгаг( э!3 (10.
18) следующее значение: 1 1 д НзНэ дэУ д НзН! дэ!з д Н|Нз дэ!з 1 Чзф = — — — + — — — + — —— Н|НзНз 1 дЧ! Н! ду! дчз Нз ддз дуз Нъ даръ ! ' (10.14) В частности, в декартовой системе координат Чъ=х, Чз — — у, Чз=х, когда Н! =Нз=Нз=1, имеем Чз = — + — + —. дъ д' дъ дхъ дяъ дзъ Для сферических координат (см. рис. !0.1) Ч|=г, Чз=е, ЧЗ=Чз согласно (10.1) и (10.8) получаем Н = 1, Ня.=г, Нзз=г 5!и 6. Иэ рнс. 10.1 видно, что направления изменения координат перпендикулярны друг другу, т. е.
система является ортогональной Ж! = Н, |(г, а|!2 — — Н, з(О, сУз = Нз |!|Р. На основании полученных формул находим выражение для элементов объема и лапласиана (т. е. оператора Лапласа) в сферических координатах: |Гзх гз гзг 5!и о 6(0 ъгзр» 2 2 1 т =тт+ гэ "а,я= Э М1 движение В центРАльно-симметРичном пОле 181 Точно так же в параболических (ортогональных) координатих Ч~=Ь уе=Ч уз=У И,= — А! 1+ —, Н„- — !+ —. О,= Ч'Р~ 2 ~/ е' ч з 11 получим й' = — "а+я)й~йцйч, 4, (10.16) б) Шаровые функции. Для центрально-симметричного поля уравнение Шредингера Ч'ф+ й'(г) ф= О (10.17) будем решать в сферических координатах. В (10.17) следует положить й'(г) = — ".' (~- У(г)), (10.18) а лапласиан определяется формулой (10.15).
Уравнение Шредингера следует решать по методу разделе- ния переменных, полагая ф=Л(г)У(0 Е). (10.19) г г' Умножая исходное уравнение на ~ — г1, получаем ~и! (10.20) Так как слева здесь стоит величина, зависящая только от г, справа — только от углов О и ~р, это равенство может иметь ме- сто лишь в том случае, когда и левая, и правая части равны по отдельности некоторой величине Х, называемой постоянной раз- деления.
Таким образом, для радиальной и угловой частей волновой функции находим соответственно уравнения ~Д+ (й' — —,',, ) в=О, (10.21) Ча, У+ЛУ= О. (10.22) Важно подчеркнуть, что последнее уравнение для угловой части не содержит переменной г и не зависит от конкретного вида по- тенциальной энергин !г. Поэтому, как мы уже отмечали в на- чале параграфа, его решение должно быть справедливым для любых центральных сил. НЕРЕЛЯТИВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 182 Полагая далее У = 6 (0) Ф (ф), (10.23) произведем разделение шаровой функции у(д, ф) по сферическим углам, причем для функций 6(0) и Ф(ф) находим, соответственно, уравнения фОЕ+ (Л вЂ” — и„„) Е=о, Ч,рФ+ги Ф=О.
(!0.25) Здесь тз является постоянной разделения; кроме того, мы ввели обозначения 1 и Г . И "= —.. — ~""' — ) О!па НЕ (. ИЕ)' (10.27) в которых частные производные заменены полными, поскольку каждая из функций 6 и Ф зависит только от одной переменной. Таким образом, для определения собственных значений энергии Е; и соответствующих им собственных функций ф, мы получили три уравнения: (10.21), (10.24), (10.25), причем если последнее из них содержит только один параметр тз, то второе и первое (см. ниже (10.40)) — по два.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
