Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 24
Текст из файла (страница 24)
При этом излучаться будет как основной тон в (к = 1), так и гармоники кеэ (к = 2, 3, 4, ... ), причем интенсивность излучения соответствуюшей гармоники пропорциональна а~. Таким образом, согласно классической теории излучение системы полностью определяется ее механическими свойствами: частота излучения оказывается либо равной, либо кратной механической частоте колебаний системы, а интенсивность излучения соответствующей гармоники пропорциональна квадрату амплитуды. В квантовой механике к вопросу об излучении следует подходить несколько иначе, поскольку само излучение по квантовой теории происходит только при переходе частицы (илн системы) из одного квантового состояния в другое, энергетически более низкое, или, как говорят, «сверху вниз>. Впервые квантовое рассмотрение проблемы излучения было предложено в !917 г.
Эйнштейном, который ввел коэффициенты А и В (называемые теперь коэффициентами Эйнштейна). Они характеризуют соответственно спонтанные (самопроизвольные) и вынужденные (происходящие под действием внешнего электромагнитного поля) переходы системы с одного энергетического уровня на другой. Основные идеи квантовой теории излучения заключаются в следуюшем. Пусть один из электронов какой-либо атомной системы находится на возбужденном уровне и с энергией Е,. Тогда для такого электрона сушествует определенная вероятность А „, отнесенная к единице времени, спонтанного перехода в более низкое энергетическое состояние и' с энергией Е„ . При этом происходит непускание фотона с энергией йа = =Е„ — Е„ . Если число подобных возбужденных атомов равно У„ то энергия излучения в единицу времени, обусловленная спонтанными переходами, может быть записана в виде $9! КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ !4о )у'„~в = МнВ„„рйв, )))хн,"„"; = М, В„„Рйв, (9.4) где М„ — число атомов в состоянии у)'.
Рассмотрим случай, когда должно наступить состояние термодинамикеского равновесия между нагретыми атомами и излучаемым ими светом (черное излучение), обратно воздействующим на эти атомы, т. е. когда число переходов сверху вниз и обратно одинаково ~7 (рис. 9А): М„А„„+ М„рВ„„= М„РВ„,. (9.5) дпя Учитывая, что в этом случае распредепп 4пс ление электронов по энергиям задается распределением Максвелла — Больцмана Е„ М„= Се ~н/~В~ М„. = Се ев'/пвг Рис.
9.!. Переходы сверху вниз (сеоиееииые н вынужхениые) и снизу вверх (вынужхениые). получаем А„е ивв +рВ„„е и"~еат=рВ ° е Вецпвг -Е„,иву Отсюда, сокращая на множитель е " В и принимая во внимание, что ń— Е; = Йв, имеем 4нл р(в) = ~о'н АЫ(АВà — е — 1 ~нн (9.6) Выражение для коэффициента спонтанного излучения А„„может быть написано, если исходить из принципа соответствия путем сравнения квантовой формулы с соответствующей формулой классической теории. Подобное сравнение мы произведем на примере гармонического осциллятора: по классической теории энергия, излучаемая Если же атомы подвергнуть воздействию со стороны внеш. него электромагнитного излучения„то последнее будет в свою очередь вызывать так называемые вынужденные переходы как сверху вниз, так и снизу вверх, причем переходы снизу вверх будут происходить, конечно, с поглощением фотонов.
Обозначим, следуя Эйнштейну, вероятности вынужденного перехода с уровня а на п' через В„;, а с уровня и' на и через В„„. Тогда, считая, что число вынужденных переходов должно быть пропорционально спектральной плотности р(в) падающего излучения, находим соответственно для энергии излучения и поглощения, обусловленной вынужденными переходами, (ч. 1 НЕРЕЛЯТИВИГТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 14б гармоническим осциллятором в единицу времени, определяется ггэрмулой (7.10): (рг ко (9.7) этого Пэ квантовой же теории она определяется выражением (9.3), которое при наличии одного осциллятора ()1(о = 1) дает Ж'" = йе„„А„„. (9.7а) Предположим, что коэффициент спонтанного излучения пропорционален квадрату матричного элемента *) А„„=С)хом г. При переходах сверху вниз (гг-» и') отличным от нуля будет только матричный элемент (см.
(7.68)) хг = = Š— Е Ап 1 з-1, л кое 2глоео ~ з о~' причем Ео — Ел-1 ел. о-! й = е. Отсюда, приравнивая классическое приближение (Ь вЂ” 1.0) квантового выражения для энергии излучения (9.7а) '*) соответствующему классическому выражению (9.7), мы найдем уравнение для определения постоянной С: СЕде 2 еоЕео 2гл гоо 3 ш,го Определив постоянную С, найдем зпачепие для коэффициента спонтанного излучения оо"): 4 е'ео Ао"'= з о (и"'" Р' (9.8) Далее, если считать известной еще формулу Планка (см. (1.14)) ае' 1 аз "Мвг' *) При этом мы можем исходить из аналогии с классической теорией, где излучение пропорционально квадрату амплитуды колебаний (см. (7.5)), *') Математически это приводит к отбрасыванию нулевой энергии Е, узде, имеющей в классическом прнблизгении, т. е. в области больших квантовых чисел (л Ло 1), по сравнению с энергией Е, — Ео порядок 1/и.
***) Здесь мы сделали переход от одномерного случая к трехмерному пу. тем замены матричного элемента координаты ( хз,о(г матричным элементом радиус-вектора ) гзп (г=(ха,п (з+( р„, (о ( ) з, )г 147 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ то, сопоставляя ее с формулой (9.6), можем написать также и коэффициенты Эйнштейна для вынужденных переходов песе 4 яеее Всь = Вь с — — — Аьа — — — —, ) те ь ('. м* ' з а (9.8а) Для интенсивности излучения согласно (9.7а) имеем: еим1 ят„= — —,! тсы "Г'. се (9.8б) слане 3 се Хотя этот вывод и дает точные квантовые результаты для так называемого дипольного излучения (см.
ниже), тем не менее его нельзя признать последовательным (это относится также и к первоначальному выводу формулы Планка, см. $1). При первом чтении книги, однако, можно ограничиться этими простыми соображениями. Для того чтобы действовать в рамках последовательной квантовой теории излучения, следует прежде всего получить коэффициенты Эйнштейна А и В, а затем, подставляя эти значения в формулу (9.6), дать строгое квантовое обоснование формулы Планка. Все это будет проделано ниже в оставшейся части $9. Здесь же мы ограничимся некоторыми общими замечаниями о квантовой теории излучения. В общих чертах квантовая теория излучения сводится к следующему. В рамках теории Шредингера можно объяснить лишь вынужденные переходы, происходящие в результате взаимодействия электронов атома с внешней электромагнитной волной.
Спонтанные же переходы из возбужденных энергетических состояний в более низкие остаются в этом случае фактически необъясненными, поскольку отсутствует внешнее воздействие, которое могло бы привести к этим переходам. Ответ на этот вопрос был найден только после создания квантовой геории излучения, в которой был использован аппарат квантования электромагнитного поля (вторичное квантование). При этом электроны и поле излучения рассматриваются как две взаимодействующие квантовые системы, причем это взаимодействие не исчезает даже при отсутствии реальных фотонов.
Фотоны, которые в данный момент не существуют, но могут появиться, называются виртуальныии. Они образуют так называемый электромагнитный вакуум. Классическим аналогом взаимодействия электронов с полем виртуальных фотонов является действие на движущийся электрон силы лучистого трения Планка НЕРЕЛЯТИВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАННКА 14з б) Квантование свободного электромагнитного поля, Как известно, поле фотонов (поперечные электромагнитные волны) можно описывать вектор-потенциалом, удовлетворяющим уравнению Даламбера 1 д~А 72А — — — = О. с~ дм (9.9) Решение уравнения (9.9) будем искать в виде ряда Фурье А= —, ~~~ А(х, 1)е'"', (9.10) наложив на волновую функцию (9.10) условие периодичности еыо+м е~ ~ причем (см.
также (4.41)). Тогда для составляющих волнового вектора «мы имеем 2х х„=п, —, 2п 2п хг — — пт —, х,=п,—, (9.! 1) где пн пт, пз — — О, ~1, ~2, ~3, Подставляя (9.1!) в (9.9) и учитывая, что Чтем = — хзеС найдем, что амплитуды А(х, 1) подчиняются уравнению, которо- му удовлетворяет также гармонический осциллятор А(х, г)+ стхтА(х, 1) =О, (9.12) с решением А (х, 1) = А (х) е-мю .+ В (х) емх! (9.13) Для того чтобы вектор-потенциал А был вещественным, следует положить В'(х) = А' ( — х). (9. 14) обусловленной электромагнитным полем, создаваемым самим же электроном.
Именно это поле и может отрываться от электрона в виде светового излучения. На языке вторичного квантования это соответствует переходу фотонов из виртуального состояния в реальное. Прежде чем приступить к построению квантовой теории излучения, остановимся на вопросах, связанных с квантованием свободного электромагнитного поля. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ йм Последнее соотношение легко доказать, если подставить (9.13) в (9.10) и в сумме, составленной нз коэффициентов х)(х), сделать замену х — — х. Учитывая еше равенство (9.14), разложение (9.10) приведем к виду А = — чтч (А(х) в-ыхгтыг + А (х) вмиг — ! г) (9.15) )7Я л ~ Поскольку последнее выражение представляет собой сумму двух комплексно-сопряженных величин, оно является вещественным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
