Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 20
Текст из файла (страница 20)
др ' Нетрудно убедиться тогда, что при действии этого оператора на волновую функцию, зависящую теперь от импульса р*), должно соблюдаться равенство (Рх — хр) <Р (Р) = —. ф (Р). а (7.70) Построим теорию гармонического осциллятора в импульсном представлении. Подставляя значение оператора (7.69а) в уравнение (7.49), найдем ла (Н вЂ” Л,ра+ В,— „,1ф(Р) =0, (7.71) ") Заметим, что в пространстве импульсов квадрат модуля волновой фуннции следует интерпретировать как плотность вероятности обнаружить частицу с импульсом, лежащим в пределах р и р + др. НЕПЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !Ч ! 1!8 где ! тася'В' а 2те' 2 (7.72) Отсюда видим, что для гармонического осциллятора при переходе от х-представления к р-представлению волновое уравнение при введении новых масштабов Е 28' (7.73) ле Ро тождественно переходит само в себя: рл+(Л вЂ” ЧЯ)р=б (7.74) (здесь штрихом обозначена производная по т)).
Поэтому мы можем воспользоваться решениями (7.28) и (7.41) и написать в р-представлении *) л 2 ~( + !2) Л!йе ср„(р)= е х" ~ Н„~ — "), (7.76) (/2лл! „~н Р„ Ре (7.77) Нетрудно проверить, что в этом случае ср(р) является фурье- образом функции !Р(х) к яр(х) = — !р(р)е " !(р, Ч/2яа Л ! Р Ф(Р) = — ф(х)е " и'х, ч/ай 4 (7.79) поскольку в этом случае !я-л'! "чт(х)= 2 В ~ с(х'ф(х') ~ г)ре (7.80) ") Целесообразность введения множителя ( — !)", квадрат модуля кото.
рого равняется единице, показана ниже (см. (7.82)). причем волновая функция сря(р) должна удовлетворять условию ортонормированности ~ Ф4!'„. (р) !р„(р) = б„.„. Я линиипып гапмопичискпп осцпллптоп 119 » 71 в чем нетрудно убедиться, если учесть соотношение 1 ( — (к-«') — ~ ((ре " =б(х — х'). Наконец, получим формулу (7.76) с помощью фурье-преобразования (7.79).
Подставляя сюда значение для (у„(х) из (7.41), имеем + а?2па «/2яп),~/и «) «е г, а — ~ (19е-'аце " Нп ($). (7.81) 'Ч2п 72еа(Ч/и а Как известно, фурье-образ функции (7.60) переходит сам в себя ") с коэффициентом 1/2п ( — 1)": 1, l )' ')' (р„(р)= ' ' О„( — ')е '*~'7. ~/2"а( Ч(л р (7.82) (7.83) и импульса (7.84) для которых получим те же значения, которые были найдены в координатном представлении (см.
(?.68) и (7.69)). 3) Матричное п р ед с та ел е н не. Мы сможем удовлетворить также перестановочным соотношениям квантовой механики (7.50), если операторы импульса н координаты станем описывать с помощью матриц, которые в общем случае, как известно, не коммутируют друг с другом. Обозначая матричные величины круглыми скобками, соотношение (7.50), а также гамильтониан для гармонического *) См«Л«беоев Н. Н. Специальные функции и и«приложения. М.— Л., «Наука», 1963, етр.
97. этим и оправдывается введение множителя ( — 1)" в волновую функцию (7.76). Определив волновую функцию (р,(р) в пространстве импульсов, можем найти по следующим формулам матричные элементы координаты иггглптивистсклп кплитОВАп мехлпикА цю (Ч ( оециллятора (7.49) мы можем представить в виде (рх) — (хр) = —. 1, а (7.85) (7.86) где / — единичная матрица. Кстати, заметим, что законы квантовой механики были впервые сформулированы Гейзенбергом именно с помощью подобных матричных уравнений, из которых и были найдены (х), (р) и (Н). Ради краткости мы воспользуемся найденными в случае гармонического осциллятора значениями для матричных элементов и покажем, что они удовлетворяют соотношению (7.85). Затем с помощью формулы (7.86) найдем спектр энергин.
Оказывается, решением уравнения (7.85) являются матрицы, составленные из матричных элементов координаты и импульса, полученных нами в х-представленин (или р-представлении). Матричные элементы (7.68) и (7.69) образуют при этом следующие бесконечные околодиагональные матрицы е): о л/г/, О о О ... Л/(/, О л/з/, О О ... О Л/Г/ О Л/З/ О 'Н лэе ка( (х) = (7.87) Р~е р~~ Ро Π— /Л/'~, О О О „. г' .Л/(/ Π— /Л/э/ О О ...
О / Л/з/э Π— /Л/э/э О ... (7.88) = птвозхо Учитывая, что матричные элементы произведения двух матриц равняются сумме произведений соответствующей строки на ') Заметим, что задание совокупности матричных элементов ~л'и ~ зра'рзри(/ х оператора Г называется также описанием оператора р в энергетическом пред- ставлении (прп условии, (то Чз, — собственные функции оператора Н). Эти матрицы являются эрмитовыми, так как соблюдается соотношение рл в = р„я" линнннын ганмоничвскин осцнллнтон 9 т! !2! столбец (РХ)па= ~ рпкХкп, к с (7.89) т. е.
правая часть этого равенства образует единичную матрицу, умноженную на Ь/(*), Поэтому основное соотношение (7.85) квантовой теории в матричном представлении будет удовлетворено. Вычислим теперь матричный элемент гамильтонпана (7.88), который равен ч ! лкпм' Нп'л ~ ( 2 Рп'кркп + 2 Хп'кдкп) к Подставляя сюда значения для матричных элементов координаты и импульса из равенств (7.87) и (7.88), находим Нп'л йш (у! + /2) бл'л.
Таким образом, гамильтониан (Н) образует диагональную матрицу '/а 0 0 0 ... ! О ку, О О ... (Н) = гтоэ о о к) о (7.91) Если рассматриваемая величина образует диагональную матрицу, то это означает на языке волнового уравнения Шредингера, что данный оператор обладает спектром собственных значений, определяемым диагональными элементами. Таким образом, на примере гармонического осциллятора мы убедились, что все три представления (х-представление, р-представление и матричное представление) приводят к одному и тому же результату для матричных элементов координаты, импульса и энергии.
Заметим, что при возникновении квантовой механики казалось, что матричный и волновой подходы могут привести к различным результатам, но дальнейшие исследования показали их полную тождественность. 4) Понятие вектора состояния. Существует более общий метод, который позволяет сформулировать основные по- ") Если быть последовательным, то при решении задачи в матричном представлении, наоборот, из равенства (7.90), учитывая при этом (7.69), еле. дует нагни ма~рины (7.87) н (7.88]. мы находим с помощью (7.87) и (7.88) а (Р4п и — (ХР) = ~'„„(Р:.Х.п — Хп кркп) = —; блл (7 9()) к негелятипнстскАя кВАнтопля мгхмн!кл !22 !ч.
! ложения квантовой механики, не обращаясь к какому-либо конкретному представлению. Он основан па понятии вектора состояния квантовой системы, который принадлежит некоторому абстрактному пространству, носящему название гильбертова пространства. Такой вектор зависит от полного набора кван!оных чисел п, соответствующих собственным значениям коммутирующих между собой операторов, и полностью описывает квантовомеханическое состояние системы. Следуя Днраку, будем обозначать вектор состояния угловой скобкой ~ ф) — кег-вектор (7.92) или же ~п) — с явным указанием квантовых чисел (под и подразумевается полный набор 7 квантовых чисел пь ..., а!).
Введем также сопряженный вектор (ф ) — бра-вектор, (7.93) однозначно связанный с кет-вектором ~зр) и принадлежащий к некоторому сопряженному пространству '). Скалярное произведение двух векторов !зр) и ~гр) в этих обозначениях имеет вид (7.94) Как было выяснено выше, волновая функция системы в х-представлении зр,(х) является амплитудой плотности вероятности местоположения частицы !1Р,(х) !з.
В обозначениях Дирака такая функция равна зр„(х) =(х !и) (ф*„(х) =(и !х)) (7.95) и задает, таким образом, координатное представление вектора состояния !и). Соответственно для волновой функции в р-представления получим !р„(р) = (р ~ и), (7.95а) т. е. импульсное представление вектора ~и). С математической точки зрения величины (к~п) являются компонентами вектора !а) в базисе ~х), т. е.
! п) = ~ ~ х) (х ! л) г(х = $ ! х) ф, (х) с(х. (7.96) *) Названия бра-(Ьга-) н кет-(сне!-) были введены Дираком. Онн представляют собой соответственно первый н второй слоги английского слова Ьгаске1, что означает скобка. лингнныи г«гмоннчгсюгп осцнллятог шз Векторы этого базиса ~х) представляют собой собственные векторы оператора координаты х | х') = х' ! х').
(7.96а) Выражение (х~п) можно рассматривать также как элемент матрицы, строки которой «нумеруются» непрерывно меняющимися индексами х, а столбцы — индексом и. Интегрируя плотность вероятности | ф„(х) г = (п ~ х) (х1л) (7.97) по х, получим полную вероятность, значение которой равно ~ ~ф„(х)~'их= ~ ф„(х) ф„(х) их= = ~ (п!х) (х ~и) с1х=(п1п) = 1. (7.98) Заметим, что это значение не зависит от представления, так как в р-представлении имеем также ~ 1 ф„(р) Рир=(л ~л) =1, (7.99) Очевидно, что условие ортонормированности волновых функций $„и ф„запишется теперь в виде ~ ~>*„,(х) $„(х) дх = ~ (л' ~ х) (х ~ п) г1х = (п'1л) = б„,„, (7.100) что означает ортонормированность векторов 1и) и ~п').
Система векторов ~п) по основному предположению квантовой механики должна быть полной. Это означает, что всякое состояние 1ф) может быть представлено в виде суперпозиции состояний ~п): ! ф) = Е1л)(л1ф). (7.101) Здесь сумма распространяется на все возможные значения, которые могут принимать квантовые числа и.
Таким образом, условие полноты системы состояний 1п) представляется равенством 1п) (п1=1, (7.102) где в правой части стоит единичный оператор. Выбирая х-представление, мы получим (х1ф) = х~' (х~и)(л ~ф (7. 103) !и. 1 !1КРРлятивигтгкля квм!Товля мяхАиикА 124 нли явно для волновой функции (см. также (6.!6)): тр(к) = Х С„т(1„(х). (7.104) л что совпадает с данным выше определением матричных элементов (7.62).
Однако, как мы увидим ниже на примере гармонического осциллятора, для расчета матричных элементов не обязательно пользоваться системой волновых функций тра(х) или гр,(р), достаточно знать общие свойства операторов и векторов состояний, не зависящие от выбора конкретного представления. Если известны матричные элементы двух операторов А и В, то матричный элемент их произведения АВ согласно условию полноты системы состояний (п) (7.102) может быть вычислен с помощью соотношения (и' (АВ (п) = (п' (А1В ) п) = )' (п' ) А (п") (и» ) В ) п), (7.106) что, как указывалось выше (7.89), есть просто правило умножения матриц (А) и (В) для операторов А и В, заданных в матричном представлении.
Покажем ~еперь, как можно решить задачу о гармоническом осцилляторе, не прибегая к конкретному представлению. Оператор Гамильтона линейного гармонического осциллятора имеет вид ра таотала н= — + 2та 2 (7.107) ') В частности, ллн диагонального матричного элемента мм сохраним обозначение (А) и= (л)А(л) (см, (64)). Матричные элементы А,, некоторого оператора А, действующего на векторы состояний )и), могут быть в обозначениях Дирака записаны как (п'(А(п) *).
Как видно, при записи матричных элементов в виде скобок Дирака (г!!'~А(п) используется оператор и векторы состояния в абстрактном смысле, без выбора какого-либо представления. Для вычисления матричных элементов можно всегда перейти к некотором) конкретному представлению оператора А и векторов (п) и (п ). Например, в х-представлении (х' ( А ( х) = б (х' — х) А (х), (х ) п), (х! и') получим (п'! А! и) = ~ (и'! к') (х' ) А ) х) (х! и) г(х г(х' = = $ (и' (х) А (х) (к ) п) с(х = $ чр"„, (х) А (х) чр„(х) агх = А„,„, (7.105) линепнып Глгмо1пп!Гении ОгнпллятОЛ 12З Введем операторы а и а+, представляющие собой линейные ком- бинации р и х: ( +1 оР) а+ = =1 — — 1' — ' р), (7.108) где Хо = ~/й/ЛгоЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
