Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Прн условии и = и = О, 1, 2,... функции Рч (~ я) выражаются через полиномы Эрмнта гти(з/Ч/2), и мы вновь получаем реше- ние (7.41). лннеиныи ГАРмоннчесю!и осш!ллятор й 71 в> Когерентнь1е состояния. Выше мы нашли, что минимальная энергия гармонического осциллятора (7.28а> отлична от нуля, в то время как по классической теории или по теории Бора она равна нулю.
Покажем, что наличие основного состояния осциллятора с минимальной ае« энергией ЕО = — связано с соот- 2 ношением неопределенностей ((Лх)') ((Лр»' ) †. Рис. 7.2. График собстаеяяых аначений и сабстаенных Функций осцил. (7.45) лятора лля л О, Ь 2.
В случае осциллятора для стационарных состояний можно СдЕЛатЬ ЗаМЕНу ((ЛХ>2> На (Хй) И ((тар)2) На (рй). Этс СЛЕдуЕт из того, что волновые функции «Р, вешественны и являются либо четными, либо нечетными. Поэтому в силу нечетности выражений ф*„хчт„и — гл«р"„ст«р„/сех имеем (х) = ~ ф'„хф„т7х = О, (р) = ~ ф"„( —. — „") «2х = О. Отсюда ((Лх)2> = (хх) — (х)2 = (х'), ((бр) >=( >-(р> =(р>. Подставляя значение для (р'> из (7.45> в выражение для полной энергии получаем аа + лтео«~(хх) 87яо (хт) 2 Приравнивая нулю производную Е по (хй), находим минималь.
ное значение Е: Е~)Е ин 2 пр1«(х 2 хб' ает 1 2 График собственных значений и собственных функций осциллятора представлен на рис. 7.2. Мы видим, что по внешней форме он напоминает аналогичный график, полученный для потенциальной ямы (рис. 4.3). Функция «)О соответствует основному тону, функция «)7 †перв гармо- 17 нике, функция фй — второй гармонике и т.
д. ы2 негвлятивнстскля квлнтовля мвхлпнка Таким образом, Е .. совпадает со значением для Ем найденным по волновой теории (см. (7.28а) ). Существование конечной нулевой энергии гармонического осциллятора является одним нз наиболее характерных проявлений волновых свойств частиц. В связи с этим экспериментальное подтверждение нулевых колебаний имело большое значение для всей квантовой механики. Впервые нулевая энергия Ез была обнаружена экспериментально в опытах по рассеянию рентгеновских лучей в кристаллах при низких температурах. Если бы никаких колебаний решетки при низких температурах не было (Ез — — 0), как это, например, следует из теории Бора, то взаимодействие рентгеновских лучей с кристаллической решеткой, а следовательно и рассеяние, не имело бы места.
Наоборот, если минимальная энергия будет отличной от нуля (Еэ Ф 0), то эффективное сечение рассеяния при низких температурах должно стремиться к некоторому конечному пределу. Эксперимент доказал последнее, т. е. подтвердил правильность выводов волновой теории Шредингера. Чрезвычайно важным является то, что в основном состоянии хо осциллятора с минимальной энергией Еэ — — йы/2 при (хэ) = — о 2 "'ола имеем (р') = 2твЕ,— пт;'а'(х') =, т.
е. в этом случае произведение неопределенностей (7.45) принимает наименьшее значение ((Лх)') ((бр)') = —. Распределение по координатам в этом состоянии п = О, как следует из (7.44), является гауссовым: ! Фо Г = е ('"1 . 1/й «о Построим теперь наиболее общую волновую функцию, описывающую состояние частицы, в котором произведение неопределенностей для х и р принимает наименьшее значение (7.46).
Для этого вместо функции фо следует взять функцию ф, которая получается из фо заменой переменной х - х — хза ~/2, где а — произвольное комплексное число. В результате для нормированной на единицу функции получим — ет1 (а'-аачв ' ~ х, "/ (7.47) '1/ "т'и ха Прн этом распределение по координатам имеет гауссов вид ! ~>„1~ =- е 2 ~ ( ~ ) ли!!випми гогмопическип осциллятоР нз где йе а — действительная часть и = йе а+ !1п! а. Из последнего равенства следует, что состояние (7.47) приводит к среднему значению: (х) =хо~/2 Кеа, вообще говоря, отличному от нуля. Для среднего значения р в состоянии (7.47) получим (Р) = ~ ф'„— '" ( —" — !Г ) ф„( = ~lт — "1 Легко убедиться в том, что дисперсия координаты в состоянии фо равна ((бх)') = (х ) — (х) = — хоо, т.
е. она совпадает со своим значением в состоянии фо Для среднего значения р' находим (Р') =) фа( — й'д !)Фо (х= а 2ао! х ° . а = ~ ф, — ~ — — Ке а — ! 1т а ~ о1!, ах = — о ((ох) ) + (р)о. "о Отсюда следует выражение для дисперсии импульса ((оР) ) = о 2 ко и для произведения неопределенностей снова получаем минимальное значение (7.46). Найденное вами состояние $о (7.47) может быть представлено в виде разложения по полному набору волновых функций осцнллятора (7.41) фо (х) = Х Соф„(х). Для вычисления коэффициентов разложения С„следует поступить так же, как это было сделано выше при вычислении нормировочного интеграла (7.37), т.
е. использовать замкнутый вид (7.34) для полиномов Эрмнта О, СО Ю С„= ~ ф„"ф,Ых= ' ~ ф,е'вм — „о(в, '7 Ч!и хоп!2" где $= — „. Подставляя сюда выражение для !1, (7,47) и интегрируя п раз по частям, получим Со = а" (и1) ' е ! ' ! ненелятивистскля квлнтовкя мехА!пэкА !Ч ! Таким образом, ф„(х) =е ! "и" 2 ~, ф„(х). л (7.48) Отсюда следует, что распределение по квантовым числам и в состоянии (7.48) является распределением Пуассона ~ С„(з = — е-1'1* ! в 1ы и! со средним значением (п) = !а!'. Переходя в (7.48) к зависящим от времени волновым функциям ф„(х, 1)=е ' ~ ф„(х), получим следующее решение: И ф„(х, 1)=е-'*'"те — '""и ) ', ф„(х), (7.48а) и л удовлетворяющее нестационарному уравнению Шредингера для осциллятора. Как видно, отличие чъ(х,1) от ф~(х), если не учитывать общего фазового множителя е ' !и, сводится к замене а на ае-'"', и поэтому средние х и р в состоянии (7.48а) изменяются во времени как (х) = 1/2 хэ((е(ае'"'), (р) = у2 — „1гп(ае'"'), е) Элементы теории представ !ений е кеинтоеой механике.
В рассматриваемой нами теории Шредингера волновая функция ч! зависит от пространственных координат. Согласно принятой статистической интерпретации квадрат модуля функции связан с плотностью вероятности обнаружить частицу в точке пространства с координатами «, « + й«. В этом случае принято говорить, что волновая функция (а также и все операторы) задана в координатном представлении. Такое представление, как мы уже убедились, удобно для решения ряда конкретных задач. Однако это представление не является единственно возможным. Кроме координатного представления, в квантовой механике рассматриваются также импульсное, матричное (энергетическое) и другие представления, т.е. по законам классической механики. Суперпозиция стационарных состояний осциллятора типа (7.48а) описывает так называемые когерентнь!е состояния и представляет собой нерасплывающиеся волновые пакеты, минимизирующие соотношение неопределенностей.
Они были введены впервые Шредингером в 1926 г. как состояния, наиболее близкие к классическим, и в настоящее время широко используются для описания когерентных свойств электромагнитного излучения в квантовой теории поля (Р. Глаубер, 1963). линепнын гхгмоничвскин осциллятог 1!5 $ и На конкретном примере гармонического осциллятора рассмотрим более подробно этот вопрос.
С этой целью напишем гамильтоняан (в нашем конкретном случае для гармонического осциллятора), сохраняя связь с импульсом и координатой, которая была установлена в классической теории: РО тООООХО О + О 2жа 2 (7.49) Затем потребуем, чтобы р и х были не обычными величинами, коммутирующими друг с другом (т.е. так называемыми с-числами), а какими-то операторами (т. е. д-числами), закон перестановок между которыми должен иметь вид а рх — хр= —. 1' (7.50) (7.51) оставляя в то же самое время координату х обычным с-числом. Тогда величина Ь/1 является собственным значением оператора (7,50) при действии его на волновую функцию ф(х), зависящую от координаты х: (рх — хр) ф (х) = — ф (х).
а (7.52) Подставляя (7.51) в уравнение (7.49), мы находим, что гамильтониан становится также оператором: аО дО пООООО Н= — — — + О хз 2пОО дхО 2 (7.53) задача о собственных значениях которого приводит к уравнению Шредингера (х-представление) для гармонического осциллятора (Я вЂ” А + — „"„,)ф()=0, (7.54) где м м2 (7.55) Удовлетворить последнему соотношению мы можем несколькими способами, каждый из которых соответствует одному из представлений в квантовой механике, различающихся по зависимости волновых функций от координат нли импульсов.
В связи с этим сформулируем основные представления и установим связь между ними. 1) К о о р д и н а т н о е п р е д с т а в л е н и е (х - п р е д с т авление) мы получим, полагая импульс оператором (д-число) а д Р= дк ' Фп лннгнныи глимопичнскпп осциллптор 117 Для того чтобы обосновать эти соотношения, найдем производную от полинома Эрмпта Н'„2п~(2~)" —, (2$)" + ...1= 2пН„,. (7.66) Аналогичным путем легко показать, что Н'„'=2п2(п — 1) Н„,.
Подставляя эти значения для производных в (7.35) н производя замену и-ь п+ 1, находим рекуррентное соотношение между полиномами Эрмита 1 йНл = ПНи 1 + й Не+1 (7.67) С помощью равенств (7.66) и (7.67) легко обосновать соотношения (7.64) и (7.65), если при этом учесть еще (7.41).
Подставляя (7.64) и (7.65) соответственно в равенства (7.62) и (7.63) н учитывая условие ортонормированности, находим следующие отличные от нуля значения для матричных элементов координаты: Хв-1. л ХО ~~/ /и+1 Хне 1. л — Хо, тг (7.68) и импульса: Рв- 1. л = — (п1сотхл-1. в Рв+ 1, в = 1птоатхл+ 1, л (7.69) 2) Импульсное представление (р-представл е н и е) мы получим, если в операторном соотношении (7.50) мы, наоборот, импульс р будем считать обычным с-числом, а координату — оператором (д-числом) а д х= — — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
