Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(7.12) Учитывая значение Г(х) =иооооохо72, вычислим интеграл о. е* — о 1оэ~е — ~ее е*=— 2аЕ о ооо о, где х1 и хо находятся из уравнения У(х1) У(хо) =Е. Подставляя этот интеграл в условие квантования (7.11), находим спектр энергии осциллятора Е„= йоо(и+ 1/А). (7.13) Заметим, что полученный результат для осциллятора оказывается точным, несмотря на то, что при его выводе использовалйбь кййй~котассическая формула (7.!1).
Пестулат квантования Бора 11риводит к неточному результату, отличающемуся от (7.13) членом 'Й. Л!П!Енг!ЫП ГАРМОИИг!ЕСКИЙ ОСЦНЛЛЯТОР !оз б) Собственные функции и собственные значения энергии. Чтобы определить характер волновой функции яг в задаче о гармоническом осцилляторе, прежде всего представим графически зависимость потенциальной энергии )г от х (рис. 7.1) 2 Из графика видно, что в области потенциальной ямы, где полная энергия Е гармонического осцнллятора больше К Рис.
1.!. Волновая функция гармонического осцнллягора при произвольном аначении внергии. (Е ~ У), решение для чр должно иметь характер гармонической функции. В области же потенциального барьера (Е = 1г) эти решения должны содержать две части: убывающую и возрастающую (рис. 7.1). Очевидно, что решение задачи сводится к нахождению таких условий, при которых возрастающее решение должно отсутствовать. Это возможно, так же как и в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (см. $ 4), лишь при некоторых дискретных значениях энергии, которые мы и должны здесь определить. Так как потенциальная энергия (у гармонического осциллятора зависит лишь от координаты х, то уравнение Шредингера для него можно записать в виде (7.14) Полагая здесь 2тои а = —.
з' ! тесу и 2Е 1 хи а р аву непелятивистскля квлнтовАя мехАникА (ч. 1 106 и вводя новую переменную $=х~уй = —, (7.15) получаем фи + ()ь — $') ф = О, где ф = —. п оф (ьез (7.17) Прежде всего найдем асимптотическое поведение волновой функции при е — ь ~ос, когда постоянной величиной )ь по сравиеиию с ез можно пренебречь.
Тогда ф" — езф = О. (7.18) Решение этого уравнения будем искать в виде = ем'. Учитывая, что ф» = (4взез+ 2е) нем ж 4ЕЩ~1', находим: е = ~!(я и, следовательно, ф — С1е-у р+ Сзе~йм (7.19) (7.20) (7.21) Обгцее решение для волновой функции будем искать в видев) ф=ф„и =е-ч ми, (7.22) учитываюшем особенности поведения на бесконечяости. Под- ставляя последнее выражение в (7.16) и принимая во внимание, что (е '~' "и)" = (им — 2$и' + (ез — 1) и) е 'й ~', *) Эаметим, что само преобразование (7.22] при произвольном значении функции и(х) не может исключить каких-либо решений, и поэтому, чтобыэкспоненциально возрастающее решение вновь не могло появиться, на функцию и(х) достаточно наложить еще дополнительное условие, а именно следует по. требовать, чтобы она являлась полвномом порядка л (см. ниже). Поскольку при $- -Ьоо волновая функция должна быть ограниченной, коэффициент Сз необходимо положить равным нулю; коэффициент же С1 можно считать равным единице, так как волновая функция не является еше нормированной.
Таким образом, асимптотическое поведение волновой функции ф будет следующим: ф =е 'йй'. (7.21а) ЛИНЕИНЫИ ГАРМОННЧЕСЕНП ОСЦНЛЛЯТОР Ют получаем следующее уравнение для и: и" — 2еи' + (Л вЂ” 1) и = О. (7.23) Решение этого уравнения будем искать в виде ряда и = 2. ЬкК"; (7.24) подставляя последнее выражение для и в уравнение (7.23), находим Ьк~к (л — 1) $' ~ — (2к+ 1 — Л)$'1= 0 КРЗ Производя преобразование индекса суммирования таким образом, чтобы сгруппировать члены с одинаковыми степенями $, получаем: ~, $* (Ьк+я (л + 2) (л + 1) — Ьк (2л + 1 — Л)! = О.
к 0 Отсюда, приравнивая нулю коэффициенты при $к, найдем рекуррентное соотношение для коэффициентов Ь,: (2к+ 1 — Л) Ьк+' = "' ( + 2)( + В (7.25) Л = 2л + 1. (7.26) В этом случае Ь„ Ф О, в то время как Ьл+э Ьл+4 Ьл+з (7.27) Из (7.26) и (7.14) находим дискретный спектр возможных значений энергий Ел = йв (л Р ~/э), (7.28) где квантовое число л = О, 1, 2, 3, ... В отличие от теории Бора нулевая энергия (л = 0) не обращается в нуль и равна Ез = '/ядэ.
(7.28 а) Последнее соотношение связывает коэффициент Ь, с Ь,+э и т. д. Аналогично можно найти связь коэФфициента Ьк+~ с Ьк+з и т. д. Поэтому мы получаем два независимых решения, определяемых рядом (7.24). Первое независимое решение связывает между собой коэффициенты, например, при четных степенях $, второе— коэффициенты при нечетных степенях $ или наоборот. Как видно из соотношения (7.25), один из этих рядов мы можем оборвать (т.
е. сделать полиномом) на некотором члене л (л — целое положительное число, включая нуль). Для этого мы должны положить 108 НЕРЕЛЯТНВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ Л1ЕХАНИКА (Ч. 1 Ниже мы покажем, что появление нулевой энергии связано с соотношением неопределенностей, т. е. с волновыми свойствами частиц. На частоте излучения она не сказывается.
Другой ряд с коэффициентами Ь,+!, Ьл«з и т. д., образующий второе независимое решение, при помощи введения условия (7.26) мы оборвать не можем. В этом ряде отношение двух последующих коэффициентов согласно (7.25) при з-ь оо стремится к пределу л+з+зз (7.29) Ь„+,+зз з и будет таким же, как у функции ео*, разложенной в ряд Ь„= 2", находим: л-з а(а — 1) о„з= — 2 (7.30) 2 -з а(а — 1)(а — 2)(а — 3) (73)) Ограничиваясь первыми п членами степенного ряда для функ- ции и, получим так называемый полипом Эрмита и = Н„(е) = (28) —, (28)" + а(а — В(а — 2)(а — 8) „з ) Ь!8 прил нечетном, ~ Ьо при п четном. Отсюда, в частности, следует, что Но ($) = 1, Н, ($) = 2$, Н, ($) = 4~$ — 2, Нз(й) =3йз (7.33) ') Если на параметр л не наложить условия (7.26), то оба решения при й -л ~ол будут расходящимися з*) Заметим, что этот козффицпент всегда можно выбрать произвольно, поскольку нормировочный множитель волновой функции ф, еще не определен.
— еьзз (7.29а) .-о,1,... Поэтому при 3- +.оо имеем и- ейз, т. е. мы вновь получим расходящееся решение зр„-ь еч 1', которое следует отбросить «). Первый же ряд (см. (7.24)) должен представлять собой конечный полином порядка ш Полагая коэффициент при максимальной степени клоке = л равным **) липиннын ганмонпчискии осниллятоэ (09 Полипом Эрмита Н„($) можно записать в замкнутой форме Н„(й) = ( — 1)" е1' (7.34) При меч ание.
Чтобы это показать, введем функцию о=е 1, удовлетворяюп(ую уравнению э'+ 2йо = О дифференцируя последнее уравнение я+1 раз, используя при этом формулу Лейбница: (уг)(э) у(э)г+ ну(э-~)г~ + у(э-~)гЯ+ (734а) 2! находам: о(эез)+21э(э+в+2(„+!)о(э) () Производя далее замену о(э) е-1-'ю получим, что функция ю удовлетворяет уравнению (7.33), т. е. будет пропорциональна полиному Эрмита 1и , к~~-У ю=е — А„о„. лье л Множитель пропорциональности А, может быть найден путем приравнивания друг другу коэффициентов при вт".
В результате оказывается А, = ( — 1)", откуда мы и получаем формулу (7.34). Из (7.32) видно, что Н,(й) подчиняется уравнению (7.23), если в последнем положить Х = 2а + 1: Н'„' — 2~Н'„+ 2аН„= О. (7.35) Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора согласно (7.22) и (7.32) имеет вид ф„= СэЕ У*~'Н„($), (7. 36) причем $ связано с координатой х соотношением (7.15). Коэффициент С, можно определить из условия нормировки.
Рассмотрим для этого интеграл 1„„= ~ ф„тр„((х=-хэфф~ е МН„(й) Н„($) с)й, (7.37) где, не ограничивая общности, можем предположить, что п ) и'. Подставляя сюда полипом Нэ(9) в виде (7.34), получим после а-кратного интегрирования по частям ° О Н» — $' Г Дэуу, Ю вЂ” О (7.38) (ч. 1 нврвлятивистскдя кВАНТОВАя мвхАникА ПО Если и) и', то и-кратное дифференцирование полинома Н„ степени и' дает нуль 7„, =О. Тем самым доказывается ортогональпость функций ф„и ф„при и' Ф и. В случае и' = и, принимая во внимание, что согласно (7.32) ~ е цс(й= т(п, зи — „Н„(й) = 2"и1, (7.39) и требуя, чтобы функции ф„были нормированы на единицу (7„„= 1), находим (7.40) С„= ~/2 "и1 Ч/ х Таким образом, волновые функции фи(х)= е ~' хНи( — ) Х/2ии' 1/и х, (7.41) В области малых квантовых чисел, например, для и=О, 1, 2, имеем Ео= — Вш, фо=Сое У*о*, 1 о 2 Е, = — Йв, ф1 — — С1 ° 2$е ум, 3 2 Е, = — Вш, фз = Сз (4йт — 2) е-'31*.
(7.44) оказываются ортонормированными, т. е. ~ ф"„,ф„с(х=б„,„. В Примечание. Как видно из формулы (7.32), квантовое число и, кро. ме энергии (см. (7.28)), характеризует также четкость нолиовой функции ф„(х). Действительно, при четных и полипом Эрмнта Н„а вместе с ним я волновая функция 1р„(х) являются четными, т. е.
при замене х на — х не из- меняют своего знака зр„( — х) = фи (х) (и — четно). (7.42) При нечетных же и функция ф„(х) является нечетной, т. е. ф„( — х) = — ф„(х) (и — нечетно). (7.43) Заметим, что если А в уравнении (7.16) не удовлетворяет условию (7.26), то решение не может быть выражено через полиномы Эрмита. В этом случае, полагая х =Ч/2 и и Х = 2ч+1, получим линейно независимые решения уравнения (7.16) ф С1Рч (х) + СзР„(- з), выраженные через функции параболического цилиндра (функцни Вебера— Эрмита) Рт (х) и Рт ( — х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
