Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Поскольку операторы х и р эрмитовы, то оператор а+ представляет собой эрмитово-сопряженный оператор по отношению к оператору а. Используя коммутатор рх — хр = — 1й, (7.109) находим (а, а+) = аа+ — а+а =1. (7.110) Оператор Гамильтона (7.107) с помощью операторов а и аг (7.108), удовлетворяющих условию коммутации (7.110), можно теперь переписать так: Н = — (ааэ + а+а) = йе(а+а+ !/1). (7.111) 2 Имеем, очевидно, На+=а+(Н+ йе) (7.112) и вообще Н (а+) = а+ (Н + йе) (а+) = ... = (а+) (Н + пйе), (7,113) где и = О, 1, 2, Предположим, что имеется состояние (0), для которо~о а!0)=0, (7. 114) тогда Н 10) = ~ ! 0), (7 ! 1Г) т. е. !0) — собственный вектор Н, принадлежащий собственному значению йе/2. Рассмотрим вектор состояния (а+)" ! 0) (п = О, 1, 2, 3, ...). (7.
! 16) Тогда и он в силу соотношений (7.113) будет являться собственным вектором Н, Н (а+)" )О) = йе(п+ 1/о)(а+)" !0), (7,117) принадлежащим сооственному значению йе(п+ !/1). Собственные же значения оператора а+а — целые числа и ) О, причем оператор а+а не может имсть других, т. е. отрицательных, соб- неРелятивистскАя кВАнтовля мехл11икА 1Ч. ! 126 Переставляя все операторы а направо, последовательно коммутируя их с операторами а+ и используя определение (7.114), получим 1 = С"Си! (О ~ 0) = С'Сл!, (7.121) т.
е. для коэффициента С мы можем выбрать вещественное значение С = — 1/~'и!. Следовательно, нормйрованные собственные векторы оператора Н равны: ( +)Р )п)= =!0). ~/и! (7.! 22) Отсюда находим единственные отличные от нуля матричные элементы (и — 1 ! а !п) = (п ~ а~ ! п — 1) = Аlп . (7,123) Подставляя сюда в явном виде (7.108) операторы а и а+, полу- чим (п — 1 ! х ! и) — хо Л ( ~, (и + ! ! х ! п) — хя ~/ †. (и — 1 ! р ~ п) = — 1'т,а (и — 1 ~ х ! п), (и + 1 ! р 1 и) =11ияы (п + 1 ! х ! п), (7.124) т.
е. те же матричные элементы х„„и р„„(см. (7.68) и (7.69)), которые были вычислены йа основе х-представления волновых функций осциллятора, Убедимся теперь, что построенные нами векторы состояний (7.122) дают известные волновые функции осциллятора (7.41) в ственных значений Л, поскольку Л=(Л !а+а !Л)= ~ (Л 1 а+ !х)(х !а !Л)1!х= = ~ ~(х!а ~Л) 1-1!х)0, (7.118) если собственные векторы нормированы на единицу: (Л/Л) = 1. Обозначим нормированные на единицу собственные векторы оператора Н, принадлежащие собственным значениям 81А(и+1!А), символом )п) ((п!п) = 1, п = О, 1, 2,,), Ясно, что они только с-числовым коэффициентом отличаются от векторов (7.116): ! п) =С(а+)" !0).
(7.1! 9) Запишем условие нормировки 1 = (л ! и) = С С (О ! аа ... а а+а+ ... а+ ! 0). (7.120) линепныи ГАРмОнический ОсциллятОР 127 х-представлении. Для этого воспользуемся определением основного состояния (7.114). Записывая оператор а в х-представлении а= — (а+ — ), 3= —, для волновой функции фо(х) =(х(0) получим уравнение *) Ы+$) Ф.=о. Его решение чро = Сое 'Ь1, нормированное на единицу 0 чрзедх=х С' ~ (е '~'М)ас($=хоС' А/п =! так что С,=!/А/хв д/и, совпадает с волновой функцией (7.41) для и = О. Волновые функции возбужденных состояний чр.
(х) = = (х!и) получаются из функции основного состояния чро(х) по формуле (7.122), в которой также нужно перейти в координатное представление. Так, например, для первого возбужденного состояния и =! находим чр,=а+фа= — ~$ — — „) е 1Че= $е МП /й ~ "~~ /. /. / .../. в полном соответствии с формулой (7.41). д) Различные представления по отношению к зависимости вектора состояния от времени. Воспользуемся обозначениями Дирака, для того чтобы выяснить, как изменяется со временем ! матричный элемент (~р(!) )А1чр(1) т некоторого оператора А. При этом, так же как и по отношению к зависимости от координат х, возможны несколько представлений, соответствующих различной зависимости векторов состояния и операторов от времени.
1) Представления Шредингера и Гейзенберг а. Предположим, что сам оператор А явно не зависит от времени (дА/д! = 0), между тем как волновые функции, а вместе *) Заметим, что когерентные состояния, которые были введены выше на стр, 1!2, удовлетворяют задаче на собственные значения а ! о) = а ! а), т.
е. являются реше~ ием уравнения — — + — Р 1ра (х) = <ира (х). 1 г х 1хо ъ негелятивистскАя квАнтовАя мехАникА !яв с ними н векторы состояния 1ф(()) и <ф(!) 1 изменяются с течением времени согласно уравнению Шредингера для кет-вектора !'г! — 1ф())> = Н1ф(!)> (7.125) и для бра-вектора - И вЂ” „(ф() 1= <ф(г)1Н', и поэтому матричный элемент оказывается, вообще говоря, функцией й Учитывая эрмитовость оператора Гамильтона Н+ = Н, последнее уравнение можно переписать в виде — И вЂ”,', <ф() 1=<ф(!) 1Н. (7.126) Выбирая в частном случае ф(г)=ф(~), находим известную уже нам формулу (6.43) для производной по г от среднего значения. Рассмотрим теперь новые, не зависящие от ! состояния 1фн) и <фя1, причем такие, что старые, зависящие от г состояния получаются из них действием некоторого оператора () (!) 1ф(г)>= и(г)1фн)* (фИ1=(ф 1()+Ф (7.128) Для этого необходимо, чтобы оператор ()(!) удовлетворял уравнению И вЂ” () (г) = НБ (1), (7.129) точно такому же, как и для состояний 1ф(г)) и 1ф(!)).
Можно записать формальное решение этого уравнения (прн условии, что Н не зависит явно от времени) ).) (!) = е- !сл!"' (7.130) Принимая во внимание уравнения (7.125) и (7.126), а также тот факт, что оператор А явно от г не зависит (дА/д1 = О), для матричного элемента находим следующее уравнение: — ! <ч (г)1А1ф(~)> = = (<р(1)1А — „Н1ф(1)) — (ф(!)1НА —,„1ф(!)> = — (ф (с) 1 — [Н, А) 1ф (1)>. (7.127) $71 лннгиныи глгмоиическии осциллятоя 199 которое следует понимать как оператор, представляющий собой разложение экспоненты в ряд () (1) = 1 — — ', Н1+ — „( — „Нг) — " ..
(7.131) причем константа в решении (7.130) выбрана так, что состояние [ф(1) ) в начальный момент 1 = 0 совпадает с [фн). Подставляя (7.128) в равенство (7.127) и учитывая уравнение (7.129), получим (фн [1)~(1)А()(1) [фн) =(фи !1) у[Н А[1) !фн) (7 132) Введем теперь новый оператор АнЯ, связанный со старым оператором А с помощью преобразования снг Ан(г) = ()~А13 = е1вгаАе (7. 133) Оператор АнЯ, в отличие от А, зависит от времеви, и, как видно из равенства (7.132), подчиняется уравнению фАн(1) = — „' [Н, Ан(1)[.
Это же уравнение может быть, очевидно, получено и в результате формального дифференцирования по 1 определения (7.133). Таким образом, матричные элементы точно так же, как и средние значения, могут быть вычислены в двух различных представлениях, отличающихся тем, куда перенесена зависимость от времени. Представление, в котором состояния [ф(г)) явно зависят от времени и подчиняются уравнению Шредингера (7.128), а операторы А от времени не зависят, называется представлением Шредингера.
Если зависимость от 1 переносится на операторы АнЯ согласно соотношению (7.133), а состояния [фн). полученные из [ф(1)) с помощью обратного оператора У-', 1в ! фн) = () '(1) [ф(1)) = е " ! Ф(1)), (7.135) 5 А. А. сокал ь и лр. остаются постоянными во времени, то в этом случае мы имеем представление Гейзенберга. В обоих случаях в силу так называемой унитарности оператора 1), т.
е. свойства (см. также 9 6, стр. 99) 1)~ = 1) (7.136) которое очевидно из определения (7.130) и эрмитовости Н, мы получаем одно и то же значение для матричного элемента: (ф(~) [А! ф(Г)) = (фн [Я+1)Ан(3 1) [фн) =(рн [Ан[фн) (7 137) НЕРЕЛЯТИВИСТСКАР КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1ЗВ !ч. ! 2) Представление взаимодействия, В ряде случаев квантовую систему удается представить в виде совокупности подсистем, так, чтобы эти подсистемы без учета взаимодействия между собой описывались гамильтониаиом Нь, называемым свободным гамильтонианом. Тогда полный гамильтониан Н с учетом взаимодействия между подсистемами можно записать в виде суммы свободного гамильтоииана Но и так называемого гамильтониана взаимодействия 1! Н=Н +Ч.
(7.138) При этом оказывается удобным перейти в новое представление, в котором гамильтониан взаимодействия явно выделен. Для этого свяжем вектор состояния ~~р(!)) представления Шредингера с новым вектором 1Чч(!)) с помощью унитарного опера- тора 1Н Ф (!о=в 1)о =1!о =е + -~ гн.иь (7.139) так что !„~ (!)) ()-~1Ч,(!)) е~ниь1Ч,(!)) (7.140) Тогда для того чтобы матричные элементы некоторого оператора А, вычисленные по состояниям ~Ч(!)), при переходе к новым состояниям (7.140) остались без изменения (ф (!) 1А1$ (!)) = (фТ(!) 1 А! (!) !Ч!Т(!)), необходимо преобразовать сам оператор по закову А (!) Еснз!ААе-ане!А (7.141) Представление векторов состояния и операторов, заданное равенствами (7.140) и (7.141), носит название представления взаимодействия. Подействуем на новый вектор состояния ~Ч~~(!)) оператором д !й — и воспользуемся уравнением Шредингера для вектора д! И(!)) !А —,1Ч (!)) = Н1Ф(!)).
(7.143) В результате получаем !д — ~ чт (0) = — ньен ьиь 1Ч) (!)) + е™ ИА!!! — > ф (!))=е~н пью~ 1)(!)) д! е! Оператор взаимодействия согласно (7.14!) в новом представлении имеет вид УТ(!) = е'н""Че ьнл!А (7. 142) теОРия Возмушвпия !з! Переходя к оператору Н~(!), заданному равенством (7.142), окончательно запишем уравнение для вектора состояния в представлении взаимодействия зг! ф~( )) (7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
