Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 17
Текст из файла (страница 17)
подчиняются каноническим урав- 98 неРелятивистскхя квхнтоеАя мехАникА РА Г представляет собой обобщение классических скобок Пуассона (6.36) на квантовый случай и поэтому носит название квантовых скобок Пуассона, а связанная с ними величина (Н, (] = Н( — (Н называется коммутатором операторов Н и (. Для двух произвольных операторов А и В точно так же имеем (А, В) =А — ВА. I д1А Очевидно, в том случае, когда ~ — ) = 0 (как правило, оператор ( явно не содержит времени), уравнение (6.43) принимает вид ",(,') =((н, ()„.>= — „' (!н, Ц>. (6.45) Отсюда следует, что изменение ()) со временем в этом случае полностью определяется квантовыми скобками Пуассона.
Если к тому же оператор ( коммутирует с оператором Гам льтона Н, то соответствующая оператору ( физическая величина ()), как это видно из (6.45), сохраняется. С помощью (6.45) легко доказать, что энергия частицы, движущейся в потенциальном поле )А(г), не зависящем от времени, должна сохраняться. В самом деле, в этом случае выражение (Н, Н)» = д (НН вЂ” НН) обращается в нуль, и поэтому на основании (6А5) имеем: (Н) = сонат. С другой ст >роны, согласно стационарному уравнению Шредингера Нф,=Е„АР„, и поэтому, когда АР=АР(~)=х С„ф„(~), л (Н) = ~ Ар'Нф Ух = ~~ ~ С„7 Е„= Е, (6.46) Е (Н) ~ ф Нфйзх т, е. (6.46) представляет собой не что иное как закон сохранения энергии (Е = сонэ() для частицы, движущейся в силовом поле, ие зависящем от времени.
Заметим, что равенство нулю коммутатора Н с каким-либо оператором означает наличие некоторой симметрии в системе. Покажем это. Энергия системы, находящейся в состоянии Ар, определяется согласно формуле 5 М СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 99 Рассмотрим вместо ф и ф" новые функции Ф'=РФ и Ф"'=$*Р', где Р— некоторый оператор, а Р+ — эрмитово сопряженный оператор.
Тогда в состоянии ф' получим Е' = ~,ь" Нф'Ух/~,ь',ь'Н'х = = ~ Ф"Р+НРфУх/~ ф Р+РфФх. Энергия Е' будет совпадать с Е, если Р+Р=1 и Р+НР =Н, (6.47) где ! — единичный оператор. Поскольку из первого равенства следует, что обратный оператор Р-' = Р+ (унитарное преобразование), то второе равенство можно переписать в виде НР = РН. (6.48) Таким образом, преобразование волновой функции с помощью унитарного оператора Р (Р+ = Р-'), коммутирующего с гамильтонианом Н, не изменяет энергию системы, что и означает наличие симметрии в системе.
Если преобразование Р = Р(а) является непрерывным и зависит от действительного параметра а, причем Р(0) = 1 — тождественное преобразование, то для, малых значений а имеем: $'= Рф ж ф+а — „1ф, где (1/й)1 — оператор бесконечно малого преобразования. В этом случае условия (6.47), (6.48) с линейной точностью по а приводят к равенствам и Н1 =1Н, т. е. оператор 1 должен быть эрмитовым и коммутировать с Н.
Примером подобного оператора может служить оператор импульса р„= — (1й) д/дх, задающий трансляцию вдоль оси х. Действительно, ф (х + а) ж ф (х) + а — = ф (х) + а — р ф Аналогично, для бесконечно малого поворота вокруг оси е на угол а «1 получим Ф(Ч+а) Ф(ф)+а — ~ =Ф(ф)+а — „1.,Ф, дч где Е, = — ((й)д/д~р — оператор проекции момента импульса Е на ось г (см. ниже). негелятивистскАя квхнтовхя мехАникА 100 г) Теоремы Эренфеста. Найдем квантовый аналог классических уравнений движения (6.34); для этого используем квантовые скобки Пуассона.
Замечая, что х и р, не содержат времени явно, воспользуемся для определения производных соотношением (6.45), полагая в нем соответственно 1 = х и 1 = р,. В случае 1 = х находим — (х) = ((Н, х) „,) = — „(Нх — хН), (6.49) где 2 Н- — '" + У(х). ХЯ22 Учитывая при этом коммутативность х и У(х), можно привести (6.49) к виду и (') = — (р~х — хЮ я' Добавляя в правую часть этого выражения величину (р,хр, — р„хр„), равную нулю, имеем ,~ (х) = ~„, а (Р2(р*х «Рх)+ (Рх» хр2) Рх) (6 50) Принимая, далее, во внимание формулу (6.30а), получим — (х) = —. в (р) ~й Чтобы определить изменение импульса со временем, мы должны в формулу (6.45) вместо оператора 1 подставить оператор импульса р,.
Тогда, замечая, что р„р'-„— р'„Р„=О, находим — (Р„) = ((Н, Р~)„~) = а (2'Є— Р„г') = — ( — ); отсюда, используя (6.51), получаем п22 — „„(х) = — ( — „) = (г" (х)). (6.52) (6.53) Уравнения (6.51) и (6.53) представляют собой теоремьс Эренфеста, согласно которым для обобщения основных уравнений классической механики на квантовый случай мы должны в соответствующие классические соотношения подставить средние значения операторов.
Коммутативность операторов р, илн Ь, с гамильтонианом Н означает симметрию системы соответственно относительно трансляпий вдоль оси х или вращений вокруг оси г. При этом согласно (6.45) сохраняется импульс р, или момент импульса 1,, Ф 1 сТАТИОТИчвскоЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ 1о1 д) Переход ет квинтевых уравнений движения к классиче- скиАА. Сравним классическое уравнение движения тзх = Р(х) (6.54) с соответствующей квантовой формулой (6.53).
Как было отмечено, роль классической координаты в квантовой теории играет величина (х). Поэтому мы могли бы считать, что квантовое уравнение совпадает с классическим, если бы вместо (6.53) имели (6.55) гпз ~, (х) = Р ((х)), т. е, если бы в классическое соотношение между силой и координатой было подставлено вместо х его среднее значение (х). Однако согласно теореме Эренфеста в уравнения движения в квантовом случае входит среднее значение самой силы, т.
е. (Р(х)) Поэтому, чтобы перейти от квантовых уравнений движения к классическим, прежде всего следует установить связь между (Р(х)) и Р((х)). Представим для этого оператор силы Р(х) в виде Р(х) = Р ((х) + Лх), (6.56) где Лх = х — (х), и разложим Р(х) в ряд Тейлора вблизи точки х = (х). Тогда получаем: Р(х) = Р((х))+ (Лх) Р'((х))+ — Р" ((х))+ ... (6.57) Производя усреднение этого выражения по формуле (6.3) и принимая во внимание, что (Лх) = (х — (х)) = О, получаем: (Р (х)) = Р ((х)) + — Р" ((х)) + ...
(6.58) Поэтому квантовые уравнения движения (6.53) принимают вид тио,~ А (х) = Р((х)) + ~ Р" ((х)). (6.59) Здесь выражение е Р ((х)) является квантовой по((и х)А> правкой к классическому уравнению Ньютона. Очевидно, критерием перехода квантовых уравнений движения в классические является неравенство Однако следует заметить, что выполнение этого условия еще не означает возможность применимости всех классических понятий для описания движения мнкрочастицы. В самом деле, в квантовой механике среднее значение кинетической энергии (Т) опре- неоелятивнстскАя квАнтовАя мехАникА 102 деляется выражением <Р',> <Рх>' <(Алх)') (6.61) где ЛР„= Є— (Р,), (Др ) — 0 В то же время классическим аналогом кинетической энергии следует считать величину т« .>) = —","' Отсюда следует условие перехода от квантового выражения кинетической энергии (6.61) к классическому (6.62) <(Лр,)о> «<р„>о=2,т«п„>).
Умножая неравенство (6.63) на (6.60), находим общее условие возможности использования классического приближения в микромире (6.63) ((Лх)о>((бр„)о> (< 4тоТ(<рх)) ~ „'.((„)) ~ (6 64) Если к тому же учесть еще соотношение неопределенностей (6.30), то последнее условие принимает вид Р ((х)) 1 Зо пьоу'((Рх>) ~ р» ((„)) ~ ~~ ш й 7. ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР Задача об одномерном гармоническом осцилляторе является одной из важных задач теоретической физики. Она находит свое применение при построении простейшей теории колебаний, которая имеет большое значение в самых разнообразных областях физики (в механике, классической электродинамике, радиофизике, оптике, атомной физике и т.
д.). Новые теории, которые за последнее время появлялись в атомной физике, как правило, «испытывались» на ряде простейших задач, в том числе и на построении теории гармонического осциллятора. Часто оказывается возможным свести изучение движения сложных систем к рассмотрению совокупности нормальных колебаний, эквивалентных колебаниям гармонических осцилляторов. Для нас построение теории гармонического осциллятора интересно еще и в методическом отношении. В самом деле, эту задачу можно решить точно и тем самым проиллюстрировать на наиболее простом примере применение уравнения Шредингера для исследования конкретных задач.
Задача о гармоническом осцилляторе сыграла большую роль также при создании квантовой теории поля (вторичного квантования) и при анализе линеинын ГАРмОнический ОсциллятОР 1ОЗ так называемой нулевой энергии электромагнитного вакуума. Конкретное применение задача о гармоническом осцилляторе нашла в теории равновесного излучения, а также при построении теории спектров и теории теплоемкостн двухатомных молекул (см. ниже). а) Осциллятор в классической теории и в приближении ВКБ.
Рассмотрим сначала классическую теорию линейного гармонического осциллятора *). Для этого представим себе, что на некоторую материальную точку с массой пго действует упругая сила с" = — йх, (7.!) описываюшей простейший колебательный процесс. Решение этого уравнения имеет вид (7.3) х=асозго1, 2я I Ф где со= — =,тг — — круговая частота, а а — амплитуда колес яго баний. Из (7.3), в частности, видно, что ускорение га = х = — агат соз отг (7.4) отлично от нуля.
Следовательно, колебание заряженной частицы должно сопровождаться излучением, интенсивность (средняя энергия, излучаемая в ! с) которого в соответствии с классической электродинамикой будет с учетом (7.4) определяться выражением „» 2«» —.. еао»ы« с з з (7.5) При выводе (7.5) мы учли, что среднее значение созе го( равно — ~ соз гога'1 = —. 1Г 2 1 2' о (7.6) Выразим теперь интенсивность излучения В'"" через полную энергию Е = Т+ У гармонического осцнллятора.
Воспользо- «) В данном параграфе мы рассмотрим случай одномерного движения и в дальнейшем вместо выражения «линейный гармонический осцнллятор» будем говорить просто «гармонический осцнллятор». где й — коэффициент упругости. Тогда классическое уравнение движения гармонического осциллятора запишется в форме глох = — йх, (7.2) нвРРлятнзистскля кВА11товАя махА11икА 104 сч 1 вавшись известными выражениями для потенциальной энергии о т оооао )е(х) = — ~ Е (х) ах = ' = ' созооо( (7.7) О и кинетической энергии; тоХ' тоеоеае Т= — — ип оо1, (7.8) находим тое'а' Е = У (х) + Т = ' ' = со па(, 2 (7.9) Исключая с помощью последнего соотношения величину ао из (7.5), имеем 2еоеооЕ (7.10) атос Итак, с помощью классической теории определяется как интенсивность, так и частота излучения, причем последняя совпадает с механической частотой колебании гармонического осциллятора.
Энергия же гармонического осциллятора может принимать любые непрерывные значения. Согласно квантовой механике энергетические уровни осциллятора должны быть дискретными. Наиболее просто спектр энергии можно определить методом ВКБ' с помощью правила квантования Бора — Зоммерфельда (5.39) $ р„е(х = 2пй (и + 1/о), (7.11) где квантовое число и = О, 1, 2, 3, ..., а импульс р„ равен р„= 42иоо(Š— У(х)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
