Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 12
Текст из файла (страница 12)
всегда должна быть положительной величиной. В области Р ) Š— потенциальный барьер — импульс имеет мнимое значение, и присутствие там частицы в рамках классической теории является совершенно недопустимым. Поэтому если две области пространства, для которых Е ) (т, отделены дрчг от друга потенциальным барьером, внутри которого ьт ) Е, то по классической теории просачивание частицы из одной области в другую область сквозь потенциальный барьер невозможно. По волновой же теории мнимое значение импульса соответствует лишь экспоненциальной зависимости волновой функции от координаты.
Поскольку волновая функция внутри потенциального барьера в нуль не ооращается, то вполне возможно н просачивание частицы сквозь потенциальный барьер. Для микрочастиц и это явление может стать даже вполне наблюдае/7адантгцая ввянв мы м. Проювдящвяввннв Прохождение сквозь потенциальный барьер ! получило название тунРятрв ени , '7 , 'дт нельного эффекта.
Оно важа !4ат является специфическим / лишь для волновой теории н не имеет какого- либо аналога в классической механике. Рассмотрим гладкий потенциальный барьер произвольной формы (т(х) (рис. 5.3). Если энергия Е по величине не превышает высоту барьера, то можно выделить три области изменения потенциальной энергии — оо ( х < х, и хй < х ( оо ((т(х) < Е); х! < х < хй ( р'(х) ) Е), где коорди- $ 51 пРНБлиженнь!е Ре!Еег!Ня уРАВнения шРедингеРА 69 наты х! (начало барьера) и хз (конец барьера) находятся из условия (г(х!) = К(х!) =Е. Здесь, как и ранее, х, 1Г 2!=! ) р!(Хв а произвольные постоянные а и Ь мы подобрали таким образом, чтобы коэффициент перед падающей волной обратился в единицу (это можно сделать, так как нас интересует лишь отношение потоков, а не вероятности), прн э«ом коэффициент перед отраженной волной В! пока произволен: а=!(В! — 1), 5=1+ ВР (5.44) Решение в области П (х, «= х ( х!), где Е < Ъ'(х), в силу конечной ширины барьера должно содержать как затухающую, так и возрастающую экспоненту и согласно (5.32), (5.35) и (5.44) имеет внд (5.45) где ) х, )= — „~) »1ох.
1 хв Воспользовавшись равенством х хв хв (х! )+) Ея) = ~ 1 р )!вх+ ~ 1 р1г(х= ~ ~ р ) дх = — у, хв х х, (5.46) (5.47) Для того чтобы получить вероятность прохождения мнкрочастицы через барьер у'(х), обратимся к явному виду волновой функции, полученному в квазиклассическом приближении (5.3() — (5 35) . В области 7 ( — со ( х ( х!) (рис. 5.3), где Е ) 'У'(х), имеется две волны: падающая на барьер и отраженная от него, поэтому общее квазиклассическое решение уравнения Шредингера согласно (5.3!), (5.34) таково: «р! = = Е1п ~х! + ~ + = соз (г! + — ) = + ' е в '+ 4) (5.43) ,-'(* -") «/» ~/~ нерелятнвистскАЯ квхнтОВАя мехАникА [Ч.
! 70 мы можем решение ф!! переписать так: 2А11Р! А1(р) Наконец, в области 111 (хэ ~ х ( со), где опять Е ) Ъ'(х), по условию задачи должна распространяться только прошедшая волна ~/Р где ! Г г,= — ) ра!х, А3 (5.50) (5.51) решение этой системы имеет вид 1пе У ет ! 5.52 ет+ '1,е т !(ет+ '1,е ( ) Для характеристики величины туннельного эффекта введем коэффициент прозрачности барьера, под которым будем понимать модуль отношения плотности потока частиц, прошедших через барьер, к плотности потока падающих частиц В=~ —,.'"' !.
(5.53) Для определения потока частиц воспользуемся формулой = ~т ( эх ф ф дх )' (5.54) Подставляя в эту формулу решения уравнения Шредингера (5.43), (5.49), для коэффициента прозрачности 0 находим 1)пр ! 1 1) = — =1 А, 1п = 1!ппп1 (е" + ~14е т) В том случае, когда величина у значительно больше единицы (заметим, что именно этот случай представляет практический (5.55) а коэффициент перед отраженной волной положен равным нулю. Амплитуда прошедшей волны (5.49) нс может быть произвольной, так как согласно (5.31), (5.32), (5.34), (5.35) осциллирующее решение (5.49) в области П1 является аналитическим продолжением решения (5.48) в области 11: Ае —— — '(В! — 1) е-т, 2 — '=(В, + 1)е .
!Лп Ф э! ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 71 интерес), коэффициент прозрачности (5.55) будет равен х, О -' = *р[ — т — ~ з)2 ьп — х) р ). )з.вз) г х) Если теперь ввести коэффициент отражения (5.57) где 1с р — тон отраженной волны в решении (5.43), то )т будет выражаться через коэффициент В)) я=~в,Г=('," ', "„), (5.58) или при у)) 1 В "1 — е'т. (5.59) Из сравнения последних формул для Р и )г следует, что сумма коэффициента прозрачности и коэффициента отражения равна единице (5.
69) При переходе к классическому пределу (Ь-РО, у-ы оо), как видно из формул (5,56), (5.59), коэффициент прозрачности обращается в нуль, а коэффициент отражения — в единицу, т, е. прохождение частиц сквозь потенциальный барьер становится невозможным. В квантовой же области, когда у Ф оо, движение внутри потенциального барьера представляет собой типпчное проявление волновых свойств микрочастиц. Это явление имеет свой аналог в любой волновой теории. В частности, в оптике хорошо известно явление полного внутреннего отражения, которое может наблюдаться при отражении света от оптически менее плотной среды.
д) Случай прямоуголь- а х ного барьера. Рассмот- Рвс. Ал. пввхвжхсвкс чвствцы сквозь пврспцпвхьрим потенциальный барьер прямоугольной формы высоты Ро и ширины а (рис. 5.4). Барьер такой формы интересен в том отношении, что для него задача о туннельном эффекте допускает точное и вместе с тем простое решение. Кроме того, на его примере можно исследовать так называемое надбарьерное НЕРЕЛЯТИВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАННКА 1ч.
г отражение, когда энергия частицы Е больше высоты барьера (Е ) )22). Пусть частица, энергия которой меньше высоты барьера (Е ( 1!2), движется в положительном направлении оси х. Тогда решения уравнения Шредингера для каждой из трех областей имеют вид (см. (4.26) и (4.7)) ф,=е'2" +В,е '"' при х<О (область !), фн — — Аае "'+ Ваехх при 0 < х < а (область 7!), (5.61) фн,— — А,е'"1' '> при х > а (область !!!).
Здесь (5.62) 1+В =А +В, !й (1 — В1) = х (В2 — А2), (5.63) а при х=а А е-ка 1 В еха — 4 . й А Е-"' — В2Ека = — ! — Х А . 2 — 2. Из последних двух уравнений находим й 1 — 1— А — екаА х 2 2 2 й 1+!в В2 = — е-"'А . 2 — З 2. Подставим А2 и В2 в уравнения (5.63) и, исключая Вь получаем 2 Аэ= ,/х йх 2 сьха+ ! ~ — — — ) вьха 1й х! Коэффициент прохождения !) можно вычислить по общей формуле (5.53), используя коэффициент (5.66): 1!Пр( 4й2х2 (й2 4- к2)2 Вь' ка + 4йах2 (5.67) (5.64) (5.65) (5.66) причем коэффициент перед падающей волной еах за счет выбора нормировки положен равным единице, В2е-'А" характеризует отраженную волну, а справа от барьера (х ) а) присутствует ТОЛЬКО ПрОШЕдШая ВОЛНа ААЕ'21"-а1.
Для определения неизвестных коэффициентов в решении (5,61) воспользуемся условиями непрерывности волновой функции и ее первой производной на границах барьера. При х = 0 имеем Ф 21 пгивлиженные Решения уРАВнения шредингеРА 73 Для достаточно широкого барьера, когда ха » 1, из точного выражения (5.67) приближенно находим 77 е ' =Е1е "" 1бй'хг — (йа+ 2В = о (5.68) Экспоненцнальный множитель для прямоугольного барьера, играющий основную роль, может быть получен из формулы (5.56), соответствующей гладкому барьеру.
Отличие заключается в том, что для прямоугольного барьера появляется коэффициент 0о, имеющий порядок единицы. Подставляя в (5.68) значение х из (5.62), можно коэффициент О записать в виде (ха » 1) — ~/2иь(Уо-Е1 та 0=Осе * (5.69) Как видно, в случае ха » 1 выражение (5.69) с точностью до коэффициента 0о порядка единицы совпадает с результатом, который может быть получен методом ВКВ по формуле (5.56)*), если учесть, что а — „.1/2то()'о — Е) = — „~ 1I2лто((го — Е) дх. (5.70) о Пусть теперь энергия частицы больше высоты барьера (Е ) *Ус).
В этом случае решения уравнения Шредингера вне барьера фг и фш имеют точно такой же вид, как и при Е ( Уо, и определяются формулами (5.61). В области 1! над барьером решение фн можно получить из формул (5.6!) с помощью за- мены х=Ж й~ = '~/ гг (Е )~о) /2лго (5.7 !) поскольку теперь Е ) Уа и решение должно содержать падающую и отраженную от второй границы барьера (х = и) волны. Проводя сшивание волновой функции и ее производной на границах барьера, точно так же как и в случае Е ( уо, для коэффициента отражения находим следующее выражение: ') Иа этой формулы видно, что дли гладкого барьера в квааиклассиче.
оком приближении ВКБ коэффициент Ва = 1. !ч, т НВРГЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МВХАНИКА Заметим, что этот результат можно получить также из выражения (5.67) для коэффициента 0 с помощью замены (5.7!) и соотношения )с =- ! — (э. (5.73) При й1 = й, т. е. когда высота барьера обращается в нуль ()т, = О), мы находим, что О = ! и )с = О, т, е. отраженная волна отсутствует, и мы будем иметь на всем интервале изменения х свободное движение (см. (4.26) ), Таким образом, в квантовой механике волна, соответствуюшая частице с энергией, превышаюШей высоту барьера (Е) УВ), также должна частично отражаться. Это явление носит название надбараерного отражения. е) Вырывание электронов из металла.
Холодная эмиссия. Теория туннельного эффекта имеет ряд весьма важных приложений в теории металлов и в ядерной физике. С помощью этой теории удалось понять ряд явлений, которые не нашли своего объяснения в классической физике. К числу таких явлений следует в первую очередь отнести холодную эмиссию, т.е. Вырывание электронов из металла под действием электрического поля, а также возникновение контактной разности потенциалов. Однако прежде всего скажем несколько слов о теории «электронного газа>, лежашей в основе электронной теории проводимости металлов.
Высокая злектропроводность металлов говорит о том, что электроны способны сравнительно свободно перемещаться внутри всей кристаллической решетки металла. Затруднен лишь их выход из металла в вакуум, требующий затраты некоторой энергии, так называемой работы выхода. Это наводит на мысль рассматривать простейшую модель металла как свободный электронный газ, движущийся в потенциальной яме, внутри которой (т.е. в металле) потенциальная энергия равна нулю )т = О, а вне, т. е. в вакууме, 1/ = РВ ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
