Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 11
Текст из файла (страница 11)
разделить на две обла- сти. В первой области ! (х ( хо) энергия Е больше потенциальной энергии: Е ) )т, а во второй области П (х ) хо), наоборот, Е ( )т. Очевидно, что на границе этих двух областей (х = хо) имеем Е = у'(хо). Исходное уравнение (5.2) в одномерном случае принимает вид 3' — Тйби = 2то (Š— )т) ри. (5.9) йи ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 61 получаем Отсюда следует, что хе ос= ~ ~ Рзгте х В,=И!п т/р. (5.13) Поэтому, ограничиваясь членами порядка й, имеем: В = Во + Вз = ~ ~ Р цен + Гй 1п т/» . (5.14) Подставляя (5.!4) В (5.1), находим следующее выражение для волновой функции в области е' (н ( но): тр„<„,ж — [аз(п(е+ у)+ Ьеоз(а+ Те'Д, (5.15) где г= — „~ ргун) О, Р=.42то(Š— Р).
~Г х Точно так же для области П (х ) не), в которой ра ( О, получаем зр„>„— (Ае '*~+ Ва'*'), (5.16) е)ке где ') к 1г1= — „~1Р1пен) О, 1Р1= 1/2лзо()е — Е) (5.17) ке Постоянные а, Ь, А и В и фазы у и у' не являются произвольными, поскольку, как будет видно из дальнейшего изложения, они должны быть связаны между собой определенными соотношениями, вытекающими из условия сшивания решений вблизи точки н = но перехода из области! в область П.
'1 В случае, если потенциальный барьер будет слева от особой точни, мы лэлжны прн определении л и 1л1 поменять местами пределы интегрирования тан, чтобы нижний предел был меньше верхнего. Таннм образом, величины л и 1х1 всегда будут положительными, Юо + 25оз( — 1ЬВе'= Р ° (5.11) Приравнивая друг другу члены в левой и правой частях, не зависящие от й, а также пропорциональные В (при этом необходимо учитывать, что величина З~ пропорциональна Й), находим Зо =Р'е 28Ф(=1ЬВе. (5.1 2) негвлятивистскхя квлнтовхя мГХАннкх !ч.
г Волновые функции (5.15) и (5.!6) и представляют собой приближенные решения по .методу ВКЬ. Из этих решений видно, что при Е ) У волновая функция изменяется, как в потенциальной яме (см. (4.4)), т.е. по закону косинуса или синуса, а при У ) Š— как внутри потенциального барьера, т.е. по экспоненциальному закону (см. (4.7)). Сравнивая решения, найденные при У0 — — сопз(, с решениями, полученными в том случае, когда потенциальная энергия являетсй функцией х, мы видим, что переход от одних решений к другим заключается в замене площади прямоугольного барьере, образуемого осью х и осью, на которой отложена величина тlзто (Уа Е) ! р ! л м соответствующей площадью, учитывающей, что У является функцией х, Схематически этот переход можно изобразить следую!цим образом: (5,18) Аналогичный переход можно сделать также и в случае потенциальной ямы.
Такям образом, конкретный вид зависимости потенциальной энергии от х ие изменяет характера решения; последний определяется лишь знаком разности между Е и У. Решения (5.15) и (5.16) дают хорошее приближение лишь для областей, сравнительно удаленных от особой точки хо, где величина рз относительно велика. Вблизи же особой точки (х-~-хр) величина рз-~О, и поэтому знаменатель в выражениях (5.15) и (5.16) обращается в нуль, а само решение становится расходящимся. Если бы мы могли выразить постоянные А и В через а и Ь, то найденное приближение было бы вполне достаточным для многих задач, так как область )х — х0! — О является сравнительно узкой.
Однако соотношение между этими коэффициента. ми может быть найдено только в результате сшивания функций, которое следует производить именно на границе областей, т.е. в точке х = ха (под сшиванием мы будем понимать приравнивание на гравице области х = хо волновых функций и их первых производных). Поэтому приближенное выражение для ф необходимо представить в тиком виде, чтобы прн больших рз имело место соотношение (5.15), а при х -+.хм когда гР = — (х — хо) йтзУ' (хр) = — пй' (х — хо) З 51 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 63 приближенное решение удовлетворяло бы уравнению ф» — а (х — хо) ф = О, где постоянная а = —,, У' (хо). (5.19) Введем вместо х новую переменную й = а'А (х — хо), (5.20) тогда уравнение (5.19) принимает вид — „, — К=О, лез (5.21) ( — —, + 5) ~ соз (ф+ '/з/з) е(/ = о = ~ (1 + Исоа(/5+ '/з1~) Й= $ е((з)п(15+ ~/з1~)1=.0е (5.24) о о причем последний интеграл следует понимать как предельное значение 1пп 1 з( 1е-з' з(п(/Е-+ '/з1з)) = О.
Аналогично подстановка первого интеграла (5.22) в (5.21) показывает, что и в этом случае оно также (5.25) уравнение удовлетво- ") Джеффрис Г., Сеирлс Б: Методы математической физики.— Мл Мер, 1976, вмп. 3, е. 69; см. также Яковлева Г. Д. Таблицы фуикцай Эйри и кх производных, — М.: Наука, 1969, Линейно независимыми решениями уравнения (5.21) являются так называемые функции Эйри (/(е) и у'($) *), которые можно представить в виде следуюших интегралов'. О 1/(е) = — ~ (е 1-' и+ з(и (15+ '/згз)) е// (5.22) о Р(й) == ° (/й+'/з/') // о (5.23) Можно легко убедиться, что. этн интегралы действительно удоглетворяют уравнению (521).
Так, например, подставим второй интеграл (5.23) в уравнение (5.21) и, изменяя порядок дифференцировании н интегрирования, получим непелятипистскАя кВАнтоиАя мкхАннкА (ч 1 (5.28) Таким образом, полагая в равенствах (5.15), (5.16) Ь=О, ачь0, находим первую пару сшитых решений а . г мх — з)п ~я+ — ), л(л, / ~ 4)' (5.31) ф см †, е-1*' л>л~ 2 у(р! (5.32) «) Заметим, что функпин Эйри связаны с функниями Бесселя порядка ~')з от мнимого аргумента Ку, (при 1> О) или с обычнммн фуикпиямн Бесселя 1л, (прп $ ( О). ряется «). Асимптотическое выражение функций Эйри Щ) и (т(й) при !в! » 1 имеет в случае $ > 0 вид 1 Ч -уе'А 1~(9см 2 Г'~е ' (5.26) 'А У К) ок $-"е*", (5.27) т.е. функция т'($) является зкспоненциально убывающей с ро- стом $, а функция ()($) — экспоненциально возрастаюшей.
В случае же больших отрицательных значений $ ( 0 функ- ции т' и У являются осциллирующими: (3(в! + 4)' ст ( !З! ) — ! 2 Г СОЗ ( — ! Л )У + 4 ) ° (5 29) Вычисляя значения г и )г! в равенствах (5.15) и (5.16) соот- ветственно при х-и хо — 0 и х- ха+ О, получим ав — — „)р~х з!$1, х хо — О, л х 1 2 )г)= — „1!р! х — 5', х,+О. л, Поскольку решения (5.26) — (5.29) и решения (5.15), (5.16) должны совпадать в тех областях, где оии одновременно спра- ведливы, то, приравнивая оба асимптотических решения, полу- чим, что А= 2. В=Ь, У=У'= 4.
(5.30) где экспоненциально убывающее решение (5.32) в области А ) хо представляет собой аналитическое продолжение синусоидального решения (5.31) для области х ( хо. Чтобы определить аналитическое продолжение экспонеициальио возрастающего решения при х ) хо, мы должны поло- жить (5.33) а=О, ЬФО.
Тогда для второй пары сшитых решений имеем: ф,<„— соз (г + — ), (5.34) ь 4Т ж е~»1 (5.35) в) Квантование потенциальной лмы в квазиклассическом приближении. Полученные формулы позволяют произвести квантование (т. е. найти энергетические уровни) частицы, находящейся в потенциальной яме, в приближении ВКБ. Допустим, что мы имеем потенциальную яму произвольной, но гладкой формы (рис. 5.2). х=хл х х=ху Рис. 6Л. Квантование вотенвивлвнов имм ио методу ВКБ. Очевидно, что процесс квантования по методу ВКБ будет заключаться в нахождении таких условий, при которых экспоненциально возрастающее решение с обеих сторон потенциального барьера (х ( ху и х ) хв) обращалось бы в нуль.
В этом случае согласно (5.31) волновая функция в области потенциальной ямы, прилегающей к границе барьера, имеет вид (х-в.хо): »т и — з(п ~ — 4 рс(х+ — 1. »<», „у- 4,»' (5.3ф 3 А. А. Соколов а др. $ 51 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 63 !ч. ! НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Точно так же для области потенциальной ямы, граничащей с другим барьером х = хь мы можем написать: к а . ! ! л = В1п( — 1 р!(х+— х>к~ / 4) к~ (5.37) Оба решения должны быть тождественны между собой в любой точке х! ( х ( хт потенциальной ямы, еежащей на достаточно большом расстоянии от границ потенциальных барьеров. Произведя в одной из точек х сшивание обоих решений (5.36) и (5.37), т.
е. приравнивая в этой точке волновые функции.и нх производные, имеем (! Г а' е( и ~ — ) р дх + — ) — а з( и ~ — а! р !(х + — ! = О, ~А,) 4) ) а,) 4)— х к, х, к а соз~ — 41рс(х+ — )+а сое~ — з! рдх+ — 1=О. ! Г я 1Г н 4 а.) 4) к к, Чтобы эта система однородных уравнений имела ненулевое ре- шение, необходимо потребовать обращения в нуль ее определи-, теля. Тогда получим соотношение к, ! Г 5!п — ') р с(х+ — ) = О. 1 Я,) г) х~ к, Отсюда, учитывая, что ~ рдх не может быть отрицательной к, величиной, так как р =~/2та(Š— *к') ) О, находим — ~ р!(х+ — =(п+ 1)п, п=О, 1, 2, ...
(5.38) х~ (5.39) Эти правила квантования, правда, без члена 1йй, были постулированы Н. Бором в 1913 г. еще до создания квантовой механики. Они известны как правила квантования Бора — Зоммерфвльда (постулат стационарных состояний). Появление отлич- Таким образом, правила квантования, полученныес помощью приближенного метода ВКБ, т. е. с точностью до членов порядка й, принимают внд $ р а!х = 2пй (и + 4 В) = Ь (п + '/а). зи ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ет ХВ / а ~ — з(п ~ — ~ ра(х+ — ~=1.
2 АХ . 2 ! 3 Р 1А 3 4~ % х, (5.40) Синус представляет собой быстро осциллирующую функцию, и поэтому его квадрат, с достаточной степенью точности, можно заменить средним значением, равным '/2. В этом случае равен- ство (5.40) приведем к виду кк '12а2 ~ — = 1. их Р х, (5.41) 2П Далее учтем, что период колебаний т = †„ равен к кк ел Г дх Г к2х т= — = 2 ~ — =2глэ ~— а,)Р— ЗР х, х, где о = — — скорость частицы. Р мо Отсюда для нормировочного коэффициента получаем вы- ражение ного от нуля члена '/2Ь в квазиклассическом условии квантования (5.39) несущественно для высоковозбужденных состояний с квантовыми числами п » 1, однако оно становится важным для наинизшего, т. е. основного состояния п = О.
В частности, решение задачи о гармоническом осцилляторе(см. $7) показывает, что энергия основного состояния — нулевая энергия,— соответствуюшая члену 'Йй, обязательно должна быть отличной от нуля. Тем не менее неучет этого члена не сказывается иа спектре излучения, поскольку, как будет показано в $9, частота излучения определяется разностью значений энергии стационарных связанных состояний системы. Этот вывод квантовой теории также согласуется со вторым постулатом Бора — условием частот. При нахождении номировочного коэффициента в квазиклассической волновой функции достаточно ограничиться интегрированием по интервалу х2 ( х ( х2 (потенциальная яма), поскольку вне его волновая функция экспоненциально убывает, т.е.
ее практически можно положить равной нулю. Тогда имеем НЕРЕЛЯТПВИСТСКАЯ КВЛНТОВАЯ МЕХЛНУКА !ч. ! Следовательно, собственная функция (5.37) в приближении ВКБ может быть записана в виде х 2ш . 1 ( и — з!п( — ! рйх+ — ). ~а 3 4)' х, (5.42) г) Прохождение частицы сквозь потенциальньгй барьер (туннельный эффект). Согласно классической теории частица может находиться только в тех точках пространства, в которых потенциальная энергия )г меньше ее полной энергии Е. Это следует из того обстоятельства, что кинетическая энергия частицы — =Š— (т Р' 2то Рис. 5.3. Схема потенвиальвого барьере произвольной, но достаточно гладной формы. Падающа» и проходищен волны изображены сплошнымн нривыми; отраженн໠— штриховой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
