Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В самом деле, вычислим ток прошедшей волны фн~ согласно (5.54): /=,—,(й+ й'И ф Г= — 'р=ро, где р = ~ ф,» /' — плотность вероятности. Отсюда и из (5.131) находим д — — 2ой'р, д/ др дх Далее, согласно (5.130) имеем др — = — Лр. д/ При этом для энергии получим следующее выражение: Е = Ео — — /йЛ ! 2 (5. 127) $ б1 стАтистическое толкоВАние кВАнтоВон мехАники 81 Таким образом, с учетом (5.126) и (5.128): А + е — — ( — А+2н'о)р=О, т. е. уравнение непрерывности выполняется, как и следовало ожидать.
Соотношение (5.!28) для постоянной распада Х позволяет также определить коэффициент прозрачности барьера Е1. Действительно, между величинами )о и 0 существует связь, установленная в задаче об альфа-распада: Это значение для 0 было получено нами ранее иным путем при решении задачи о прохождении через прямоугольный барьер (см. (5.69)). й В. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОН МЕХАНИКИ а) Средние значения оператооое. Как известно, в классической теории движение отдельной материальной точки вполне определяется зависимостью координат от времени, что однозначно можеч быть найдено из основного ззкона движения Ньютона т,г = — Втаб Г(г), (6.!) если при этом заданы еще и начальные условия (динамическая закономерность).
Определив г как функцию времени, можно найти также импульс и энергию материальной точки. Несколько иначе обстоит дело при наличии многих частиц, например, в кинетической теории газов. В этом случае проявляются новые, присущие большому коллективу частиц, статистические закономерности. Оказывается, что частицы такого коллектива имеют определенный закон распределения, вообще говоря, как в координатном, так и в импульсном пространстве. При этом можно говорить только о вероятности того или иного значения координаты или импульса частицы.
Функция распределения ! позволяет найти средние значения координзты и импульса ~ «гдбтдбр р ~ р )дбхнбр (6.2) (5. 132) гпе — — число соударений с барьером в единицу времени. От- 21 сюда для 0 находим выражение АА Оо ехр Ь вЂ” 2 (а/А) Т/2то ($'о — Ео) 1. (5.133) НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !ч. $ ай нлн средние квадраты этих величин х' = ~ хе)г(зхг(зр и т. д., которые и должны совпадать согласно закону больших чисел с соответствующими экспериментальными значениями.
Обратим внимание на одну особенность статистической закономерности. Эта статистическая закономерность в классической физике появляется в результате усреднения по так называемым скрытаси паралгетрам, определяющим точное движение каждой частицы согласно уравнению Ньютона. В окончательные же результаты этн скрытые параметры не входят. Вообще, классическая теория, по крайней мере в принципе, позволяет указать (хотя это и очень сложно математически), почему в каждый момент времени координаты и импульсы отдельных частиц имеют данное наблюдаемое отклонение от средних значений.
Поведение частиц в микромире описывается волновой функцией ф(г, 1), которая носит вероятностный характер, причем даже в том случае, когда описываемая ею система состоит всего лишь из одной-единственной частицы. В связи с этим квантовая механика позволяет определить лишь средние значения физических величин независимо от того, имеется много микрочастиц или только одна. Следует подчеркнуть, что, ограничиваясь рамками квантовой механики, даже в принципе невозможно объяснить отклонение наблюдаемых величин от средних *). Вычисляются же эти средние значения в квантовой механике подобно тому, как это делается в статистической теории, т.е. по фор- муле: М ~ф Р)Мф(Г) ~з (6.3) где М может быть любым оператором (в том числе и числом), а величина ф'(1)ф(1) играет роль функции распределения ~.
В настоящее время средние квантовомеханические величины все чаще начинают обозначать с помощью угловых скобок. Эти обозначения мы и примем в дальнейшем. Тогда формула (6.3) будет иметь следующую запись: (х() ~ ф*р Мф(~) ~з (6.4) ") Как доказал фои Нейман, в осиове статистических закономерностей кааитовой механики ие могут лежать скрытые параметры. Одиако доказательство фои Неймана ограничено рамками самой же квантовой механики, и если последней ие придавать значение абсолютной теории, то теорема фои Неймана ие может претеидовать иа общность. Чертой же в дальнейшем мы будем обозначать лишь классические усреднения. $6] СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ 89 Средние значения координаты и импульса являются числами и будут определяться фактически по одному и тому же закону (х) = 1 ф' (1) хф (1) нгх, (6.6) (р ) = ~ ф (1) — — Р (1) а х д несмотря на то, что х является числом, а — — оператором продх изводиой.
При этом (х) будет координатой центра тяжести волнового пакета, а (р ) — импульсом этого центра тяжести. Для того чтобы средние значения соответствовали физически наблюдаемым величинам, они должны быть вещественными (М)" = (М), (6.6) т. е. ~ „р*Мф,(эх (~ ф Мф,рх)" (6.7) Это условие накладывает определенные требования иа операто- ры М. Для того чтобы их выяснить, необходимо ввести понятие эрмитово-сопряженного оператора. С этой целью рассмотрим сходящийся интеграл ~ т."М~рсРх, (6.8) (6.9) (6.10) В этом случае оператор М называется самосопрнженным (или эрмитовым). Полагая в этом равенстве ~р = т, = ф, приходим к условию (6.7).
Таким образом, если оператор является самосопряжеииым, М=М", (6.11) то соответствующие средние значения, как это следует из ра- веиств (6.7) и (6.6), представляют собой вещественные вели- чины. где <р и т, — какие-либо произвольиые функции, удовлетворяющие некоторым граничным условиям в зависимости от вида оператора М. Определим эрмитово-сопряжеииый оператор М+ следующим уравнением: 1 Х'МЧ 1'х = 1 (М'Х) Ф' . Если оператор М совпадает с эрмитово-сопряженным к нему оператором М+ (М = М+), то НСРГЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА где ооа = й"о/йх'. Тогда, если все подстановки пределов типа [пом — п]~ (пшо~ -2У~~ (пм-по) (6 13) обращаются в нуль, то результат интегрирования 6 не изме- нится, если мы в (6.12) и-ю производную от функции о «перебро.
сим» на функцию и н поставим при этом перед интегралом множитель ( — 1)": иЫ"' йх = ( — ! ) ~ икао пх. (6.1 4) В самом деле, производя в (6.12) и-кратное интегрирование по частям и учитывая нулевые значения подстановок (6.13), приходим к соотношению (6.14). В случае дискретного спектра условия (6.13) будут всегда выполнены, так как волновая функция убывает на бесконечности по экспоненциальному закону.
В случае же свободного движения (непрерывный спектр) эти выражения обращаются в нуль вследствие условия периодичности. Физически условие (6.13) означает, что на бесконечности нет никаких частиц н никаких токов. Возвращаясь к доказательству самосопряженности оператора в равенстве (6.14), мы должны положить и = ф" (1), о = — (й2Р (1), и = 1. Отсюда автоматически следует, что (р,) = — ~ Ч2 (1) 26 — Ч2(1)йх — ~ ф(1) 2й — ф (1)й1=(р„), т. е. условие самосопряженности (6.7) для р, оказывается выполненным.
Заметим, что в противоположность оператору р, = — (йд/дх вещественный оператор д/дх не является само- сопряженным, и его среднее значение не имеет физического смысла. Если оператор М имеет только одно собственное значение Х (и одну собственную функцию Ч2), то оно, как нетрудно видеть, будет совпадать со средним значением этого оператора, Дей- Покажем, в частности, что оператор р, удовлетворяет условию (6.7) или (6.11), несмотря на то, что по внешнему виду он является чисто мнимым. Докажем для этого прежде всего важную для дальнейшего теорему о «перебросе» производной. Заключается она в следующем.
Допустим, что мы имеем интеграл пока йх » $ б! СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВИНТОВОЙ МЕХАНИКИ 9! ствительно, следуя общему правилу (6.!2) определения среднего значения оператора и учитывая, что Мф=Лф, (6.15) получаем: (Л() ~,» Мфйз Л ~ ф»йз Л Пусть теперь оператор М уравнения (6.15) имеет несколько собственных значений Л!, Лм..., Л„..., соответствующих функциям !»!, фм, !», ... В этом случае в квантовой механике принимается, что в результате точных из.керений физической величины, соответствующей оператору М, должны получаться лишь его собственные значения Л„.
Предположим теперь, что квантовая система находится в некотором состоянии, описываемом волновой функцией !». Спрашивается, с какой вероятностью при измерении физической величины М будет обнаружено, что она принимает одно из возможных собственных значений Лжэ Чтобы ответить на этот вопрос, мы до,!жны разложить функцию !» в ряд по собственным функциям !», оператора М: ф=ХС„ф„. (6.16) Мф„= Л„фы Мф„, = Л„4)ВО (6.17) причем Л„Ф Ллч Для самосопряженного оператора М = М можно написать (см. (6.9), (6.10)): ~ ф„'М!»„,д'х = ~ (М!»„)' !»„, й"х. Представление (6.16) аналогично разложению в ряд Фурье, когда функциями !»„являются собственные функция оператора импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
