Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Подобная упрощенная модель позволяет уяснить многие явления в металлах и поэтому в некоторых пределах является вполне разумной. Она была введена еше в классической теории (теория Друде, Лоренца н др,). В этом случае к электронам применялась классическая статистика Максвелла — Больцмана, которая до этого с успехом объяснила многие явления кинетической теории газов. Однако в классической теории модель «электронного газа» встретила большие затруднения при построении теории тепло- емкости.
В самом деле, согласно известной теореме классической статистической механики о равномерном распределении энергии по степеням свободы средняя кинетическая энергия 3 31 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 75 электрона равна Езг =з)зззБТ, (5.74) где йв — постоянная Больцмана. Отсюда видно, что доля каждого свободного электрона в общей теплоемкости такая же, как и свободного атома Ззязр 3 — — / !ТБ Это противоречит экспериментальным фактам, согласно которым теплоемкость одноатомного металла определяется лишь теплоемкостью атомов решетки, т.е.
свободные электроны в первом приближении никакого вклада в теплоемкость металла не вносят. Это противоречие было разрешено Зоммерфельдом, который показал, что к электронам в металле необходимо применять не классическую статистику с функцией распределения 1 -ШАБТ а квантовую статистику Ферми — Дирака с функцией распределения ! ф - Ц. ! Е!А Т 3 Б ! ! А В основе квантовой статистики Ферми — Дирака лежит принцип Паули, согласно которому на каждом энергетическом уровне может находиться максимум два электрона (два квантовых состояния, отличающихся направлениями спинов). Если нам задана трехмерная потенциальная яма кубической формы с длиной стороны, равной 1., то составляющие импульса р = йй согласно (4.41) будут связаны с целыми числами пз, и,, пз, характеризующими энергетический уровень, соотношениями 2яаю 2яапз 2гсаззз Учтем, что на единичный интервал квантовых чисел (Дп! = ДП3 Длз 1 ) 73 Дп! Дл'Даз — Вяза! т(р (5.75) приходится лишь один уровень, иа котором могут находиться два электрона.
Поэтому, если в единице объема находится рз электронов, то максимальный импульс, которым может обладать электрон при абсолютном нуле температуры (Т = О), определяется нз тв НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА соотнозпен ия рмакс 2 ро= гз опз 'олз'оно= Вязал ~ Р ззР= З„звз (576) о или Р = рм„, = й (Зпзро) А.
(5.77) Соответствуюшая максимальная кинетическая энергия электронов равна 2 2 тгиакс Е .«.=ЕЕ= 2 = (Зпзро)А. (5.78) 2гле 2лте Эта максимальная энергия при Т = 0 называется уровнем Ферйзи нли энергией Ферми. Схема заполнения электронных уровней в металле изображена на рнс. 5.5. Оценим значение энергии Ферми, например, для серебра. Плотность серебра равна 10,5, атомный вес !07,9. Считая, что 'ИШШШШШШНШШШШШ число свободных электронов рав- /Калгалл но числу атомов серебра в едиЯтлнлен 1 1 лталУУлг нице объема, имеем: ь Ро= ' 6,02 ° 1О =5,8. 10'2, !од 107,9 Здесь мы испольэовали число Авогадро, т.е.
число атомов в одном грамм-атоме, равное 6,02рг, )<1022. Отсюда по формуле (5.78) находим, что Рис. О.О, Молель иотенииальной нмм Лли металла. Е „ †верхн граница ааиолиенимх уровней ири Т=О (энергии Фермах Е„=8,5 10 ' эрг=5,3 эВ. Поскольку для серебра работа выхода Ю'= 3,7 эВ, то глубина потенциальной ямы в серебре оказывается равной 9 эВ. Пользуясь известным определением среднего значения, для средней энергии электрона в металле прп Т = 0 получим выражение (5.79) ре 3 2изе ви'Л' В о Детальный расчет показывает, что при сравнительно низких температурах (йвТ « Ер) теплоемкость электронного газа имеет порядок яв(ЯВТ(ЕВ) и дает пренебрежимо малый вклад в полную теплоемкость металла. й б| ПРИВЛИЖРННЪ|Е РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ |ПРЕДИНГЕРА и Исходя из описанной модели (рис.
5.5), мы видим, что для вырывания электрона из металла необходимо сообщить ему энергию, не меньшую, чем работа выхода (5.80) )Уо Емакс. Как известно, в случае внешнего фотоэффекта электрон получает от поглощенного фотона энергию Ьйг. При этом электрон может покинуть металл, обладая кинетической энергией (5.81) /ттпо = Ьгй — Ц7 (уравнение Эйнштейна). Отсюда следует, что работа выхода есть минимальная энергия, которую нужно затратить, чтобы энергия электрона стала больше высоты потенциального барьера. Если электроны в металле (электронный газ) имеют температуру выше абсолютного нуля, то часть электронов заполняет энергетические уровни выше уровня Ферми.
Если увеличить ки. нетическую энергию электронного газа путем нагревания металла, то некоторая часть электронов может иметь энергию, превышающую энергию потенциального барьера, благодаря чему возникает ток из металла. Это явление, получившее название термоэлекгронной эмиссии, используется, в частности, для получения пучка электронов в электронных лампах.
Однако возникновение тока электронов возможно н при низких температурах под влиянием постоянного внешнего электрического поля Ха Хг Рнс. ба. Потенциальная энергия электрона в металле беэ поля и при наличяи внешнего электрического поля. Штриховой линией покаэан хон потенциальной кривой с учетом сил электрического иэображения.
напряженности гр, приложенного к поверхности проводника по направлению к ней. В этом случае потенциальная энергия электрона заряда — еп равна (рис. 5.6) )г (Х) = )уй — Ебга Х. (5.82) НЕРГЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [ч. [ Помимо внешнего электрического поля, на электрон действует так называемая сила электрического изображения. Дело в том, что электрон, обладая зарядом — ео, создает в металле индуцированный заряд еа (рис.
5.7). Таким образом, полная сила, действую;цая на электрон, равна е Р(Х) =ВОЮ вЂ” — а д 4х (5.83) Эффективная потенциальная энергия, учитывающая силы электрического изображения, равна ЕО [т.~ р = !то — еоох — — „. (5.84) Величина У,фф имеет максимум в точке хо. ~[ фф но — = — еойГ+ —, = О, 4хо (5 85) Рис. В.т.
Силы злектрнееското изоооа. ткения: нв наяодяпаийся вне металла злектрок действуют силы притяжения иидупированным зарядом. причем максимальное значение У,йф меньше Р„так как макс 1 О 'т/ О (5.86) Учет сил электрического изображения показывает, что при наложении внешнего поля работа выхода уменьшается и становится равной [Р' = ~' — 1/"О~ (5.87) Однако силы электрического изображения не в состоянии объ- яснить холодную эмиссию. Действительно, оценка максималь- ного тока (при Ю" = О) приводит, например, для вольфрама к значеншо [р'з йГ 2. 1Ов В/см, о (5.88) между тем как на опыте достаточно сильный ток появляется уже при поле д' — 4 !Ов В/см (Милликен). Таким образом, в рамках классической теории невозможно объяснить с количественной стороны явление холодной эмиссии.
В квантовой теории, когда допустимо прохождение электронов сквозь потенциальный барьер, для потенциальной энергии можно ограничиться выражением (5.82) и не учитывать сил электрического изображения, поскольку последние лишь весьма ом поивлижвнныв Рвшвиия холвнш)ия шгвдингиго 79 незначительно изменят окончательный результат. Из графика потенциальной энергии (рис.
5.6) видно, что внешнее электрическое поле создает потенциальный барьер конечной ширины. Благодаря туннельному эффекту электрон может преодолеть этот барьер, причем коэффициент прозрачности равен Х, Р= *9[ — 8 8)2 ) 8)Р) ) — Е 9 ]. )989) о Интеграл в экспоненте должен быть взят по всей ширине барьера от точки х = О до точки х = х), которая определяется из условия иа — е 'р'о — еаза'х) =Е, т. е. х) —— (5.90) еагр Тогда Х, 1/У (х) — Е а(х= ~ 1/)Ро — еоЕх — Е е(х= о о Хр = 1/ад' ~ .1/х) — х о(х= — ~~е~~ х,Ь.
(5.91) о Окончательно для коэффициента прозрачности 17 получаем вы- ражение — ( — е!" ч О = ехр [ — 91о 1/2то „а. ~ = ехр ( — — '), (5.92) 1 = 1о0 =!о ехр ( — — ) . еа 8 (5.93) Отсюда следует, что холодная эмиссия должна наблюдаться при напряженности электрического поля РР— !О' В/см, что хорошо согласуется с экспериментальными данными. ж) Альфа-распад. Важное применение туннельный эффект нашел также и в теории атомного ядра. Одним из возможных типов спонтанного превращения радиоактивных ядер является альфа-распад, в результате которого ядро теряет альфа-частицу (т.
е. ядро атома гелия, состоящее из двух протонов и двух нейтронов) и превращается в новое — дочернее ядро с зарядом, меньшим на две единицы. Задача об альфа-распаде как теория где величина о) о зависит от работы выхода нз металла свобод- ных электронов. Ток холодной эмиссии пропорционален коэффи- циенту прозрачности негнлятивигтскхя квантовая механико во прохождения частицы сквозь потенциальный барьер стала однон из классических задач квантовой механики Шредишера. Экспериментальное исследование этого явления показало, что оно обусловлено исключительно внутренними свойствами ядер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
