Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Обычно в квантовой механике предполагается, что набор собственных функций любого оператора таков, что по ним можно провести указанное разложение произвольной непрерывной функции. Это свойство собственных функций, называемое полнотой, для довольно широкого класса операторов может быть доказано строго математически. Коэффициенты при !», в разложении (6.16) имеют вполне определенный физический смысл. Именно, в квантовой механике принимается, что квадраты их абсолютных значений, т.
е. ! С„!', пропорциональны вероятностям с которыми получаются при измерении собственные значения Л,. Можно ле~ко показать, что собственные функции самосопряженных операторов, отвечающие различным собственным значениям, должны быть ортогональными (для оператора Гамильтона это уже было сделано выше в 5 3). Пусть НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Отсюда с помощью уравнений (6.17) получаем (˄— Л„,) ~ ф'„ф„,сРх=О, и, так как Л Ф: Л„, то ~ ф'„ф„,й'х=О при и Фп'.
Нормнруя собственные функции на единицу, запишем условие ортонормированности с помощью символа Кронекера в виде йЗ (6.18) Это условие дает следующее значение для интеграла от квадрата модуля волновой функции ф, разложенной согласно (6.16): ~1ф 1В,(зх ~,'1С Если волновая функция ф также нормирована на единицу, то отсюда следует Е! С.1=1, что соответствует полной вероятности обнаружить систему в состояниях ф.. При этом 1С„1В суть вероятности измерения возможных значений физической величины, равных Л,.
Если же мы теперь вычислим среднее значение величины Л4 в состоянии ф, то по общей формуле (6.4) с учетом разложения (6.16) и условия (6.18) получим (И) = ~ ф'М рйзх = К" Л„~ С„р. п Это равенство еще раз оправдывает вероятностную интерпретацию коэффициентов С, в разложении (6.16).
(6.19) б) Вывод соотношения неопределенностей. Как мы указали в предыдущем разделе, наблюдаемые физические величины, т.е. величины, которые мы можем измерять, следует математически характеризовать лишь средним значением, вычисляемым по формуле (6.4). Покажем, что если двум физическим величинам соответствуют некоммутирующие друг с другом операторы, то в рамках квантовой механики они не могут быть одновременно измерены точно.
Наиболее важным в этом отношении является вычисление отклонения от средних значений операторов двух канонически сопряженных величин: координаты х и импульса р,. В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда волновая функ- 9 М СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 93 (6.2!) (6.24) (( р ) ) (р ) ,) г» ( '« а ) г»" " ция не зависит от времени (стационарный случай). Тогда сред- ние значения координаты и импульса могут быть найдены соот- ветственно из соотношений (х) = ~ ф'хфсггх, (6.20) (рг) = ~ ф' —" — ',„(г . Прежде всего заметим, что, хотя средняя ошибка, или откло- нение от среднего, вычисляемая по формуле (Лх) = ~ г»" (х — (х)) г»с(гх =(х) — (х) =О, и равна нулю, это все же никоим образом не означает отсут- ствия других возможных положений частицы, отличных от (х), поскольку отклонения могут иметь относительно центра тяжести (х) различные знаки и, следовательно, в среднем взаимно ком- пенсировать друг друга.
ПоэтоМу отклонение от среднего значения следует характери- зовать средней квадратичной ошибкой, которая при любом от- клонении от (х) имеет положительный знак, Эта средняя квад- ратичная ошибка для координаты (дисперсия) может быть вы- числена по формуле: ((Лх)г) = ~ г»" (х — (х))' г»грх = (хг) 2 (х)г+ (х)г (хг) (х)г (6 22) Обращение в нуль средней квадратичной ошибки, например, ((Лх)г) = О, означает, что вероятность пребывания электрона в пространстве отлична от нуля лишь при х = (х). В этом слу- чае среднее значение равняется точному, т.
е. соответствующая вероятность пребывания частицы будет описываться б-образной функцией. Аналогично для средней квадратичной ошибки по импульсу имеем: ((Лр„)г) = ~ г» (р„— (р„))г ах = (р'„) — (р„)г. (6.23) Чтобы установить связь между ((Лх)г) и ((Лр,)г), мы мо- жем, без ограничения общности доказательства, выбрать систе- му координат с началом в центре тяжести волнового пакета ((х) = О), причем выбрать ее так, что она движется вместе с последним ((р,) = О). В этом случае получаем: ((Ах)г) ( г) ~,» и,» (зх НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [ч.
т 94 Рассмотрим следующий интеграл: 1(а) = ~ (ахф*+ д ) (ахф+ Р) огзх, (6.25) где а — некоторая произвольная вещественная величина, не заВисящая от х. Последнее выражение можно представить в виде 7 (а) = Аат — Ва + С, (6.26) где А = ~ ф х'йх(зх=(хэ) > О,  — ~( — хф+хф — ) (х— (6.27) С= ~ — — г)эх= — ~ ф ~ — И вЂ” ) фс(тх= —" > О.
дх дх А' з Х дх) А~ Так как подынтегральное выраженле в (6.25) — положительная величина или нуль, то а !" (аР) = 2А > О. Поэтому минимальное значение 7(а) равно т„„, = т (а,) = 4А + С > О, (6.29) Отсюда следует, что неравенство (6.28) имеет место для любых вещественных значений и, если выполняется условие В'(4АС. Подставляя сюда значения для А, В и С из (6.27) и принимая во внимание (6.24), находим соотношение между ((Лр„)В) н ((~5х)А): ((оХ) ) (( Рх) ) > 4 ' (6.30) 1(а)~)0. (6.28) Условие (6.28) накладывает определенное ограничение на коэффициенты А, В и С. В самом деле. это соотношение будет иметь место для любых вещественных значений а, если оно выполняется прн и = ам отвечающем минимуму функции 1(а).
Значение ач может быть найдено из условия !'(аэ)=2Аа,— В=О, т. е. а,= —, ЕА ' $% СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ во Это неравенство и представляет собой формулировку соотношения неопределенностей. Если учесть, что р,х — хр = — 13 *), то последнее соотношение можно записать в виде ((Лх) ) ((Лрх) ) ) )(1 р»х — хр» ]з>.
(6.31) Обобщая последний результат, мы можем вообще сказать, что если два оператора М| и Мт не коммутируют друг с другом, то для них всегда имеет место соотношение неопределенностей ((ЛМ,) > ((ЛМ,)з>) —,' <] М,М, — М,М,] >, (6.32) где ((ЛМ.)з) = ~ зр" (М вЂ” (М ))' зйс(зх, (1 = 1, 2). (6.33) Как мы указывали, соотношение неопределенностей является следствием корпускулярно-волнового дуализма, лежащего в основе квантовой механики, и не связано с субъективной стороной опыта, т. е.
с наблюдением, Эксперименты могут только подтвердить выводы теории. Смысл соотношения неопределенностей заключается в том, что распределения плотности по переменным, которым соответствуют некоммутируюшие операторы, принципиально не могут одновременно иметь вид 6-функций (рис. 6.1). Более того, чем ближе к б-функции распределение вероятности по одной переменной, тем более размытым становится это распределение по другой. В пределе, когда, например, распределение по х, т.
е. ]ф(х)]з, примет вид б-функции (((Лх)з> = 0], по импульсу р» оио станет таким, что для всех значений р величина ]ср(р»)]з будет постоянной, т. е. ((Лр„)а> = со. Условие коммутативности двух операторов является необходимым условием того, чтобы соответствую~цие им физические переменные могли быть одновременно точно измерены. в) Классические и квантовьае скобки Пуассона. Как известно, состояние системы в классической механике определяется так называемыми динамическими переменными. Эти величины для системы, заданной функцией Гамильтона Н(хь р„ 1), зависят, Отсюда следует: (р,х — хр„) ф = — Гаф, илн в операторной форме: р„х — хр„= — ))).
(б.зоа) ') Некоммутативность операторов р„и х можно доказать с помощью равенств дф, дхф / дх хрхф= — )ах —, р„хф= — )й — = — Гя 1А)+ х — ] ф. дх ' дх ~ дх ] НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (Ч. 1 96 дН Р дк (6.34) Изменение величины 7 со временем в силу уравнений (6.34) определяется равенством Ьд(+(НЛ (6.35) где выражение (6.36) получило название классических скобок Пуассона. Рнс. 6.1. Распределение влотностн вероатностн а коорлннатвом (а) н нмпульсном (б) про.
странстааж «Ал)В ((Ар)Ч)чт- —. 2 если распрелеленне в координатном пространстве (а) сужаетса, то распрелелемне в нм пульснам пространстве (б) расплмваетсп. Если 7 не зависит явно от г, то — = 0 и поэтому ее изменение д) д) будет полностью определяться скобками Пуассона д) (Н ()кл и( (6.37) При обрап(енин последних в нуль ((Н, ))кл = О) величина 7 не должна зависеть от времени, т. е. будет сохраняться: ) =сопз(. (6.38) Например, если энергия явно от времени не зависит, то ОН/д~ = 0 и в силу очевидного равенства (Н, Н) „= 0 мы найдем, что функция Гамильтона (т.е. в данном случае энергия) как правило, от координат х(, ( = )(х(, рь г). При этом х( и р; пениям Гамильтона дН х) = — ~ др импульсов р; и времени (, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
