Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Поэтому естественно предположить, что число ядер о(М, распадающихся в течение времени Ж, пропорционально этому промежутку времени и числу ядер М в момент 0 т. е. дМ = — лМой. (5.94) Интегрируя это уравнение, получаем закон радиоактивного распада Кюри М вЂ” М -и (5.95) Входящая в это выражение постоянная радиоактивного распада имеет смысл вероятности распада и может быть связана с периодом полураспада Ть, т. е. со временем, в течение которого распадается половина исходного количества вещества. Обозначая первоначальное количество ядер через Мо, для определения времени полураспада Тм получаем очевидное соотношение Мое "'*= — Мо=Мое '"', 2 (5.96) из которого следует, что 1п 2 0,693 Т; = — = — ' Л Л (5.97) Закон Кюри был впервые установлен чисто эмпирическим путем. Теоретическое объяснение явления альфа-распада оказалось возможным лишь после появления квантовой механики.
Оставляя в стороне механизм образования альфа-частицы в процессе распада ядра, рассмотрим систему, состоящую из вторичного (дочернего) ядра и альфа-частицы. Потенциальная энергия взаимодействия альфа-частицы (заряд 2ео) и дочернего ядра (заряд (Я вЂ” 2)ео) должна, помимо потенциальной энергии кулоновских сил отталкивания 2 (Я вЂ” 2) ео 2(г — 2) оо при г ) Р, У = 0 при г(В (5.99) (5.100) содержать также потенциальную энергию ядерных сил притяжения, действующих лишь на малых расстояниях г ( М, имеющих порядок 10-'о — 1О-"см. Для приближенных оценок можно аппроксимировать потенциальную энергию следующим выражением (рис. 5.8): эи ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕП!ЕНИЯ УРАЕНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 81 С точки зрения квантовой механики альфа-распад представляет собой типичное явление прохождения частицы сквозь потенциальный барьер (1928 г. Гамов, Кондон, Герни).
Для построения теории необходимо прежде всего связать постоянную радиоактивного распада )ь с коэффициентом прозрачности барьера (см. (5.56)): Рн Р= р( — !т/а) /тм( т!т — л л), !510!! где М вЂ” масса альфа-частицы, а 15 и т(! — начало и конец потенциального барьера (рис. 5.8). т =тф Рие. За.
Скема потенциальнон енертни альфа-частицы и поле радноактненото ядра. Поскольку коэффициент прозрачности представляет собой вероятность прохождения частицы сквозь барьер при одном ее ударе о стенку барьера, закон распада можно записать в виде г(й( = — ХФ !(1 = — л 0М т(1, (5.102) где и — число ударов в 1 с. Величину л можно легко оценить из следую!цих простых соображений. Предположим, что альфа-частица движется внутри потенциальной ямы с радиусом )т. Тогда очевидно, что и пр/Р, где ор — скорость альфа-частиц внутри ядра (г ( )ч). Нетрудно связать эти последние величины друг с другом. Действительно, согласно соотношению неопределенностей импульс Мпо частицы и область ее локализации тт! связаны неРелятивистскАя квхнтОВАК мехАникА !ч. 1 друг с другом соотношением МЕЛ вЂ” Ь.
Поэтому е п Мяр ' (5.103) С учетом этих замечаний связь постоянной радиоактивного рас- пада Л с коэффициентом прозрачности О определяется форму- лой р= р р( — ( — „')ррррр~ррр — рр). рр,ррах Логарифмируя обе части равенства, получаем !пЛ=!п — — — А/2т 1, Е 2 М!рр где интеграл (5.105) (5. 106) кр 7 = ч~Е ~ 1 / — ' — 1 р!г, (5.108) или, после замены переменных г=)грх2, имеенн ! ! = 2йр 4Е ~ !(! — Х2 дх. (5.!09) Производя новую замену переменных х = з!и ф и полагая /г з!и фе= 22 —, получаем интеграл ! яп 7=2Е24Е ~ соз2фе(ф, чр который легко может быть вычислен Ае ~/Е 7 = — ' — ' (и — 2фе — з!п 2фе). 2 (5.1! О) (5.111) к должен быть взять между точками )с (радиус ядра) и Еь По- следний радиус может быть найден из условия, что полная энер- гия равняется потенциальной, т.
е. в данном случае кулоновской е2=Е. (5. 107) Подставляя выражение для Р' = — ' в интеграл (5.106), лгр, находим % 51 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РРШЕНИЯ УРЛВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРЗ ез Учитывая, далее, что обычно — « 1, можно в последнем выл % ражении положить ча Яе з!П%= ~/ — (=тй у'Е '( 2 — 2 ~/ р ~. (5.112) Исключая теперь Р, с помощью соотношения (5.107) и вводя обозначения В=!и —,+ — „" т(М)с(2 — 2) — !п!п2, (5.113) 2я (7 2) е~о (5.114) находим для периода полураспада Т„ А )птч == — В. Ф (— (5. 1! 5) з) Лонятие о квазирровнях (квазидискретный спектр)„ В только что рассмотренной задаче об альфа-распаде постоянная распада Х оказалась связанной с коэффициентом прозрачности 0 барьера, при прохождении которого частица может перейти из связанного состояния внутри потенциальной ямы в свободное состояние вне ее пределов. Поэтому, строго говоря, состояние частицы внутри ямы не является связанным и, следовательно, энергетический спектр Е при отличном от нуля значении Х перестает быть дискретным.
Если вероятность прохожде- Последнее соотношение устанавливает связь между периодом !и2 полураспада Ть = — „и энергией вьалетевших альфа-частиц. Соотношение (5.! 15) представляет собой современную формулировку закона Гейгера — Неттола, установленного еще до появления квантовой механики чисто эмпирическим путем. Из закона Гейгера — Неттола видно, что, чем больше энергия Е, с которой альфа-частица вылетает из ядра, тем меньше время полураспада, причем небольшое увеличение энергии, например, с 4 МэВ до 9 МБВ (примерное значение крайних энергий вылета альфа-частицы в радиоактивном семействе урана), гриводит к сильному уменьшению среднего времени жизни с нескольких миллиардов лет до нескольких десятимиллионных долей секунды.
Это связано с тем обстоятельством, что хотя изменение энергии не очень сильно изменяет площадь потенциального барьера, но значение этой площади входит в показатель степени, определяющей среднее время жизни, НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 84 (Ч. ! (()) А,е(й (и-(1) где х !з 2иасЕ Лз нз = — „а' ()Уо — Е) > О.
Рис. З.З. Квааиуровии. Решение ар( для первой области выбрано таким образом, чтобы при х = О оно обращалось в нуль, а в решении в третьей области (1)()( оставлена только уходяшая от барьера волна, что и обеспечивает появление в системе квазиуровней. Из условия непрерывности волновой функции иа границах барьера находим: при х=1 А, з!п И= Аз+ Вз А, соз И = — ' (В, — Аз), Ф (5.117) при х=1) А е-"и+ Взе и = Аз А е-и' — Взвив = — — Аз (й з Н (5.118) Из последних двух уравнений следуют соотношения .
)з ! †(— Аз — — е"'Аза 2 (5.119) )+(— . )з Вз= — е "'Аз к 2 иия через барьер мала, т.е. постоянная распада ) !) таки(е мала, то изменение спектра оказывается незначительным и в этом случае получается так называемый квазидискреткый спектр, состоящий из квазиуровней. Для того чтобы найти квазиуровни, рассмотрим простой пример прямоугольной потенциальной ямы ширины а, с одной стороны ограниченной бесконечно высокой стенкой (х=О), а с другой (х =1) — потенциальным барьером высоты ур и ширины а =1( — 1 (рис. 5.9).
Волновая функция для трех областей: 1 (О < х < 1), !! (1 < х <1,) и !!! (1( < х), показанных на рнс. 5.9, будет иметь вид: (р) = А, ип йх, (1) 4 е-и(и-П+ В еи(и-П (5.116) аи ПРИБЛИЖЕННЫЕ РВШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 8$ подстановка которых в уравнения (5.117) дает А1(з!п И+ — созИ) =(1+1 — ) е "'А, А1(з!п И вЂ” — сов И) =(1 — 1 — ) е" Аз.
(5. 120) Условие совместности определителя, приводит к (5.121) Следует заметить, что амплитуда уходяшей волны Аз будет в этом случае много меньше амплитуды стоячей волны в яме А1 ! Аз ! А)е-аа (5.122) При а -Р со решение в области 70 обрашается в нуль (Аз = О), и тогда из уравнения (5.120) следует уравнение для определе- ния дискретных энергетических уровней в потенциальной яме в области 1 !К йо( = Мнз (5.123) где индексом нуль обозначены величины й н х при а-а оо. Покажем далее, что с учетом экспонеициально малых членов порядка е-а ' при условии иа )) 1 и и! ~ 1 решение уравнения (5.!21) будет описывать квазиуровни. Для этого выделим в величине й малую мнимую часть К а в действительной части отбросим дополнительные малые добавки, не имеюшие принципиального значения: (5. 124) где йа связано с дискретным спектром энергии Ее следующим соотношением: а а~ аааат еч — — с= а (5.125) 2то 2 Тогда, подставляя соотношение (5.124) в уравнение (5.121) с учетом равенства (5.123) и условия н! 'Р 1, в первом порядке по величине е '"' находим (5.126) а 1+!— Х а 1 — !— я этой системы, т.
е. равенство нулю уравнению для определения энергии !ям+†а а-ааа н а ' !яы —— я НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 86 где К=Π— < р[ — 2,Я~У вЂ” оо, (5.~28) а величина 0о равна 16( 0 )' ' ~"( — ':)'1' (5. 129) Наличие мнимой части в выражении для энергии (5.127) свидетельствует о том, что волновая функция в потенциальной яме будет со временем убывать по экспоненциальному закону. В самом деле, для квадрата модуля волновой функции будем иметь (см. (5.95)): ~ ф а=сонэ(е-"', (5. 130) т.
е. Л вЂ” так называемая постоянная распада — будет характеризовать убывание вероятности нахождения частицы внутри потенциальной ямы. Вместе с тем вне ямы, как видно из записи волновой функции ф~~ в равенстве (5.116), решение должно возрастать при удалении от ямы х — + +со за счет малой мнимой добавки к волновому числу й' (5.126): ~ фиг ~о = сопз1 еоо'", (5. 131) и поэтому нормировочный интеграл для функции ф при больших значениях х расходится. Однако этот рост функции ф вне ямы при х- со компенсируется ее экспоненциальным убыванием при /- оо согласно равенству (5.130), что обеспечивает выполнение уравнения непрерывности (2.20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
