Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 23
Текст из файла (страница 23)
е. гноит!я возмуп!инин 1ау ным правой части неоднородного уравнения. Для доказательства этого умножим (8.7а) слева на зро' и проинтегрируем по "! всему пространству. Тогда получаем (! = 1, 2) фг (Ео Но) фг!(зх ~ туо (Е Ф ) фоо(зх (8 24) Применяя теорему о перебросе производной (см. (6.14)), имеем ~ тр' (Ео Но) тро'и!зх ~ фо (Е )! ) трМзх. (8.25) Отсюда, замечая, что тр!" является решением уравнения Шре- В! дингера (Е„' — Но)зр'„' =О, находим окончательно: ~ фо" (Е'„— У') Ух (СотРо + СотРо ) = О.
(8.26) Без ограничения общности можно допустить, что все соб- ственные функции зр~ ортонормированы *). Тогда, учитывая, что тР!и тРо г('х = б а! з! к!и!' вместо (8.26) находим уравнение С,' (Ел (тз!) С~')г ! (тто Ф !), где (8.27) У' = 1 Р' 1"тРо ~'» !! ! з. )у' ~ „ьз' у'фо (з (8.28) (8.29) Поскольку индекс ! в (8.27) может принимать значения 1 или 2, для определения искомых неизвестных величин энергии Е'„ и коэффициентов С! мы получаем систему двух однородных уравнений: (8.30) Поскольку волновая функция тр~ должна еще удовлетворять ! условию нормировки ~,~о" „~о,(з „ (8.30а) ') Если функции фо ие являются ортонармированными, то путем лннейнык преобразований из них всегда возможно построить новые функции, обладающие свойством ортонармнрованности.
иегелятивистскля кВАитовля мехАникА 188 ! (Д„' — Р'И) — УЯ! (ń— 'к"ЯЯ) (8.31) получившее название векового, унаследовав этот термин из небесной механики. Точно так же это уравнение легко обобщить с двух на случай 1 ) 2 вырожденных состояний. Если это вековое уравнение имеет для определения энергии возмущения Е, 'несколько корней (максимальное число их может равняться 1), то каждому из них будут соответствовать совершенно определенные коэффициенты С!. Благодаря этому о учет первого приближения для энергии может понизить кратность вырождения или вообще снять вырождение, выделив определенные линейные комбинации в волновой функции (8.23) в нулевом приближении.
е) Второй порядок теории возмущений. Аягарл!онический осциллятор. Прежде всего найдем поправку к энергии системы во втором приближении теории возмущений. Ограничиваясь в разложениях волновой функции ф и энергии Е (см. (8.3)) членами до второго порядка малости включительно и подставляя их в уравнение Шредингера (8.2а), получаем для второго приближения (ЕЯ вЂ” Но) ф" = — (Е' — ~") ф' — Е" фа (8.32) Учитывая, что решение фз' однородного уравнения должно быть ортогональным к правой части и что выражение для задается формулой (8.22), находим фон 1зх 0 $/Г Е~г фм риф~ дзх ! и Я А Здесь значение для У;м определяется формулой (8.15). При этом мы воспользовались равенством Увв = $'а'в, имеющим место для эрмитовых операторов, то как поправка Е'„к энергии Е~ невозмущенного состояния системы, так и коэффициенты С', (а тем самым и ф') станут при этом однозначно определенными.
В частности, замечая, что система (8.30) имеет нетривиальное решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю, для нахождения Е; получаем уравнение % в1 139 теОРия Воэмтщенни Заметим, что поправка (8.33) второго приближения к энергии наинизшего состояния всегда отрицательна, поскольку все остальные уровни Ео лежат выше Е„, т. е. Е; > Е'„. о о Применим полученную формулу для определения энергетического спектра ангармонического осцнллятора. Допустим, что частица находится в потенциальной яме с потенциальной энергией У(х). Поместим точку положения равновесия в начало координат У'(х) = 0 (при х = 0) и возьмем такой отсчет потенциальной энергии, чтобы в точке равновесия она обращалась в нуль (У(0) = 0). Тогда, раскладывая потенциальную энергию в ряд, найдем У (х) = У (0) + х У (0) + — У (0) + — У (0) + — У1» (0) + Учитывая, что У(0) = У'(О) = О, и полагая (в случае устой- чивого равновесия в точке х = 0) 2 У" (0)= — 2 (О, — У"'(0)=а, 21 ' 31 ', У1Т(О) =)), т.е.
решая задачу не в нулевом приближении, а с учетом членов высшего порядка, мы будем иметь так называемый ангармонический оспиллятор, нашедший применение в теории молекул. Уравнение Шредингера для ангарлвонического осциллятора принимает вид Лвф ало / влоевхв — + — ~Е— лхв йв 2 — У') ф= О, (8.34) (8.36) (х')„„= $ )ф„Рх'с(х=О, поскольку подынтегральное выражение — нечетная функция. где энергия возмущения У' == их'+ рх', а постоянные а и 8 не зависят от Й. Найдем энергию возмущений с учетом членов порядка йв. Как известно, энергия гармонического осциллятора (нулевое приближение) равна Еп = лов(п + 12).
(8.35) Рассматривая энергию У' как энергию возмущения, в первом приближении находим Е' = У =а (хв)лл+ 8(х')„„. Легко показать, что +а ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ 141 где Отсюда находим Е' = — — й — ~л + а+ — ~. 3 а 2 11 Х 4 озал ~ зо т" (8.42) Формулы (8.39) и (8.42) дают ангармоническую поправку к энергии осциллятора с учетом членов порядка лз. ж) Нестационарная теория возмущений. Предположим, что оператор возмущения зависит явно от времени: Ч' = Ч'Я.
В этом случае применяется метод возмущений Днрака, который позволяет, в частности, построить теорию переходных процессов для уравнения Шредингера ( — — ", ф — н' — ч'(1)) ф(1) = о. (8.43) Допустим, что мы знаем собственные значения и собственные функции невозмущенного (Г = О) стационарного уравнения Шредингера Елфл= Н~фл. (8.44) Тогда полное решение невозмущенного уравнения Шредингера ( — — — — н)ф (1) — о (8А5) мы можем представить в виде — — 'В1 ф'(!) = ~ С„е " " ф„, л (8.46) где С, — некоторые постоянные коэффициенты, квадрат модуля которых характеризует вероятность нахождения частицы в квантовом состоянии л.
При учете в уравнении (8.43) энергии возмущения Ч' мы общее решение также ищем в форме (8.46) (ф, н Е, — собственные функции и собственные значения стационарной задачи (8.44)), но вводим дополнительное условие, согласно которому коэффициенты С„должны быть функциями времени. Математически этот метод соответствует решению дифференциальных уравнений способом вариаций постоянных коэффициентов. Поскольку под действием возмущения вероятностные коэффициенты С, сами должны быть функциями времени, становится возможным описать переход электрона из одного квантового состояния в другое. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1Ч.
1 142 Подставляя решение (8.46) в уравнение (8.43) н считая, что коэффициенты С, зависят от времени, мы найдем, учитывая еще равенство (8.44): 4 — -'е — ~ —,. С„4~„.е " " = ~~ У'(т)С„.ф„.е " " . (8.47) * А Елл 3 Умножим обе части равенства на ф~е и х и проинтегрируем по всему пространству. Тогда, принимая во внимание условие ортонормированности 1 $'„,Ф„.Фх=б„,„., (8.48) — — С„, = ~~ С„., "- У;,,„.
(1) 1 В где частота ń— Е„ а матричный элемент У'„,„. (1) = 1 ф„',У'(1) Фм ("х. (8.50) (8.51) Заметим, что система уравнений (8.49) является точной, т. е. совершенно эквивалентной начальному уравнению (8.43). Однако в общем случае решить ее точно невозможно, и аппроксимация теории возмущений состоит в том, что решение ищется в виде разложения С„, = Со, + С'„, + С'„', + ..., (8.52) где коэф<~ициенты нулевого приближения С„не должны ванно сеть от У .
Коэффициенты же первого приближения С', второго приближения С'С и т. д. должны быть пропорциональны соответственно У', (У')' и т. д. Подставляя (8.52) в (8.49) и учитывая лишь члены нулевого и первого приближений, находим следующую систему уравнений для определения коэффициентов С„с С,=О о (нулевое приближение).
— — С„= ~ С„-е "" У„;;(1) (первое приближение) (8.53) 1 и т. д. Первое из уравнений (8.53) показывает, что искомые коэффициенты в нулевом приближении не должны зависеть от получаем систему следующих уравнений для определения коэффициентов С,с (8.49) з 9! КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ времени, т. е. Са =сопз1. (8.54) Их значения задаются начальными условиями и характеризуют начальное состояние электрона до того, как на него начинает действовать возмущение.
Допустим, что в начальный момент времени, т.е. при 1 = О, электрон находится в состоянии п. Тогда можно написать (8.55) Последнее выражение определяет начальные условия нашей задачи. Подставляя (8.55) в (8.53), находим (п~чь п): С„= Си (г) = — — ~ йе ""'")т„„(1). о (8.56) Как правило, в квантовой механике вычисляется вероятность перехода тв за единицу времени. Учитывая, что вероятность нахождения частицы в состоянии и' равна квадрату модуля амплитуды (С, (>, для вероятности перехода п-ип' в единицу времени получаем выражение ~„н = — ~С„г, д (8.57) Формулы (8.57) и (8.56) и лежат в основе исследований многих квантовомеханических задач первого приближения иестационарпой теории возмущений.
С помощью этих формул можно, в частности, построить квантовую теорию излучения. й В. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 2 е' ))уил е 9 3 с' (9.1) где и — ускорение частицы. Если источником излучения является одномерный гармонический осциллятор х = а соз а>С (9.2) *) Черта сверху будет означать усреднение по времени. а) Спонтанные и вынужденные переходы Согласно классической электродинамике источником излучения света может стать, например, ускоренно движущийся заряд, причем количество излучаемой энергии в единицу времени определяется известной формулой ") НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !ч. $ то частота излучения будет совпадать с механической частотой колебания осциллятора, а интенсивность излучения пропорциональна квадрату амплитуды ат (см.
(7.5) ). В том случае, когда движение заряда происходит по более 2 сложному периодическому закону х =1(1) с периодом т = —, функцию 1(1) можно разложить в ряд Фурье х= х а„созяэк1, К (9.2а) О Ф'«>1 = 31>Ал> Ды. (9.3) и рассматривать излучение так, как будто оно порождается системой осцилляторов с частотами в. = кы, где к = 1, 2, 3, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
