Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Подставляя третий член правой части равенства (9.93) в формулу (9.71), будем иметь: 2 4 5 4 г с(ха (и «))л л (ха (и «))л л ((и «) (и «))лл ((и «) (и «))л Д» (9.102) причем по индексу з, входящему дважды, мы должны просуммировать от 1 до 3 (х! = х, хг =у, хо — — а). В данном случае при интегрировании по углам, кроме (9.94), следует учесть еще выражение $ (гсоА)(иоВ)(иоС)(ИЯР)сЯ = б ((АВ) (СР) + (АС) (ВР)+ (АР) (ВС)1 (9.103) Тогда с помощью равенства (9.85) для вероятности квадрупольного перехода находим 2 г л"' = зо оа (3(хах«)'„л(хах«)ла (' )аа( )аа1.
(9104) Вводя далее квадрупольный момент (тензор) 1;!а« = а (Зх,х« — «'Ь„,), КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ мы окончательно получаем з (9.105) д) Излучение гармонического осцаллятора. Рассмотрим на примере гармонического осциллятора вопросы, связанные со спонтанным излучением. Как было показано в $ 7 (см. формулы (7.68), (7.69)), отличными от нуля будут только следующие матричные элементы координаты: /П Х -Ь = Хо '1(/ З П+ 1 Хл+1,П= ХО ф р э (9.106) где АО ~Т/ а В частности, спонтанный переход возможен по схеме и-Р и — 1 (рис. 9.! ).
Соответствующая частота излучения Ел — Ел ЕЗл, л-1 (9.108) равна механической частоте колебаний. Здесь мы учли, что, согласно (7.28), Е = йаз(а+1/2). Для интенсивности излучения найдем согласно (9.86) и (9.95) выражение ллл 2 гчл~ 2 л'в~ й~л. П-1 = 'lз — „„ез пды = '/з — „„,з (Ел — Ео). (9.109) где Ез = Чзйез. Полагая й- О, мы получим для энергии излучения гармонического осциллятора известное классическое выражение (см.
(7.10) ) (9. 110) Переходы в более высокие энергетические состояния п-Р п+ 1 возможны лишь при вынужденном поглощении. Спрашивается: возможно ли в случае гармонического осциллятора излучение гармонику т. е. дипольные переходы возможны лишь между соседними уровнями и правила отбора для дипольного излучения имеют вид Лп = п — п' = ~ 1. (9. 107) НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1ч, 1 166 С этой целью мы подсчитаем интенсивность квадрупольного излучения, которая пропорциональна матричному элементу (х')п,п, поскольку Ц„= (гаа = — Е(Х2), 1'„1кк = 2Е(Х ). (9.1 ! 1) «О в) * = — вчт — О 2 (х')и+2 „= — 1((а+ 2)(а+ 1), (х2)„,„=х'(а+ — ), (9.113) ирави а отбора для нвадруиольного излучения осциллятора можно записать в виде Ли=а — а'=О, ~ 2.
(9. 114) В частности, в случае спонтанного излучения, когда и -ь и — 2, должен излучаться не основной тон (как для дипольных переходов), а первая гармоника Еп — Еп-в Мп,п 2=  —— 252. (9.115) Учитывая формулы (9.115) и (9.113), найдем кваАЕ 1Вев Ааааа )Г,,» 2= — — и(а — 1). 165 2 5 (9.116) Производя замену в классическом приближении йе2а-ьЕ, получим 1655 т2 о (9.117) Сопоставляя формулы для дипольного и квадрупольного излучений, мы видим, что дипольные переходы происходят при Ла = ~1, а квадрупольные при 72а = О, .+2. Так как квантовое число характеризует четность волновой функции (см. (7.42) ), то дипольные переходы возможны из четного состояния в нечетное или наоборот.
Квадрупольные же — из четного состояния в четное или из нечетного состояния в нечетное, С помощью формул (9.88) и (9.105) находим следующее выражение для интенсивности квадрупольного излучения: 2 5 (9.! 12) Принимая во внимание значения для матричных элементов (х2)п,п (см. (8.38)), КВАИТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧГ!ЧИЯ 167 Определим, далее, отношение интенсивностей излучения. Из формул (9.117) и (9.110) находим (9. 118) 2Е где аз =, — квадрат классической амплитуды колебаний.
!пэы Отсюда видно, что в неРелативнстском пРиближении (Е «птесз) вероятность квадрупольных переходов будет во много раз меньше, чем для дипольных. Таким образом, выпишем окончательно правила отбора для дипольных переходов при излучении осциллятора Ьп=~ 1 (9.
1! 9) и для квадрупольных переходов*) Ли=0, ~ 2. (9. 120) Заметим, что магнитные переходы для гармонического осциллятора будут отсутствовать, так как при прямолинейном движении механический момент, а вместе с тем и магнитный, должны обращаться в нуль. е) Понятие о квантовых усилителях и генераторах. Вынужденное, или нидуцированное, излучение за последнее время нашло весьма большое применение благодаря созданию советскими учеными Басовым и Прохоровым квантоввгх усилителей и генераторов. Для простоты рассмотрим систему с двумя энергетическими уровнями Е! и Ез ) Е! Спонтанное излучение, связанное с самопроизвольными переходами Ет - Е! (вероятность перехода Аз!), Испускается по различным направлениям с беспорядочной фазой, т.е.
представляет собой некогерентное излучение. Направление распространения, фаза и поляризация вынужденного индуцированного излучения (вероятность перехода рВш, где р — спектральная плотность внешнего излучения) должны совпадать с направлением распространения, фазой и *) В оптической области дипольные переходы называются разрешеннымк. Все остальные переходы обычно называют запрещенными, хотя онн и могут быть разрешенными для квадрупольных и магнитных излучений. Учет последних существен именно потому, что в ряде случаев слабые линни, запрещенные для дипольного излучения, обязаны своему появлению квадрупольному или магнитному излучениям. Для атомно-молекулярных систем длина волны излучаемого света (Х 1О-' см) во много раз больше их размеров (о - ! О-' см), и поэтому веоятиость квадрупольного перехода (см.
(9,116) ) понижается примерно в О' раз по сравнению с дипольным. нвоелятивистскля кнлнтонлп мнхлиикл !68 поляризацией внешнего электромагнитного излучения. Это приводит к тому, что вынужденное излучение должно быть когерентным. Полная вероятность перехода с более высокого уровня на нижний (Еа-ь Е!) определяется выражением *) геа, — — Аац+ рВм, (9.121) причем частота внешнего излучения то должна лежать в пределах ширины линии резонансного перехода с частотой Ет-Е~ ЕЬ21 —— а > О. (9.122) Ради простоты мы ограничимся рассмотрением только резонансных переходов (от = гв21).
В этом случае система может под действием внешнего излучения также переходить с нижнего на более высокий энергетический уровень, поглогцая при этом соответствующий квант энергии. Вероятность такого процесса равна шм = рВм. (9.123) Обозначим число атомов в единице объема с энергией Еа через Фе, а с энергией Е! — через й)ь Числа Ма и У1 носят названия населенностей уровней. Тогда интенсивность (мощность) индуцированного излучения будет равна р„-й „,й(,В„р. (9.124) Точно так же для индуцированного поглощения имеем рта йот!2Ж!В!яр = — лсаа,М!В12р.
Принимая во внимание, что согласно формуле (9.83) В!2 = В2ь (9.125) для суммарной мощности индуцированных излучения и поглощения находим значение р=р + р =й рв (и — й)!). (9.126) В случае термодинамического равновесия температура Т вполне определяет населенность уровней, т.е. распределение атомов по энергетическим состояниям е1 в, Ут = Се "в У, = Се 'в (9.127) *) Поскольку нас интересует начественная сторона вопроса, мы ограни.
чимся рассмотрением нзотропного излучения. Обобщение теории на распространение лучей с валаиным направлением можно найти в специальной лн. тературе. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 169 что всегда дает ))7! > й(2. (9.128) Поэтому электромагнитное излучение, проходящее сквозь вещество, находящееся в состоянии термодинамического равновесия, должно всегда им поглощаться (р ( О). Для того чтобы излучение не поглощалось, а, наоборот, усиливалось, необходимо нарушить состояние термодинамического равновесия и создать такой ансамбль атомов или молекул, для которых населенность нижних уровней была бы меньше верхних (Ж! ( гтг).
Говорят, что такой ансамбль имеет инверсную населенность. Усиление, основанное на инверсной населенности, мы можем создать в принципе для любой частоты. Если грормально ввести понятие температуры, воспользовавшись соотношением и;е, Мз ьвт Л~! Э (9.129) то при инверсной населенности (уг!2 ) Ж!) значение для температуры Т должно быть отрицательным (Т ( О).
Заметим, что понятие отрицательной температуры носит совершенно условный характер и может относиться лишь к паре уровней, и то для промежутков времени, малых по сравнению с временем релаксации (состояние не является термодинамически равновесным) *). В противоположность этому в случае термодинамического равновесия температура характеризует распределение населенностей по всем энергетическим состояниям и для любого момента времени.
Следует подчеркнуть, что спонтанное излучение может уменьшить время пребывания электронов на верхнем уровне, т. е. уменьшить время жизни инверсного состояния. Допустим, что переход Ег-ьЕ! может быть осуществлен дипольным путем, т. е. является разрешенным. Тогда время пребывания т„ электрона на верхнем уровне, обусловленное спонтанным переходом, может быть найдено из соотношения **) дяя ео сп 1 сп 2 2 2 тсп лс ьз 137 Аз (9.130) ') См., например, файн В. М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
