Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В частности, если в состоянии х частицы отсутствуют, то У = О. Из (9.51) и (9.24) получаем Н=~~ 2сйх(У(х)+ — ). и (9.52) Коэффициент 2 соответствует двум возможным поляризациям. Кроме того, в случае отсутствия частиц (У(х) = 0) остается нулевая энергия, равная Но=~~' 2сйм 9. 1 (9.53) в) Вывод коэффициентов Эйнштейна ао квантовой теории излучения. Для описания движения электронов в поле фотонов, реально существующих (обусловливающих вынужденные переходы), а также виртуальных, т. е. еше не появившихся (обусловливаюших спонтанные переходы), воспользуемся нестационарным уравнением Шредингера, которое при наличии не только электрического, но и магнитного поля принимает вид (см', (2.33) ) ( — —.— — )т — — (р — — А) ) тР=О. (9.54) Отбрасывая величины второго порядка малости, пропорциональные А', и учитывая условие поперечности электромагнитных волн поля фотонов (б)у А = 0), а также соотношение (рА) ф = (Ар) ф + тр —, й)ч А, *) Заметим, что при конкретных исследованиях проблемы излучении иеобходимо знать лишь формулу (9.б!), а весь матричный аппарат был введен только дли ее обоснования.
Математически она обязана сумме нулевых энергий бесконечного числа осцилляторов, образующих поле фотонов. Физически она соответствует наличию электромагнитного вакуума, представляющего собой своеобразный резервуар, откуда «извлекаются» реальные фотоны при их испускании и куда они «переходят» прн их поглощении (например, атомом).
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (ч. ! получаем сз Ь гле "-~ Лю ез — ю и где матричный элемент р ~ с(зх,~,' Е-гигрф (9.63) (9.64) а также учтем, что при достаточно больших значениях времени мы можем положить 1 Мп (ы — ылл.) ! = 6 (го голл' ). Юлл' (9.66) Примечание. Равенство (9.65) означает, что при 1-+со 1 Г Мп (ю — е „л,) Г ( (Юлп')' "О " лл' (9.66) Для доказательства последнего соотношения в левой части равенства (9,66) сделаем замену ( лл') тогла оно принимает зид — — ! ~ы, + — г! г(5 = ) (ю,) — З! — б$.
1 Г Мпй и йх ! Г $1п5 лл' 1 ) пл' пп' Здесь мы перешли к пределу Г-его. учитывая затем, что — ~ — г(5 = 1, 1 Г з(п $ и мы докажем соотношение (9.66), а вместе с тем и (9.65). Вообще говоря, сама функция, стоящая в левой части равенства (9.65), имеет острый максимум при в=ел„.. Однано для конечных моментов времени ! Лй прошедших от начала процесса, зта функция допускает «разброс» (т. е. будет практически отлична от нуля) для интервала частот ) Лю( ( в — елл, ) лежащих ') Для обоснования (9.64) следует воспользоваться равенством (9.11), 2п из которого следует, что Лн„= Лмз Лнл = —.
Отсюда при переходе Ь к пределу Ь -ь лс получаем (9.64). Сделаем далее переход от ряда к интегралу при помощи соотношения л) КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЧЛУЧРНИЯ % о1 159 в области (Лы)Л1 1, что эквивалентно разбросу энергии )ЬЕ)М-А. (9.67) Последнее соотношение можно рассматривать как четвертое соотношение неопределенности. Оно хорошо известно в любом волновом процессе.
В частности, в классической оптике оно характеризует ушнрение спектральных линий, связанных с конечным значением длительности излучения (см. также $ 1). Формула (9.65) для достаточно больших времен 1-ь оо приводит к постулату частот Бора или к квантовой формулировке закона сохранения энергии (9.68) ш = озал' где ń— Е„.
озал = (9.69) Таким образом, излучение возможно только при переходе с более высоких энергетических уровней на более низкие: Е„> Еаь Используя далее перестановочные соотношения (9,5!), легко показать, что (а)э„',„) (ае(в„,„) = 5 (! + М (шхо)) (9.70) где (9.73) *) Заметим, что после интегрирования с помощью б-функции в выражений для 3 следует положить си =ела,хо.
В = ()э'„,„,(з„„) — ( Ч'„.) (тсо)э,х). (9.7 () Перейдем далее к сферическим координатам волнового вектора х(Гх = —, О, ф), когда с ' лзх (9.72) сз где с(ь)= згпбдбс(ф — элемент телесного угла. Предполагая, что внешнее излучение изотропно, т. е. число частиц не зависит от сферических углов 0 и ф (М = М(ш)), найдем после интегрирования с помощью б-функции следующее значение для вероятности перехода сверху вниз (с излучением света) *): твы =,"", (! + )ч'(ш„„)) $ стао 3.
2ятоо~й Напомним теперь равенство (9.6!) св„„= А„„+ рВ„„Ч (9.74) Сопоставляя две последние формулы, мы видим, что вероятность спонтанного перехода (М = О) определяется выражением (9.75) 2шяос А о (ч. ! нБРелятнэистскхя квлнтоВАя мсхлннкА )ао Для вероятности же вынужденного перехода имеем Л/ В„„= — А„„. Р (9.76) Для того чтобы число частиц М выразить через плотность р, будем исходить иэ следующих соображений. Плотность энергии электромагнитного поля равна Ю и„, = ~ р (а) с(а. с (9.77) С числом же частиц Ф(а) ее можно связать при помощи форму- лы (изотропное излучение) Ю ЮФ и = = — исди))7(а)= — ~асс(аУ(а). (9.78) ч ~ сЬс2Ф(е) эса4и Г а М с с Из последних формул находим у яссс Р ае' ' Отсюда, учитывая еше (9.76), имеем асс' В„„= — А аес с»ь (9.79) (9.80) Определим, далее, вероятность перехода с нижнего уровня и' на верхний п, т, е, найдем вероятность перехода с поглощением света.
Для этого в формуле (9.59) мы должны поменять местами уровни и (в данном случае конечный) и п' (в данном случае начальный), а также оставить члены, пропорциональные амплитуде а(и) (оператор поглощения). Тогда имеем с2 ~(епп' ~) ~ С (г) = ° ~ ((/ — с(зхф'„еы'(ар) ф,. (9.81) Сопоставляя формулы (9.81) н (9.60), мы видим, что их правые части представляют собой две комплексно-сопряженные величины. При вычислении квадрата модуля обе величины должны дать как будто один и тот же результат.
Однако здесь, благодаря тому что амплитуды а и а+ являются операторами, возникает одно существенное различие, имеющее большое принципиальное значение. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 16! Как видно из формулы (9.61), а,а+ (! + Ф), а+а, )у' чи а,а+. Поэтому при вычислении вероятности поглощения света ге,; мы получим результат (9.73), в котором вместо множителя (1+аг(ролл)) буде~ стоять множитель л1(го ), т. е. в'оола геа'а = Р8л'а = о з М (гала') $ г(Й 3 кпеоосза Отсутствие единицы говорит о том, что поглощение может быть только вынужденным (спонтанное поглощение, как и следовало ожидать, должно отсутствовать). Сравнивая формулу (9.82) с формулой (9.73), имеем (9.83) в =в т.е. вероятности вынужденных переходов сверху вниз н снизу вверх оказываются равными и пропорциональными соответствующей вероятности спонтанного перехода (см.
(9.80)). Подставляя соотношения (9.80) н (9.83) в формулу (9.6), дадим квантовомеханическое обоснование формуле Планка Аоо' 1 Р( ) В З Аа/Аат (9.84) г) Дипольное, магнитное (дипольное) и квадрупольное излучения. Исследуем спонтанное излучение в приближении, более точном, чем дипольное. Полагая в формуле (9.73) 0 = 0, найдем для вероятности перехода следующее выражение: о лола =А„— "" Й гИ3, я оозп з (9.85) где 3 определяется формулой (9.71), а для матричного элемента Раа мы имеем выражение (9.63). Определив вероятность спонтанного перехода, можно легко вычислить также и соответствующую интенсивность излучения В' ° = йгьа, А„г, (9.86) $ А. А. Соколов л ар.
характеризующей распределение спектральной плотности равновесного излучения, Напомним, что первоначально формула Планка была получена из принципа соответствия (см. $1) путем обобщения соответствующей классической теории на квантовый случай. пеРелятивнстскАя кВА!!Товия мехАпикА 1б2 а также и вероятности вынужденных переходов по формула!л (9.80) и (9.83). При вычислении матричного элемента (9.63) следует учитывать, что величина (хт) т/)! является малой.
В самом деле, длина волны излучаемого света )! !О-е см, а размеры атома г — 10-' см. Поэтому г/), — 10-з « 1. В дальнейшем наряду с дипольным членом, не зависящим от (хт), мы учтем еще члены, пропорциональные (хт), которые позволяют определить так называемые квадрупольное и магнитное (дипольное) излучения. Тогда, полагая (9.87) е !"'ж1 — !(хт), найдем для матричного элемента (9.63) значение Р„х ж р„,„— ! ((хт) р)л,„, где р„,„= ~ ф"„,рф„изх — матричный элемент оператора импульса. Воспользуемся далее следующим тождеством: ы„,„(1' (т))л,„= — „(Н1 (т) — 1 (т) Н)л,„ = — ~ —. (Ч)р) — — ЧЯ)),, (9.89) которое легко получить, если подставить сюда выражение для гамильтониана Н= — + К( ). (9.90) Заметим, что в (9.89) оператор Ч действует только на функцию 1(т). Полагая в формуле (9.89) функцию 1 равной х, найдем, что 1 — а~х;,= —.
(р„)„,„, л!л! илн в векторной форме (9.91) рл л = ино~лл" л л. Полагая далее !" =х(хт), получаем — гэ„„,(к(хг))л,„= —. ((хт) р, + х (хр) — !Йх„)„,л. 1 Заметим, что последний член правой части равенства в силу ортогональности собственных функций (п' М и) равен нулю: (хл)л „= ххбл'л = 0 КВАНТОВАЯ ТВОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ Поэтому в векторной форме последнее соотношение можно записать в виде — а„„,(т (хг))л,л = —,((хт) р+ «(хр))л,в. (9.92) Учитывая (9.92), второй член правой части равенства (9.88) можно представить следующим образом: 1 ! 1 1 Вльелл' (хт) р = — (хг) р + — (хг) р = — (хт) р — — т (хр) — т (хт). Отсюда для матричного элемента (9.88) в нашем приближении находим следующее выражение: (Ьв'в ~ !и!ОЬТлв'Гв'в + ( [Х (ГРП )л л 2 (Г ~ХГ))в,в.
(9.93) Первый член в правой части равенства (9.93) описывает обычное дипольное излучение, второй — магнитное (дипольное) и, наконец, третий — так называемое квадрупольное. Найдем прежде всего вероятность дипольных переходов. Подставляя первый член правой части равенства (9.93) в формулу (9.7(), получим 5 = тьзи' цг„'хг„,„) — (хьг'„,„) (хьгл,„)~. $ай=4п, $ (хьА) (хьВ) сЯ = —" (АВ), (9.94) Тогда находим значение для вероятности дипольного перехода 4 лзез„.
(9.95) где ~ г„,„~з = ~ х„,„~з + ~ у„,„~з -(- ! г„,„~я. (9.96) Если ввести матричный элемент дипольного момента Алл=егвлю (9.97) то выражение (9.95) можно представить в вике з ллл 4 елл' ' = З «вз-1 ил !з (9.98) Вычислим далее вероятность переходов, обусловленных магнитным излучением, Последнее равенство легко проинтегрировать по углам с по- мощью соотношений неоелятивистскАя квАнтовАя мехАникА !ч. 1 !б4 Подставляя второй член выражения (9.93) в формулу (9.71) и вводя оператор 2~нос (9.99) который в классическом приближении играет роль магнитного момента (более подробно см.
Э 16), найдем 2 г Я ""' ~(!г" г! ) (Но!А' ) (ио!2 )~ (9 100) Учитывая при интегрировании по углам равенство (9.94), для вероятности магнитных переходов получаем следующее выражение: 4 з (9.101) Так же как и в классическом случае, магнитное излучение отличается от электрического заменой днпольного электрического момента дипольным магнитным моментом. Как мы увидим в дальнейшем, вероятность магнитных переходов (в особенности в атоме) во много раз меньше вероятности электрических переходов. Наконец, вычислим вероятность квадрупольных переходов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
