Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Квантовая радиофизика: т. 1, Фотоны и нелинейные среды. — Мл Советское радио, ! 972. ") Для получения формулы (9.130) воспользуемся выражением (9.110), характеризующим интенсивность дипольного спонтанного излучения гармонического оспиллятора (вероятность перехода и других системах имеет тот же порядок). лг„ьлыг Полагая в (93!0) Е и дела все равенство на Лм, получим 2 соотношение (9.130). НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1Ч. 1 ГТО ео 2 где — ю — носит название постоянной тонкой структуры, а са 1З7 амплитуда колебаний а — 10 2 — 10 ' см.
В случае радиодпапазона (Х вЂ” 1 см) время дипольного спонтанного нзлучения будет сравнительно большов величиной (т„ — 10' с), поскольку оно пропорционально А,2, в то время как т„,„ согласно (9.80) 1 рСа2 — =рВ тянл 1376 (9. 131) не будет зависеть от Х, и при сравнительно большом значении р его можно сделать много меньше тьн При этом интенсивность вынужденного излучения будет много больше спонтанного, благодаря чему спонтанное излучение обусловливает лишь шумы. В оптическом же диапазоне (Х вЂ” 10-' или 10-2 см) в случае разрешенных переходов (формула (9.130) ) находим для времени жизни: т,.
— 10-" с. Для того чтобы его увеличить, желательно взять возбужденный уровень, переходы с которого на основной являются запрещенными (т.е. должны отсутствовать дипольные переходы: АЕА|" = О). Если предположить, что между уровнями возможны квадрупольные переходы, то тогда время перехода может быть найдено из соотношений (9.130) и (9.118): В частности, для светового диапазона (А — 1О-е см) время квадрупольного перехода может быть увеличено до одной секунды.
Все современные квантовые усилители, а также генераторы (мазеры или лазеры) основаны на создании тем или иным способом инверсной населенности, в результате чего после прохождения электромагнитных волн должно происходить или усиление, или даже генерация излучении. ж) Основы теории дисперсии. Теория возмущений нашла применение при изучении взаимодействия света с веществом. Дело в том, что результаты, полученные по квантовой теории, отличаются от классических, а экспериментальная проверка дает подтверждение выводов квантовой теории.
Рассмотрим теорию дисперсии (т.е. теорию рассеяния света в среде) для диэлектрических сред, характеризуемых согласно классическим представлениям показателем преломления и= ~/е, где е — диэлектрическая проницаемость (магнитная проницаемость р при этом положена равной едш2нце: р =!). Как известно, если с увеличением частоты света. проходящего через э 9] кВАнтонАя теории излучГния г кл вещество, показатель преломления п возрастает ( — > О), то (.
ь такая дисперсия называется нормальной, Типичным примером нормальной дисперсии является спектральное разложение видимого света стеклянными или кварцевыми призмами, когда фиолетовые лучи отклоняются от первоначального направления сильнее, чем красные. / пп Анод]альная же дисперсия ( — < О) наблюдается в области \, ое> частот, которые поглошаются средой. Для определения показателя преломления и воспользуемся связью между вектором электрической напряженности д' электромагнитного поля, вектором индукции тл и вектором поляризации аэ'.
(9. 133) Отсюда, учитывая, что в=аз, находим ай' = — 4'. и' — 1 4п (9.134) Таким образом, для определения и ыам необходимо, исходя из микроскопических представлений о строении вещества, установить связь между Ф' и д'э). Перейдем теперь к построению квантовой теории дисперсии. При этом предположим, что все электроыы атомов находятся в одном и том же квантовом состоянии к. Для решения нашей задачи используем метод теории возмущений, поскольку энергия взаимодействия с внешним полем, как правило, мала по сравнению с энергией связи электронов в атоме. Замечая, что выешняя сила, действующая ыа электрон, в не- релятивистском случае (т. е. прн отбрасываыии «магнитной» силы) равна Р„= — ео«госоза], г'и = Р,=О, для энергии возмущения получаем выражение*э) Г = аахти'в соз Ы.
(9.135) В связи с этим уравнение Шредингера для электроыа запишется в форме (9.136) где Но — гамильтониан в отсутствие возмущения. ') Согласно определению поляризапня эу' складывается из электрических моментов атомов в единице объема. ") Отсутствие зависимости от координат г соответствует условию, ччо на расстояниях порядка размеров атома электрическое поле можно считать неизменяющимся. 172 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (ч. ! Допустим, что при У' = 0 уравнение (9.136) имеет точное решение (9.!37) (9.140) „~г (1) -и (кк-к) 1 -И (кк+к) (9.143) Тогда для определения функций и и о получаем уравнения (Ь (а — а) — Н') и = 1/те хд' ф', (9.144) (й (е + е) — Н') о = '/,е,хо,ф'.
(9.145) Заметим, что два последних уравнения имеют совершенно одинаковую структуру. Поэтому нам достаточно найти лишь функцию и. Тогда для вычисления функции о необходимо заменить а на — м. Поскольку в уравнение (9.144) время явно не входит, при определении функции и мы можем воспользоваться методом теории возмущений для стационарных задач, когда решение следует искать в виде разложения по собственным функциям невозмущенной задачи (см. (8.8) ) и= ~С „ФВ„, к" где фв. удовлетворяет уравнению Но) ко (9.146) (9.147) где ф'„и Ек удовлетворяют уравнению (Е Но) фо 0 (9 138) Тогда в соответствии с теорией возмущений решение ищем в виде ф (() фо (() 1 ф (() (9.139) Учитывая далее равенство ( — —,— „— Н)фв(()=0, в д для определения ф',(() (первое приближение) получаем уравнение ( а д Но) фк (() у фо(() (9.
141) Подставляя сюда У' из (9.135), находим ( ~' — — — — НВ) ф' (7) = '/тевхЮ ф (е и ("'к ") + е и ("к+")). (9.! 42) Чтобы в этом уравнении исключить время 1, ищем решение ф',(1) в форме % 0! КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ г!ЗЛУЧЕНИЯ !Тз Из последних равенств находим й ~~ С .(в .— в) фо.— к" (9.148) Здесь частота излучения Ек — Е Вкк-= л (9.149) Умножая (9.148) слева на «р«к и интегрируя затем по всему пространству с учетом ортонормированности собственных функций, для коэффициентов С, получаем выражение С , к'к 00Ео к .„ «Ок'к + «0 (9.150) Подставляя (9.150) в (9.146), находим искомую функцию Х( еуо) х"к Фо к' (9.15!) где матричный элемент х,; ранен ~ фвхфо«)ох (9.152) Заменяя в (9.15!) в на — в, получаем ~ ( ОО 0) Кк'к к' (9.153) Общая же волновая функция «Р,(!) согласно (9.!39) и (9.143) запишется в виде о фк(!)=е "" ф' — — "' У """ ' (вкксозв! — !вз!пв!] (9.154) Определив волновую функцию фк(!) электрона во внешнем поле, мы легко сможем найти вектор поляризации среды йо.
В самом деле, по классической теории У, = У = )о'р = — )Чеох, (9.155) где Ж вЂ” число атомов в единице объема. Чтобы это выражение обобщить на квантовый случай, вместо р следует взять его среднее значение. Тогда У = й! (р) = — «о'Ео ~ ф'„(!) Х«Р (!) «!РХ. НВРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !ч. ! 174 Подставляя сюда ф,(!) из (9.154) и оставляя только члены пер- ВОГО ПОрядКа МаЛОСтИ ОтНОСИтЕЛЬНО ев О, НаХОдИМ 2 2 Ь, ОЭ вЂ” ОЪ к'к (9.156) При выводе этого соотношения мы учли, что фб*тфбдзх ~ ~ фп !2 хлзх 1) поскольку подынтегральная функция является нечетной функцией. Сравнивая (9.!56) с (9.134), получаем дисперсионную фор- мулу и — 1 ЗА!ОО Оз„.„) к ° кк кк 4л к Вводя новую переменную (9.157) (9.158) получившую название силы осциллятора, преобразуем равенство (9.157) к виду пр — ! А!Оо )к к кк (9.159) 4п тпо, от ° — «о2 к' к'к Рис.
2.2. Кривые дисперсии. о! положитель иия дисперсия (ык=ы„ «); б) отрипитель иия дисперсия (ык=ыкк ). З аметим, что если бы с самого начала была учтена квантовым путем сила радиационного трения, то для частот Оз, близких к Оз„,„,мы имели бы (аналогичттп у а"'-У но классическому случаю) в области аномальной дисперl '. сии конечное значение для и' (рис. 9.2, а — штриховая линия). Формула (9.159) напоми- нает по своей структуре класау бу сическое выражение. Однако по сути дела квантовые резуль. таты принципиально отличаются от классических. В самом деле, согласно квантовой теории аномальная дисперсия лежит в области частот, соответствующих разрешенным переходади а не в области собственной механической частоты колебаний электрона, как это вытекает из классической теории.
Такой вывод следует из того, что в дисперсионной формуле (9.159) существенную роль играет сила осцил- КВЛНТОВЛЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУ'1ГПИЯ оя Е ° — Е„ /к'к к'к Для этих состояний дисперсионная формула (9.!59) принимает вид и — ! уео — Л'ео ~~~ (9.160) 'ко, а', — а~ к' к'к а кривая дисперсии изображается штриховой линией на рис. 9.2, б.
Экспериментально явление отрицательной дисперсии было обнаружено Ладенбургом. Таким образом, и этот вывод квантовой теории также получил свое подтверждение. Найдем значение силы осциллятора /,,„, а следовательно, и дисперсионную формулу в случае гармонического осциллятора.
Замечая, что прц этом отличными от нуля будут только матричные элементы (см. (9.106)) /а(а+ ц / ак Хк+1, к — "Т!/ 2щоао И Хк-1, к "1(/ (9.!6!) 2к1оаа которым соответствуют квантовые частоты излучения, «случайно» совпадающие с соответствующими механическими частотами колебаний (9. 162) акоп к=ае Н а — 1, к= ае /,+1 „— — (к+1), 1, 1 „= — к, находим (9.!63) т. е 2.,/.,.=1. (9.164) к' Поэтому дисперсионная формула (9.159) запишется в виде Лко к+ ! Лагко " Л'ео ! — (9.165) ~по ао — а К1о ао — О1 ~по ао — а лятора /,, определяемая матричным элементом х,,„(см.
(9.158) ), характеризующим правила отбора, т. е. разрешенные переходы. Д. С. Рождественский, используя так называемый метод крюков, экспериментально подтвердил эти выводы квантовой теории. Вторым очень важным отличием квантовых результатов от классических является то, что согласно квантовой теории наряду с обычной положительной дисперсией може1 также существовать еше и отрицательная дисперсия (рис.
9.2, б), не имеющая классического аналога. Действительно, если рассеяние света происходит на возбужденных атомах, то следует учитывать состояния с Е, ) Ек, для которых НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА )Ч. ! Отсюда следует, что в этой частной задаче квантовая и классическая теории дают для показателя преломления п одно и то же значение. Явление отрицательной дисперсии здесь не наблюдается. Это связано с тем обстоятельством, что для гармонических осцилляторов область отрицательной дисперсии, благодаря тому, ЧТО (Оукф1, «~ =)Отк-Ь к~, СОВПадаЕт С СООтастетауЮщсй ОбЛаСтЬЮ положительной дисперсии, которая ее и перекрывает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
