Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Найдем далее полную зиергию поля фотонов, которая, как известно, равна тт' = — ! (д"'+ вй') !Зз~, 8п (9. 16) Примечание. Вообще говоря, а переменном во времени злектромагнитном поле наряду с вектор-потенциалом А' должен быть отличным от нуля также и скалярный потенциал Ф'. Однако а вакууме мы всегда можем провзвести калибровочные преобразования Ф Ф' + — —, А = А' — игам й 1 д) с дт' которые не изменяют связи векторов электрической 1 дА 8 — — — — ягаб Ф с дГ н магнитной эв = го! А напряженностей как со штрихоеаиными, так и с нештрихоааиными потенциа- 1 дФ лами. Точно так же н условие Лоренца (д!УА+ — — =О) не изменится, с д! если калибровочная функция 1 будет удовлетворять урааненню Даламбера ! дэ) Рз) — О.
сэ ди Поскольку для вакуума все составляющие потенциалов также должны удовлетворять уравнению Даламбера, то, не нарушая общности, мы можем по- 1 д) ложнть — — = — Ф', что автоматически ведет к условию поперечностн с дГ (9.17), а также к выражению (9.18). причем в случае наличия только поперечных злектролгагнитны7г волн Ф=О, ЙУА=О (9.17) имеем 4' = — — —, вй = го1 А.
1 дА с дс' (9.18» НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 150 Подставляя разложение (9.18) в (9.16) и принимая во внимание соотношение [ 2(зла~ ь+ эл— уз т. 3 ! à — л (л,+л|) ! à —" (л2+л~2) ! à — '* (лз+л3) д 3 (9.19) =б ° Ь ~ ° Ь ~=6 ЛЬ вЂ” л~ л2, -л2 лз, — л3 л, — и а также (9.15), найдем гамильтониан Н= з ~~' ~ — 2( д ' д ' )+([хА(х,()[[хА( — х, !)])~.
(9. 20) При дальнейших вычислениях учтем, что согласно (9.14) равенство (9.!3) мы можем представить в виде А (х, !) = А (х) е ""' + А" ( — х) емл' (9.21) Кроме того, при вычислении гамильтониана необходимо учесть еще выражение для производной = — Гх [А (х) е ""' — А*( — х) е""'[ (9.22) 1 дА(н,3! с д! а также условие поперечности поля фотонов, которое следует иэ (9.17) (ИА (х)) = (хА' (х)) = О. (9.23) Подставляя последние соотношения в (9.20), легко показать, что гамильтониан не зависит от времени и равен Н = — ~~~ ~ х2[А;(х) А,(х) + А,(х) А;(х)[. (9.24) л Ь2,3 В последнем члене правой части равенства (9.24) мы сделали замену х — — х.
Из условия поперечности (9.23) следует, что нельзя Все трп составляющие амплитуды вектор-потенциала считать независимыми переменными. За независимые переменные можно выбрать только две, что .связано с двумя возможными поляризациями фотона. Хотя разложение амплитуд потенциалов по состояниям поляризации не является однозначным, однако конечный результат не должен зависеть от этого, если произвести усреднение или суммирование по состояниям поляризации. Поэтому мы выразим три составляющие амплитуды вектор-потенциалов через две независимые таким образом, чтобы автоматически выполнялось условие поперечности и сохранялась бы квадратичная форма связи гамильтониана через независимые амплитуды. Для КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ч ч| этого мы полагаем ~// — "' ("„'„" ь, — — „"" ь,), ,// — '„' ( — "„'„"" Ь,+ — „"' Ь,), / 2лса хы — ~// — — Ь„ и х / 2лса А„(х) = )/ — а, = н /2лса Аа (х) = '~/ ае —— (9.25) А, (х) = .у — „аз = Г2лсд где Х„= л/Хт„+ Хз, х= хз +ха = /хе+хе+хе.
!2 к Ч к а к' Вевисимость амплитуд Ь| и Ья от в=ктора х мы ради краткости писать не будем, т. е. Ь| — = Ь!(х), а *) (9.26) Ь2(~) =Ь!е ""', Ь+| (1) = Ь|+е""'. (9.27) Точно так же мы введем обозначение Ь', = Ь, (х'). Н вЂ” — ~~ ~ сйх (Ь„Ь„+ Ь„Ь„). (9.28) М |2 к' Если волновое уравнение рассматривать как результат первого квантования (более строго это замечание относится лишь к уравнени|о Шредингера, а не Максвелла), то в результате первого квантования могут быть описаны волновые свойства процесса, когда постоянные амплитуды Ь„ являются обычными числами (с-числа), т. е. должны коммутировать друг с другом.
Можно ввести дополнительную гипотезу, что квадрат амплитуды описывает шсло частиц, однако это число не должно изменяться со временем. В процессах же излучения и поглощения фотонов должно изменяться общее число частиц. Поэтому для описания подобного процесса необходимо создать теорию с воз- *) В дальнейшем амплитуды Ь мы представим в виде матрицы, и поэтому сопряженные амплитуды будут не комплексно-сопряженными, а зрмитово-сопряженными величинами, обозначаемыми через Ьь. Нормировочный коэффициент ч/ — введен для того, чтобы /2лса правила перестановок (см. ниже (9.32)) были нормированы на единицу. Подставляя (9.25) в выражение для гамнльтониана (9.24), мы найдем иерелятипистскАя кВАнтопля мехАникА (Ч.
1 152 можным изменением числа частиц, считая амплитуды Ь операторами (д-числа). Математически это можно осуществить, проквантовав выражение (9.28), Заметим, что квантование волнового уравнения получило название вторичного. В основу вторичного квантования мы положим квантовое уравнение движения (см. (6.45)), с помощью которого можно произвести также и первое квантование. Учитывая зависимость амплитуды Ь(() от времени (см. (9.27)), мы будем иметь гсжЬР а (НЬЯ ЬРН) (9.29) Аналогично легко показать, что гсмЬ. '= — „' (НЬ„'— Ь„'Н). (9.30) Подставляя сюда гамильтониан (9.28), преобразуем соотношение (9.29) к виду саба ) ~ ~ЬР' (Ьв'Ьв Ьибв') + (ЬР' Ьв ЬЯЬЯ' ) Ьв' + + Ь„'(Ь„'+܄— Ь Ь„'+) + (Ь„'܄— Ь„Ь„') ЬЯ.
(9.3Ц Мы удовлетворим последнему равенству, если положим ьЬЯ, багие = ЬЯЬвр — ЬР~Ь„= бвн б,, (9.32) (9.33) Из (9.30) следует еще (Ь+, Ь„")=0. (9.34) как, например, для частиц, подчиняющихся уравнению Дирака (см. $18), то тогда квантовое уравнение движения (9.29) привело бы к так называемым ферми-дираковским перестанавочным соотношениям С'+С+ СС' = 5 „ с'с+ сс'-с'+с++ с+с'+ =ц (9.35! В частности, из (9.32) следует, что некоммутирующими друг с другом будут только амплитуды, соответствующие одному и Последние равенства и определяют вторичное квантование ам- плитуды электромагнитного поля.
П р и меча н и е. Заметим, что перестановочные соотношения (9.32)— (9.34), которые соответствуют гамильтониану (9.28), описывают вторичное квантование частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна. В случае, если бы гамильтониан имел другой вид и — у'' саи'(С'С' — С'С"), 2 ~-г (9.35) % 91 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 1Бз (9.37) поэтому амплитуды Ь„не могут быть обычными с-чнслами. Они должны быть операторами, т.е. д-числами (наподобие операторов р, и х в первично квантованном уравнении).
Мы удовлетворим равенству (9.37), положив операторы Ь и Ь+ равными следующим эрмитово сопряженным бесконечным матрицам **): о з/Г о о о о о з72 о о о о о ~Гз о О О О О ЗГ4 (9.38) о о о о ... зЛ о о о... Ь+= о ч/2 о о ... о о ч/з о ... (9.39) Отсюда следует, что 1 О О О ... О 2 О О ... О О 3 О ... О О О 4 ... ЬЬ+ = (9.40) Ь+Ь = (9.41) ооо О(ОО ЬЬ' — Ь'6= о о 1 о ооо или (9.42) ") Если бы в равенстве (9.25) мы не ввели нормировочного коэффи/2иса циента — , то в правой части равенства (9.37) стоял бы квадрат этом го коэффициента.
*') Ради простоты индекс поляриэапии )г у амплитуд б мы опускаем. Заметим, что матрицы вида (9.38), (9.39) фактически были уже введены нами ранее при рассмотрении гармонического осциллятора (ср. с (7.123)), тому же импульсу и поляризации '): ооо О(О О О 2 ооо о.. о.. о.. 3..
НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. ! 154 Эти матричные значения для амплитуд Ь и Ь+ удовлетворяют равенству (9.37). Физически вторичное квантование электромагнитного поля приводит к описанию квантовой системы с пергженнь[м числом фотонов. Иными словами, мы сможем описывать непускание и поглощение фотонов, учитывая их корпускулярную структуру. Для того чтобы удовлетворить последним соотношениям, выберем функцию )(М) от числа фотонов М, на которую действуют матрицы Ь и Ь+, в следующем виде *): ! О о 1 О О о ) (1) = о [(2) = [ (0) = (9.43) где [(0) описывает состояние, когда фотоны отсутствуют, ((1)— состояние с одним фотоном, [(2) — с двумя фотонами и т.
д. Учитывая значение матриц (9.38) и (9.39), легко показать, что Ь~(0) = О, Ь~(1) =)(О), Ь1(2) = ~/2 ) (1) или *) Каждая амплитуда, зависящая от заданных значений Н и и, должна действовать на свою матрицу от числа частиц [(й[). Общая функция от числа частиц должна быть равной произведению всех этих матриц: /(й[, й[', й[" ...) ! (А[) 7 (й[') ! (й[и) ... ь!(М)= /м ((м — !). Точно так же действие сопряженных амплитуд определяется соотношениями Ь 1(0)=)(!), Ь+!(1)=1/2)(2), Ь+! (М) = 1/М+ 1 ) (М + 1), (9.44) т.е. оператор Ь является оператором поглощения (или уничто- акения) (М -ь М вЂ” 1), а оператор Ь+ — операторож испускания (нли рождения) (М-ьм+ 1) фотонов. Из последних равенств слсдует: ь ь| (м) = м! (М), (9.45) ьь'!(М)=(м+ !) !(м), т.
е. операторы Ь+Ь и ЬЬ+, действующие на функцию числа фото- нов, имеют собственные значения, которые равны или числу фо- тонов М (для произведения Ь+Ь), или на единицу больше, чем число фотонов М+! (для произведения Ььь). КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ !бб С+С + СС+ 1, (9.46) мы должны были бы вместо бесконечных матриц (9.38), (9.39) н (9.43) вы- брать соответственно матрицы ~о !) „ ~ о) ( (О) = (, ) н ( (!) = ( ) . (9.47) Тогда автоматически будут удовлетворены перестановочные соотношения (9.46). Кроме того, С((0)=0 С((1) /(О), С~((0) =((1), С~((1) О. Отсюда видно, что С+ является оператором рождения, а С вЂ” оператором уничтожения, причем, в отличие от статистики Бозе — Эйнштейна, в каждол» квантовом состояннн может находиться не более одной частицы (статистика Ферми — Дирпка), т. е.
действие квадратов амплитуд на функпню от числа частиц определяется другим по сравнению с (9.46) выражением С С((А») = А»((А»), СС~((А») =(! — А») ((М). (9,48) Если в начальный момент фотоны отсутствуют (М = О), то Ь+Ь = О, в то время как ЬЬ+ = !. Последние соотношения говорят о том, что квантовая система (например, атом) долм»на взаимодействовать с вторично квантованным полем фотонов (илн, как говорят, электромагнитным вакуумом) даже в том случае, когда реальные фотоны отсутствуют (М = О).
Зная перестановочные соотношения для амплитуд Ь„, мы, учитывая еще (9.25), легко можем найти перестановочные соотношения для амплитуд поля фотонов ~аы а',+) = Ь, (Ь е — ~фс,) (9.49) нлн для амплитуд, имеющих одинаковый импульс (х=х'), ~а,, аД=Ь,, — хохо„ (9.50) где хо — единичный вектор в направлении импульса фотона. Для того чтобы удовлетворить последнему соотношени»о. мы Как видно из формулы (9.45), в каждом квантовом состоянии может находиться любое целое число частиц. Поэтому перестаиовочиые соотношения (9.37) ведут к статистике Бозе — Эйнштейна.
При меча н не. Для того чтобы удовлетворить перестановочным соотношениям вида (9.36), нз которых следует единственная, отличная от нуля, антнкоммутнруюшая комбинация НЕРЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1бб 1Ч. 1 должны положить (см. также (9.45)) *) а,а,+, = (1+ У) (б,м — х,'хо,), а+,а = У (бак — ~фо,), (9.51) где У вЂ” обшее число частиц, обладаюшнх импульсом Ьх, усредненное по двум возможным состояниям поляризации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
