Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 22
Текст из файла (страница 22)
144) в котором свободный гамильтониан Но отсутствует. Наконец, дифференцируя определение (7.!4!) по времени 1, находим уравнение, которому подчиняется произвольный, оператор в представлении взаимодействия: оА (О) = — „[Но А, (!)]. (7.!45) Таким образом, в представлении взаимодействия векторы состояния описываются уравнением типа уравнения Шредингера, в котором в качестве гамильтониаяа стоит только гамильтониан взаимодействия Н~(!), а операторы удовлетворяют уравнениям Гейзенберга со свободным гамильтонианом Но. Преобразования от шредннгеровского к гейзенберговскому представлению или представлению взаимодействия, осуществляемые с помощью унитарных операторов (7.130) и (7.139), представляют собой частные случаи общих унитарных преобразований, оставляющих инвариантными матричные элементы. Поскольку реально наблюдаемыми величинами являются именно матричные элементы и средние значения, а не векторы состояний или операторы, то для расчетов можно выбрать то или иное представление в зависимости от особенностей решаемой задачи.
й 8. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ "'=го+ г ° Потенциальная энергия Но выбирается таким образом, чтобы уравнение Шредингера с гамильтонианом Но = Т + Н, имело бы точное решение, а энергия возмущения )г' давала бы небольшие поправки к решению основного уравнения с потенциалом Но, а) Постановка задачи. В квантовой механике только ограниченное число задач может быть решено точно, как это было сделано, например, для осциллятора. Для нахождения решения волнового уравнения во многих случаях приходится прибегать к различным приближенным методам. Одним из таких методов, получившим наиболее широкое распространение, является метод возмущений. Он применяется тогда, когда потенциальная энергия взаимодействия частицы Н может быть разбита на два сла- гаемых негелятивнстскАя кв«нтОВАя мгхАнпкА 132 1ч.
1 Последовательное вычисление этих поправок (первое, второе, третье и т. д. приближения) дает, как правило, разложение по некоторому малому параметру. В квантовой механике развиты различные варианты метода возмущений, основными из которых являются следующие: Метод Шредингера, или стационарная теория возмущений, используется в тех случаях, когда энергия возмущения не зависит от времени или же когда время может быть исключено из уравнений с помощью какого-либо преобразования.
Этот метод позволяет, например, определить поправки к спектру энергии системы в стационарных задачах. Нестационарная теория возмущений (метод Дирака), применяемая для приближенного решения задач, в которых возмущение явно зависит от времени, дает возможность вычислять вероятности переходов системы из одного стационарного состояния в другое и находит применение, например, В теории излучения и в теории рассеяния (см. ниже Я 9 и 15). б) Основные уравнения стацяонарной теории возмущений Шредингера. Изложим метод теории возмущений, применяющийся в случаях стационарных задач, когда гамильтониан системы не зависит от времени. Пусть гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид Н=Т+ У =Т+ УВ+ У', (8.!) причем здесь энергия возмущения равна У', а основная часть потенциальной энергии УЯ выбрана таким образом, чтобы уравнение Шредингера (Š— Н) «Р = 0 (8.2) при отбрасывании возмущения У' (У'= О) имело точное решение, характеризуемое величинами Еэ и «РА.
Тогда, обозначая Т+ УВ = Нз (нулевое приближение) и принимая во внимание (8.1), приводим (8.2) к виду (Š— Нс — У') «р = 0, (8.2а) Задача заключается в том, чтобы пз этого уравнения найти (хотя бы приближенно) как значения энергии Е„так и соответствующие им волновые функции «р«с учетом энергии У'. Согласно теории возмущений решения для Е н «р ищутся в виде рядов „~о+ „~~+ ф Е=Е" + Е'+ Е" + ..., где ф' и Е' — величины первого порядка малости по отношению к «рс и Ес, ф" и Е" — величины Второго порядка малости и т.
д. 1зз теОРия возмущения Как правило, энергию возмущения У' можно представить как произведение энергии, имеющей порядок Р, на некоторый малый параметр Х (Х « 1). Тогда решения (8.3) должны представлять собой разложения по этому малому параметру Х, т.
е. Ео и фо не должны зависеть от этого параметра, Е' и ф' пропорциональны Х, Е" и ф" пропорциональны У и т. д. Подставляя (8.3) в (8.2а), получаем (Ео+Е . Но к )(фо+ф')=О (8.4) первое приближе- (8.4а) члены вточто для нулевого в) Первое приближение. Чтобы получить ние теории возмущений, следует отбросить в рого порядка малости (Е' — У')ф' и учесть, приближения имеет место уравнение (Е Но) ФО=О, (8.5) Из последнего уравнения могут быть найдены в нулевом приближении все собственные значения Еь Ем Еъ ..., Е;~ о о о и собственные функции фо фо фо фо связанные между собой соотношением (Ео, — Но) Фо, = О. (8.6) Принимая это во внимание, переходим к исследованию уравнения первого приближения теории возмущений (Ео Но) ь (Е ь ).оо (8.7) Предположим, что в отсутствие возмущения система находилась в некотором квантовом состоянии и' = и.
Тогда, в связи с тем, что в нулевом приближении Е'=Ео и фо= ф~, при нахождении первого приближения Е'=Е'„, ф'=ф'„получаем (Ео Но) фг (Е р ) фо (8.7а) Замечая, что любую функцию всегда можно представить в виде разложения по полной системе ортонормированных функций с теми же граничными условиями (см. (6.!6)) (в данном случае этой системой являются функции фоп фоо, ..., ф"„), реше.
Группируя члены одного порядка малости, находим (Ео Но) фо+ [(Ео )г ) фо+(Ео Но) ~Д+ (Е )г')ф О (8 4а) НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !34 ние для 4Р'„ будем искать в форме ф' = ~ С,фо,. (8.8) или, принимая во внимание (8.6), находим ~ С (Ео Ео,) лйо (Е Г) фо (8.9а) г) Неаырожденный случай. Если рассматриваемая система является невырожденной, т. е. если каждому собственному значению энергии Ьч„' соответствует одна и только одна собственная функция ф"„, то, умножая уравнение (8.9а) слева на фо' и интегрируя затем по всему пространству, можно привести его к виду ~~ С (Ео Ео) 6 = Е~+ ~,~о*У~фойо, (810) л' Здесь мы учли ортонормированность собственных функций фо тко" тло ~о л л' лл" Поскольку величина, стоящая в левой части (8,10), равна нулю (при п' = и имеем Ел — Е'„ = О, а при а' Ф п имеем блл = 0), для искомой дополнительной энергии Е, 'находим выражение (первое приближение): Е;,= Р'лл, где матричный элемент У' — 1,ко*),,койэх (8.!1) (8.1 ! а) Таким образом, дополнительная энергия Е'„системы оказывается равной среднему значению энергии возмущения У'.
Следует заметить, что выражение (8.!1) для дополнительной энергии Е„ 'было получено в результате приравнивания нулю левой части уравнения (8.7а) после его умножения на волновую функцию фо' и интегрирования по всему пространству. Отсюда следует, что правая часть неоднородного уравнения (8.7а), записанного кратко в форме Млр= 1, (8.12) В (8.8) мы должны определнгь неизвестные коэффициенты С; обобщенного ряда Фурье.
Подставляя (8.8) в (8.7а), имеем ~ С„, (Ео — Но) ф = — (Š— Р') фо, (8.9) ТЕОРИЯ ВОЗМУШЕНИЙ должна быть ортогональной к решению соответствующего одно- родного уравнения Мфэ = О, т. е. ф'*! с('х = О. 1 * (8.!3) Для того чтобы найти коэффициенты С, в уравнении (8.8), воспользуемся формулой (8.9а), которую перепишем в виде Х С. (Ез — Е'.) р'.= — (8" — )г') р'. и" Тогда, умножая ее слева на ф'„",(и' ~ п) и принимая во внимание условие ортонормированности, после интегрирования по всему пространству находим: С Пии — Пж (8.14) где (8.15) Таким образом, для ф„' имеем $'=С $0+ ~ С,фо, и' (8.16) причем здесь штрих у символа суммы означает, что суммирование ведется по всем и', кроме и' = а.
Наконец, неизвестный пока что коэффициент С, при волновой функции в нулевом приближении может быть найден из условия нормировки 1 Ф„'ф„с(их = 1 (8.17) полной волновой функции фо + ф' Софо + ~' С фо и' где Си = 1+ Си. (8. 18) (8.19) Подставляя (8.18) в (8.17) и оставляя члены не выше первого порядка малости, имеем ~ Си и ~ фо фо (зх ! + ~ (С'„'С„, ~ фи'фи,с("х+ С"„,Сэ ~ фи'ф'г(зх~ = 1.
(8.20) и' 1ЗВ НЕРЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА В результате для волновой функции ф, с учетом первого приближения теории возмущений окончательно получаем выраже- ние ф — фо 1 (8.22) где Ео — Е Отсюда, а также из (8.11) видно, что как ф„', так и Е'„пропорциональны энергии возмущения в первой степени (т.е. пропорциональны параметру А). Заметим, что развитый нами метод теории возмущений может быть оправдан только в том случае, если каждый последующий член разложения (8.3) окажется меньше предыдущего. Для этого, как можно заключить из равенства (8.22), необходимо потребовать, чтобы выполнялось неравенство ! $/'„,„! ~ )Е~ — Ео,~.
Таким образом, необходимым условием применимости теории возмушений является малость недиагональных матричных элементов оператора возмущения по сравнению с разностью значений энергии соответствующих невозмушенных состояний. (8.22а) д) Воорождвннош" случай.
Построим теперь теорию возмущений применительно к вырожденному случаю, когда одному и о тому же собственному значению энергии Е„при отсутствии возмушения соответствует 1 собственных функций (для упрошения ограничимся двумя функциями): фо и фо Тогда, очевидно, любая линейная комбинация этих функций фо ~офо 1 г'офо (8.23) является решением волнового уравнения в нулевом приближе- нии (Š— цо) фо = О, Как и в случае невырожденных состояний, любое частное решение однородного уравнения (8.6) должно быть ортогональ- Отсюда, учитывая условие ортонормнрованности, с точностью до фазового множителя, который нас не интересует, находим Со =1, (8.21) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
