Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 31
Текст из файла (страница 31)
1 Подставляя сюда решение (10.60) и учитывая (10.62), полу- чаем 1 -! Перебрасывая производную со второго множителя на первый (1+ и) раз, т. е. раскрывая последний интеграл (1+ т) раз по частям, имеем +! -1 Принимая во внимание равенство (см. также (10.63)) лм 1 2Л (а=21), <ь" " 1. 0 (а(21), а также учитывая, что +! 1 (и) 2~~~~ (1 — х') 11х= (2! ! !), 1 находим бщ „ /(2)+ !) (! — 1Е)! 2()+ е)! (10.65) Тогда ~и .
/(2!+ !) (! — «1)! щ Ч 2 ()+ 1И)! (10.66) причем условие ортонормированностн для шаровых функций принимает внд $ (У!" ) У!" 1И = Ьи б (10.68) Чтобы доказать условие ортонормированности (10.68), следует подставить в это равенство для шаровых функций их выражение (10.67). Тогда, интегрируя по углу ф, легко показать, что — ~ е'! -Р!')Я4(ф=б „. ! 2Н о Для шаровой функции У1~(6, ф), удовлетворяющей уравнению (!0.22), на основании (!0.23), (10.36) и (10.66) имеем 1'! (6, ф)=0! Ф„= ~/ 4 ! + ),' Р! (соз6)е ~, (10.67) % Ю! ПВИЖЕИИЕ В ПЕНТРЛЛЬНО.СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ 189 При интегрировании же по углу 0 в полииомах Лежандра следует положить т' = лт.
Тогда, не ограничивая общности, можно выбрать 1' ( 1. Случай 1' =1 мы только что рассмотрели при определении нормировочного коэффициента. С помощью аналогичного способа легко показать, что при 1' ( 1 в результате переброса производных с функции, характеризуемой индексом 1+ пг, на функцию с индексом 1' — гп интеграл (10.68) обратится в нуль. С помощью соотношения (!0.62) мы можем выражение для шаровой функции (!0.67) представить в виде где 1 при т~)0, а (10.67б) Заметим, что многие авторы вообще полагают коэффициент пт=1 ° В том случае, когда можно ограничиться нахождением шаровых функций, удовлетворяющих только условию ортонормированности (!0.68), оба решения являются совершенно равноправными, поскольку а' = 1.
Однако там, где необходимо использо. вать рекуррентные соотношения между шаровыми функциями с различными индексами т (см. ниже формулы (11.17), (11.18)), например, при нахождении правил отбора для ротатора (см. $11) или в релятивистской теории центральных сил (см. $19), следует брать значение для коэффициента а в виде (10.676). Наконец, найдем чегность шаровой функции, т. е.
ее поведение при инверсии пространства, сводящейся к изменению направления всех трех осей декартовых координат. Тогда ф-Рп+ф, 0-Рп — Ф или созб — Р-созб. Как видно из формулы (10.61), в этом случае РТ(х) — Р7( — х)=( — 1)'+ Р)Р(х), е1» Р еОРРеь™ ( 1) е~ Поэтому шаровая функция при инверсии пространства будет преобразовываться по закону У1"(0, ф)= — С1"Р1" (х)е'~-+( — 1)'ГГ(6, ф). ч7Б Отсюда видно, что орбитальное кван Новое число 1 характеризует четность шаровой функции.
При четных ! шаровая функция будет четной (при инверсии пространства она не изменяет своего НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !ч. т знака), а при нечетных ! — нечетной (при инверсии простран- ства она изменяет свой знак на противоположный). в) Физический смысл квантовых чисел т и !. Момент количества движения. Выше мы нашли, что квантовое число ! характеризует собственное значение А = !(! + 1) оператора — 22В2 (см.
(10.22) и (10.51)), входящего в квантовое операторное выражение функции Гамильтона (т. е. в гамильтониан): Л2д2 В272 Ь~Е2В Н = — 2 + У (г) = — 2 ' — ,' + )т(г). (10.69) Сравнивая последний гамильтониан с классической функцией Гамильтона !НЯР 2 2 2 Н = — + ! (К) = 2 + 2 2 + $ (т), 2та (10.70) где р, = о22г, а У. = тсгтф, мы видим, что оператору ( — Й 'Рв,ч) 2 2 в классическом случае соответствует квадрат момента количества движения ЕР, а оператору ( — Й27,') — квадрат радиального импульса р,'. Исследуем зто соответствие более подробно. Как известно из классической механики, момент количества движения 2, определяется формулой ~ ='!тр1 (10.71) Заметим, кстати, что если имеется момент М = !тг'! внешних сил Р, то изменение л.
Со временем будет происходить по закону — =М, ы (10.72) Этот результат известен в классической механике как закон сохранения момента количества движения и используется, в частности, в проблеме Кеплера как закон сохранения секториальной скорости. Чтобы обобщить классическое выражение момента количества движения на квантовый случай, мы должны в выражении (10.71) классический импульс р заменить оператором импульса р = —. 7. Тогда будем иметь Ь ! — Ю вЂ” — (2'Ч, В (10,73) причем в случае центральных сил (с' !! т) момент внешних сил М обращается в нуль, и мы имеем А, = СОПЗ!. $ 20! движн1ие а центрально симметричном пола 19! ил и 1-х = УР* гр»2 Ьу=гр, — хр„ (10.74) 1., = хру — ур,.
Прежде всего заметим, что операторы компонент момента количества движения 1„Ьу и 1, не коммутируют между собой. В самом деле, определяя, например, перестаиовочные соотношения между 1., и 1.», находим 1.,1.» — 1.»1.„= (ур, — гр ) (гр„— хр,) — (гр„— хр,) (ур, — гру). Пользуясь далее перестановочными соотношениями между импульсом и соответствующей координатой (см.
(6.30а)), нахо- дим 1.„).у — 1»1., = — И (ур„— хру) = И1, Аналогично можно показать, что (10.75) 1у1 1 1 у И1 1.,1.„— 1.„1., = !81у. (10.76) Чтобы выразить в сферических координатах оператор квадрата момента количества движения =1»+1»+1», (10.77) вычислим сначала в сферических координатах составляющие 1., 1у и 1,. Принимая во внимание соотношения (10.1) между декартовыми и сферическими координатами, имеем д29 д29 дх д29 ду дф д» дд дх де+ ду де+ дг дд = г соз 0 сов ф — + гсов 0 в!п ф — — г в(п 0 — = д2у дф . д29 дх ду дг = — — + — — — р —, (10.78) хг д29 уг д29 дф р дх р ду дг ' г — — х — = сов ф — — з!и фс!дб —.
(10.80) д29 д29 дф . д29 дх дг дд дф дф д29 дх дф ду д29 дг дф дх д92 ду дф дг дф = — г в(п 0 з!п ф — + г в|п 0 сов ф — = — у — + х —. (10.79) дф . д29 д29 д29 дх ду дх ду ' Умножая (10.78) на —, а (10.79) на ( — У ) и учитывая, что р рз ) ру=х'+ у', после сложения этих двух равенств придем к со- отношению 1ч т иеявлятивистскля квлитовля механика 199 Если же равенства (10.78) и (10.79) умножить соответственно на ( — — ~ и ~ — —,), то аналогичным способом получим Р Р~ у — — г — = — [вшф — +совфс1кб — ). (10.81) д$ дч 1 .
дф дф 1 дл до ! да аф 3' Отсюда, учитывая равенства (!0.79) и (10.74), находим, что 1. = — — ~ в!и ф — + совфс1пб — ~, (10.82) Пт . д д 1 до аф)' 1.„= —.1 сов ф — — в!п ф с!пб— а г д д (10.83) э;~ до дф 1. = —.—. й д (10.84) ю' дф' Вводя переменную (т = сов О, выражения (10.82) и (10.83) можно представить в виде ' (1 " — -т- тЛ вЂ” рэ а ~. (10.88) т ч/! — Р ар аиУ Чтобы определить действие этих операторов на шаровые функции, воспользуемся тем обстоятельством, что одну и ту же шаровую функцию можно представить двояким образом: либо в виде (10.67а), либо в виде У~ =( — 1) т l — РГ (совб)е~ е. (10,86) Ч 4и (1 — тп)1 Действуя оператором 1., непосредственно на шаровую функцию, находим (.э Ую" = йптут . (10.87) !~и - т е е! 1(1 - рт) а), ' ') др е) В этом равенстве следует положить ~1ем 1(И) = (Иэ - 1)'.
1 !ем (1О.аа) Отсюда следует, что квантовое число т характеризует проекцию момента количества движения на ось г. При определении же действия оператора Еэ+ (Ьэ на шаровую функцию подставим вместо УГ ее выражение (10.67), а при действии оператора 1., — Л.э — эквивалентное выражение (!0.86). Тогда из равенства ее'е(( 1' — -т- 1/1 — (эт — ~е' е(1 — (эт)~ л)'()э) = Ч/1 — Рэ дф диl з ю] движяння в цянтялльно.снммятрнчном поля 193 следует, что (1- ~Л.л)У1'= — й (1+ ! ~т)(|~т) УГ~'. (10.89) С помощью последних соотношений находим 1. Уг =) 9 (1- +'1н) (1.
— г(.з)+ + 9 (1 к Л з)(1 в + Л з) + 1 в~ 1 ! 6~7о~ рУГ = йз| (| + 1) Уг (10 90) Отсюда видно, что Ус является собственной функцией операторов 1, и 1.з. Это возможно, так как операторы 1., и ).з коммутируют друг с другом, а также с гамильтонианом Н. Поскольку же операторы 1., и 1.з не коммутнруют с 1,, то поэтому нельзя подобрать такую волновую функцию, которая являлась бы собственной функцией как оператора Ь„так и операторов 1., или 1.з. Это, однако, не означает, что произвольное направление г является каким-то преимушественным.
Можно записать шаровую функцию таким обэвазом, что она будет собственной функцией операторов 1., и 1.. Тогда она не будет собственной функцией оператора 1., (см. ниже (11.38)). г) Анализ полученных результатов. Как видно из формул (10.90) и (10.87), для квадрата момента количества движения и его проекции на ось г имеем соответственно значения т'.з=ЬЧ(1+1), |=О, 1,2,3, ..., (10.91) Ь,=йт, — |<т<|. (!0.92) Отсюда видно, что |.з при | = 0 обращается в нуль, в то время как по классической теории эта величина не может вообще обращаться в нуль *).
Таким образом, состояние с | = 0 не имеет классического аналога. Из |.з = О, в частности, следует, что механический момент атома, находящегося в наинизшем состоянии, обращается в нуль. Экспериментальные данные из области спектроскопии атомов целиком подтверждают этот квантовомеханнческий результат. Далее, по классической теории следовало бы ожидать, что а =|авакс — са | с (!0.93) в то время как по квантовой теории т" .= 6~1' + й~! = т".,„,„, + Ь'1.
(10.94) *) Обращение в нуль классического момента а. (гр) означало бы одно из двух: либо скорость равна нулю (р = 0), либо происходит движение че. рез пентр. Этн особые случаи мы здесь не рассматриваем. Ч А. А. Соколов в лр. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1Ч. Г 194 Появление дополнительного орбитального момента ВЯ( связано с некоммутативностью операторов проекции момента 1,„ 1.„ и 1., друг с другом, вследствие чего их все одновременно невозможно задать точно. Действительно, когда 1., = 1., „, = А(, средние значения проекций (Ь„) и ((,е) равны нулю, в то же время квадратичные отклонения ((ЛЬ,)з) =(Ь,) и ((ЛЬЕ)Я) =(1.„) не обращаются.в нуль и принимают некоторое минимальное значение, в связи с чем (Ь ) =Уамвкс+ ((ЛЬх) )~цн+ ((Л1у) )„„„. (10 95) Минимальное значение ((ЛА„)э) и ((Л1.я)') может быть получено с помощью соотношения неопределенностей (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
