Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(6.32)): (( х) )мим (( ф) )мин 4 ! 1 х1 я 1"э~ х Р й 11. РЕШЕНИЕ ЛРОСТЕИШИХ ЗАДАЧ В СФЕР ИЧ ЕСК ИХ КООРДИ НАТАХ а) Ротатор. Ротатор представляет собою частицу, свободно движущуюся по сфере заданного радиуса т = а = сопз1. Задача о ротаторе является частным случаем движения под действием центральных сил, когда потенциальная энергия постоянна.
Не нарушая общности, эту постоянную величину мы можем положить равной нулю 1'(а) = О. Поскольку задача о ротаторе является задачей на центральные силы, угловая часть описывается шаровыми функциями, а для определения радиальной функции согласно (10.21) имеем д2)~( )+ [ЕЯЧЕ 1(1+ 1) 1,Х( ) (1 !.1) В силу симметрии задачи относительно осей х и у можно положить (И,,)„„„=(И.„)„„„, откуда получаем (Ых).,=ЬФ,.=А'-,' ' (10.97) сумма же (ЛЬ„) „„и (ЬЕЯ)„„„как раз и равна дополнительному моменту АЧ. В результате приходим к соотношению (10.94). Таким образом, природа этого дополнительного члена та же.
что и природа нулевой энергии гармонического осцнллятора, т.е. связана с соотношением неопределенностей. Э 1П ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРЛИИАТАХ !95 Здесь мы положили потенциальную энергию равной нулю и подставили согласно (10.51) )ь = 1(1 + 1). Поскольку для ротатора г = а = сопз1, то функция )т (г) = )1(а) = сопз1, т.
е. Ч~Д(а) = О. Отсюда для энергии Е~ найдем значение Е ""(1+ ') В'11+ В Телье' зт' где 7 = тсаэ — момент инерции. Модель ротатора, в частности, с успехом используется для описания движения двухатомных молекул е), а также для описания вращательного движения ядер. Согласно (11.2) энергия ротатора Е~ зависит от орбитального квантового числа 1, магнитное же квантовое число, характеризующее проекцию момента 1. на ось г (т. е.
ориентацию момента в пространстве), в выражение для Е~ не входит. Однако соответствуюшие собственному значению Е~ собственные функции У1 (см. (10.67)) зависят еше и от тп. Поскольку лт может изменяться от — 1 до +1 (см. (10.64)), каждому значению энергии Е~ будет соответствовать (21+ 1) взаимно ортогональных собственных функций, описывающих состояния ротатора„отличаюшиеся лишь ориентацией момента Ь относительно оси г. В этом случае говорят.
что уровень энергии Е~ является (21 + !)-кратно вырожденным. При 1= 0 мы имеем однократно вырожденный уровень, который называют просто невырождемныле, Напомним, что данный уровень называют г)-кратно вырожденным, если одному и тому же собственному значению энергии соответствует )т' линейно независимых собственных функций. Вырождение энергетических уровней ротатора физически связано с тем обстоятельством, что ротатор представляет собой систему, обладаюшую центральной симметрией, вследствие которой все цаправления, проходяшие через начало координат, оказываются равноценными. Из этих же соображений следует, что это вырождение должно иметь место для любых центрально-симметричных систем. Если же сушествует какое-то выделенное направление, определяемое, например, направлением магнитного поля, то центральная симметрия нарушается и возможные направления для момента Ь становятся уже неравнозначными, благодаря чему вырождение либо снимается полностью, либо кратность его уменьшается.
*) В этом случае момент инерции следует положить равным У-т,+меда, где пн и ше — массы атОМОВ, а Й и гт — нх расстояния до центра инерции. 1зв НЕРВЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА В р-состоянии ! = 1, а квантовое число л2 может принимать три значения: — 1, О, +1. Следовательно, собственному значению энергии Е1 = 32/7' соответствуют три собственные функции: У~ = — ~/8, е з(пб, (1 1.5) У~~= ~у — сов б, l 8 У~ = л ~ — еРР з(п Ь. Ч 8к (!1.7) (1 1.6) Плотности вероятности определяются при этом формулами 8 !У~1! = — „соз2 Ф.
(1 1.9) Величина ! Ус ! з!п ЬНОИф представляет собой .вероятность обнаружить частицу на сфере постоянного радиуса в области углов ф и ф + с(ф, О и О + дб. Поскольку квадрат модуля ~У~2~ не зависит от угла ф, вероятность обнаружить частицу в одном и том же интервале углов дф становится одинаковой.
В силу этого произведение ~У'"~22п з(п Ос~О соответствует плотности вероятности обнаружить частицу между углами О и О+ Ю. Графически распределения плотности вероятности (11.4), (11.8) и (11.9) представлены на рис. 11.1, причем, учитывая нети зависимость модуля ~У2 ! от угла ф, изображение дано только в плоскости уг. Состояние, соответствующее 1=0, называют з-состоянием, состояние с 1= ! называют р-состоянием.
Для с(-состояния 1=2. Для 1-состояния 1= 3. Для й'-состояния 1 = 4 и т. д. Рассмотрим более подробно з- и р-состояння ротатора. Поскольку в з-состоянии 1 = л2 = О, согласно (10.67) собственная функция Уо, соответствующая нулевому собственному значению энергии Е — — О, будет равна Уо== А/4й (11.3) Отсюда для плотности вероятности ~У22~' найаем 1 У3~'= —,'„.
(11.4) и !П ПРОСТБНШИВ ЗАДАЧИ В СФРРИЧЕСКИХ НООРПИНАТАХ 197 Чтобы получить полную картину, график нужно вращать вокруг оси г. Как видно из (11.4) и рис. 11.1, а, направление момента А относительно оси г для ротатора в з-состоянии не зависит от угла 6. Это и понятно, так как момент А',л = Ьа!(!+ 1) в этом случае равен нулю. Покоящаяся же материальная точка в) а! Рис. и.1. Расирелеленне алотиоети аероатности лли ротатора.
может с равной вероятностью находиться в любом месте сферической поверхности радиуса а, т. е. все положения ротатора возможны и равноправны. Классического аналога з-состояние не имеет. Из (11.8) и рис. 1!.1, б следует, что наиболее вероятной из всех траекторий ротатора в р-состоянии с ! = ! и т = ~-1 является та, которая расположена в плоскости (ху), причем состояния с и! = 1 и с т = — 1 отличаются одно от другого направлением оси вращения: при т = ! ротатор обладает правым вращением (момент количества движения л, параллелен оси г), а при т = — 1 — левым (момент Ь антипараллелен оси г). При ! = 1 и т = О наиболее вероятной орбитой ротатора является та орбита, которая лежит в плоскости, проходящей через ось г (см.
(1!.9) и рис. 11.1, в). При этом момент направлен перпендикулярно оси г. Аналогичным способом легко исследовать состояния с ! = 2 (пять значений и = О, ~1, ~2), с ! = 3 и т. д. б) Правила отбора. Для того чтобы найти правила отбора, необходимо вычислить матричные элементы (!'пт'1г 1! лр) = $ (Уг')' РУ! д(!.
(1!.10) НЕРЕЛЯТИВИГТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1ч. 1 19В Если при каком-либо изменении квантовых чисел матричный элемент равен нулю, то такие переходы запрещены (излучения не будет) *). Зная правила отбора, можно сразу найти как частоту, так и интенсивность излучения (см. (9.8б)). Введем в (11.10) вместо координат х, у и г (т. е. вместо г) следующие переменные: (11.11) (1 1.12) (11.13) г=асозб, х + ту = а я и бе "г, х — 1у = а яп Ье 'е.
(!'лз' ! г ! 1гп) = ~> (Уг' ) соз фуг с(11, (1'гн' ! х + !у ! 1пз) = ф (Уе ) яп бе'еУГ НЯ, (1'лг' |х — !у ! 1лг) = ф (Уг ) яп бе геугы сИ, (11.14) (11.15) (11.16) где ради простоты мы положили а = 1. Учитывая рекуррентпые соотношения между шаровыми функциями соз ЬУГ = АУГ+~ + Вуг-н (11.17) В!п Юе 'еУГ = АеУ~Д'+ Вел|~', (11.18) а также условие ортоиормированиостн для шаровых функций (!0.68), имеем (1'гп ! г ! 1гл) = бмчн(Абг', г ы + Вбе, г-Д, (11.19) (! пг' ! х + 1у ! Йи) = — Ь„...„+, (А+бе .+, + В„ЬВ 1,), (! ! 20) (1'лч'!» — 1У!1аг)=6 в я-1(АЛ г+~+В-бг г-~) (11.21) Примечание.
Козффнпненты А н В могут быть найдены сравнительно просто. Для этого в формулу (!1.17) следует подставить разложении ') Точнее, для запрещенных переходов возможно менее вероятное мультипольное (например, квадрупольное) излучевне (см. $9). С физической точки зрения это эквивалентно разложению движения ротатора на три части; на колебание вдоль оси г, описываемое составляющей г, а также на лежащие в плоскости ху правое и левое вращения, характеризуемые соответственно составляющими х+ гу и х — гу; при этом в совокупности все три составля~ошие должны описывать полное движение материальной точки по сфере.
Определение правил отбора в новых переменных сведется к вычислению следующих матричных элементов: 9!Я пРОстейшие зАдачи е сФеРических координатах 199 (10.67), полоькив в них т (2!)! (1 хз)™ы ( ь т (! — ьп)!! — ль — 1) ! т 2ьп (! — т)1 ( 2 (2! — 1) Тогда, сокращая все равенство на е э (1 — х ) и приравнивая в левых и гтэ ь зььн!а правых частях коэфициенты при х'- +ь и х'-" — ' (приравнивание коэффициентов при остальных степенях х ничего нового не дает), получаем А(1, т)= (11.17а) / (!+ т) (! — т) ч/ (2! + 1)(2! — 1) Аналогичным путем находим (1!.18з) Из этих формул лепте найти численные значения для отличных от нуля мат- ричных элементов (а = !) (1!.19а) (11.20а) причем в последних двух равенствах мы должны всьоду взять или только верхние, или только нижние знаки. Отсюда получаем следующие правила отбора: а) соответствующие колебаниям вдоль оси г Лиг = пт — пз' = О, Л( = ! — !' = ~ 1; (11.22) б) соответствующие правому вращению (к+ (у) Ллт= — 1, Л!= ~ 1; (11,23) в) соответствующие левому вращению (х — (у) Лгп = + 1, Л! = ~ 1.
(11. 24) Таким образом, разрешенными будут только те переходы, для которых изменения магнитного квантового числа гп и орби- А (1,т) В (1, т) / (!+1)' — т' '7 (2! + 3)(2! + !) !ь — ьп' 1 ' ) ь") = ''1/ (2! + !) (2! — И / (! + 2 ~ т) (!+ 1 ~ т) Ч (2! + 3) (2! + 1) /(! ~ ль) (! — ! ~ т) ч/ (2! + 1) (2! — 1) аоо нвгелятивистскхя квхнтовля мвххникх тального квантового числа ! равны (11.25) (11.26) Заметим, что эти же правила отбора для квантовых чисел и и ! имеют место для любых центрально-симметричных систем и, в частности, для атома водорода. Зная правила отбора, найдем для ротатора возможные частоты излучения (или поглощения) Е~ — Ес «ьк — — 2пт, = и' я (11.27) Подставляя сюда выражение для энергии Ею (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
