Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Следовательно, уровни энергии, согласно волновой теории Шредингера, оказываются вырожденными. Поскольку т изменяется в пределах от — 1 до +1, принимая 21+ 1 значение, то полная кратность вырождения с учетом изменения 1 от О до и — 1 будет равна а-! (21+ 1) пг г) Исследование вырождения по 1 для кулоновского поля. С точки зрения формального математического аппарата вырождение по 1 связано с наличием в случае кулоновского поля еще одного оператора е, мы назовем его вектором эксцгнтриситета, который является ннтегралом движения и который не коммутирует с оператором !.э.
В классическом приближении этот вектор имеет вид (12.42) е=е, +еэ, где 1 т е, = —,[Ьр], е = —, д.=[гр]. ~еоыо (12.43) е) В частности, как мы увидим в дальнейшем, даже в атоме водорода учет релятивистских эффектов, объема ядра нли так называемых вакуумных поправок снимает вырождение по 1. Аналогично в спектре щелочных металлов, имеющих на последнем слое один электрон, воздействие электронов, находящихся во внутренник слоях, снимает вырождение по 1. Как мы видели в 5!1, вырождение по т характерно для любого центрального силового поля и связано с равноправностью всевозможных направлений, проходящих через начало координат.
Вырождение же по орбитальному квантовому числу 1 имеет место в теории Шредингера только в случае чисто кулоновского взаимодействия. В других же центрально-симметричных системах вырождение по 1 отсутствует, т. е. уровень энергии с заданным значением п расщепляется на п подуровней, отвечающих различным 1*). Если же система находится еще и в некотором внешнем поле (например, в магнитном), снимающем центральную симметрию, то исчезает вырождение и по т, т.
е. энергетический уровень будет состоять в этом случае из ва различных подуровней. 219 ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОВИОГО АТОМА е !21 Принимая во внимание, что в классическом случае ~ео А=О, р=п4ов= — —,г, Г (12.44) получаем 2 [ Р) 3, !хг! ~й Хе,'040 04 гз ' (12.45) Точно так же Лео гг' — г р)г! (1.г! (12.45а) Е1 го гео! ! Отсюда находим закон сохранения для вектора эксцентриситета ее Ле, Ле, — = — + — = О. ой л! оп Для выяснения физического смысла вектора е умножим равенство (12.42) скалярно на вектор г и, учитывая (12.43), будем иметь 1 2 (ге) = — —, + г. ~ооо40 Отсюда находим то Х оео 2 Г— (12.46) 1 — !е!005!Р т. е. Модуль вектора !е! = е играет роль эксцентриситета, а сам вектор направлен от фокуса по большой оси к наиболее удаленной точке эллиптической траектории. Абсолютную величину эксцентриситета нетрудно найти, возводя равенство (12.42) в квадрат: Хее4о040 [ 2и40 г ~ 22е04040 или 20 Е (! 2А7) е=е,+е, (12.48) где в, = г ([!.Р) — !РЦ), е = — '.
! 2ееее40 Г (12.49) т.е. при Е ( О мы будем иметь эллиптические орбиты (е (!)„ при Е ) Π— гиперболические (е ) !), а при Е = Π— параболические (е = 1). Квантовое обобщение вектора эксцентриситета е мы выберем в виде оператора !ч. г 220 неяелятивигтгкея квонтовоя мвхонико Покажем, что в кулоновском поле, когда гамнльтониан имеет вид р Яео~ Н= — — —. (12.50) 2то оператор вектора зксцентриситета е сохраняется.
В самом деле, учитывая изменение квантовых величин — = — „(Н) — ЬН) = О, ер ! ( 2ео Еео о яеог 2 2 о —,= — (Нр — рН) = — (р — — — р)=, (12.51) и! в для которых имеют место по существу классические законы (см. (12.44)), мы найдем Раскрывая последнее выражение, получаем Фе, 1 /1 г Й гх — -- — '- р--(гр)---'. е! г' ) ' (12.52) Точно так же находим о!ео ! / г г Х ! / р' о г ро Х вЂ” = — ~Н вЂ” — — Н) = — ~ — — — — — ), (12.53) и! Й~ г г ) Ь~ято г гхто)' или Однако оператор эксцентрнситета не коммутирует с квадратом орбитального момента.
Действительно, взяв проекцию етого оператора на ось а е,=, (1. р„— 1.ер„— р„1.е+ р„1.„)+ —, (12.56) нетрудно получить следующие правила коммутации: Ь 1.„е, — е,1.„= —. е„, в 1.е — е1. = — — е ее е е ! ею (! 2.57) (12.58) (12.59) Ь,е,— е,1.,=0. еео 1 1 г й гх — = — '- р- — (гр) ---'. и! то (,г го „3 ) ° (12.54) Из (12.52) и (12.54) следует квантовый закон сохранения для оператора е: (12.55) ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА Отсюда, в частности, следует, что оператор е„хотя и коммутирует с гамильтонианом Н и проекцией момента ).я, но он не коммутирует с оператором 1.2: 1. е, — е,).
= — —,([еЦ,+ —.з,) „ (12.60) что автоматически ведет к вырождению по 1, являю!цемуся специфической особенностью лишь для кулоновского поля, поскольку для других центральных сил мы не можем ввести сохраняющийся оператор е. Заметим, что проблему Кеплера наряду со сферическими координатами, когда сохраняются операторы Н, 1.2, 1., (квантовые числа и, 1, ги), мы можем решать также в параболических координатах, когда сохраняются операторы Н, е„(., (квантовые числа и, Х, ги) (см. 5 13, п. а)). Физически это означает, что при одной и той же энергии воз. можны различные орбиты, отличающиеся друг от друга различными значениями эксцентриситета е.
Для определения эксцентриситета возведем равенство (12.46) в квадрат. Тогда мы будем иметь *) е2=1+, (1.2+ йа) Н, хвевто (12.61) где Н вЂ” гамильтониан системы (см. (12.50)). Учитывая, что для водородоподобного атома собственные значения операторов Н и 12 соответственно равны 22еЯ (12.62) мы найдем (! 2.63) (12.64) и при классическом сопоставлении соответствует круговым орбитам. В частности, при и = 1 (наинизшее энергетическое состояние) эксцентриситет е обращается в нуль (е = О). Посколь- Я) Для того чтобы доказать соотношение (12.61), мы можем оператор (12.48) представить в виде 2 (11 р) р)+ ! Хез~ояо г' Отсюда видно, что эксцентриситет достигает минимального зна- чения при 1 = и — 1 нвпелитивистскля квантовая механика !ч.
г ку в этом случае орбитальный магнитный момент не имеет преимущественного направления (заметим, что в з-состоянии 1= т = О), поэтому мы по существу будем иметь равновероятное пребывание электрона на сфере. Для всех других состояний (и = 2, 3, 4, ...) минимальное значение для и будет отлично от нуля при 1= и — 1 = 1, 2, 3, ... В этом случае мы будем иметь преимущественную ориентацию орбиты внутри некоторого телесного угла, характеризуемого квантовым числом т. д) Правила отбора.
Спектр излучения водорадоподобных атомов. Чтобы определить правила отбора в проблеме Кеплера, необходимо вычислить матричные элементы (пП'т' ! г ! п1т) = ~ ф'„г,гз)!„! с(зх. (12.65) Подставляя сюда ф„! = У',"Р„„получаем (и'1'т'! и ) п(т) = ~ (И (Уг') — У! ~ й„,! г Р„! с(г. (12.66) о Интегрирование по углам б и !р дает, как известно (см. (11.24)— (11.26)), правила отбора для орбитального квантового числа Гз) = 1 — 1'= =Е1 и магнитного квантового числа ат=гп — т'= = О, ~1, пользуясь которыми, вместо (12.66) будем иметь (п'1т'!и!п1т)=сопи!1 " уйг, !„, ~А'„,!е!г%,ыг(г. (1267) Ф. б!ьт !ие! я Однако если вычислить интеграл (к =п,) ФО аг !'1 ! о о (12.68) то легко показать, что он не обращается в нуль ни при каких значениях и', т.
е. для всех разрешенных переходов главное квантовое число может изменяться произвольно. В общем случае этот интеграл выражается через гипергеометрические фуикпии (см., например, бете Г. Квантовая механика простейших систем.— Л, — М,; ОНТИ, !935, с. 230). В частности, при переходе электрода иа иаинизший эиергетический уровень 1з (серия Лаймаиа) легко показать, что 2зпг (и — !)зи гзд!едэ! Вг з о о (12.69) (и+ !)за+о о Отсюда видно, что при любых возможных значениях и = 2, 3, 4, ... этот ии- теграл отличен от нуля.
теория водородоподовного дтомд Принимая во внимание правила отбора водородоподобного атома, перейдем к исследованию его спектра излучения. Для этого введем некоторые условные символы для обозначения энергетических уровней в атоме. Прежде всего спектральные ЕэЕ Я уды. 'уэ а И з1=(ф~фа1= р )=(ед)=— Р 4 термы атомов ( — Елг)га), зависящие в общем случае не только от и, но и от 1, будем обозначать через (п1), т. е. ( — — „" ) =(п1), (!2.70) где и = 1, 2, 3, ..., а для 1, как уже указывалось в $ ! 1, приняты буквенные обозначения: з, р, д, 1, д, Ь, ..., соответствующие 1=0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Поскольку квантовые числа 1( и — 1, то могут быть только термы !з; 2э, 2р; Зз, Зр, Зг(; 4з, 4р, 4г(, 41'; 5з, 5р, 5г1, 51, бд, ...
и т. д., но не может быть, например, терма !р, поскольку здесь и = 1 и 1= 1, или ие может быть терма 31, так как при этом а =1= 3 и т. д. Частота излучении в обозначениях (п1) принимает вид Ел — Е„, эуло = " = (л'1') — (п1)т Рнс. 12.а Снентральные серии атома водорода, длины воли. соответствумжае ухаааииым оереходам, выражены в ангстремах. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (ч. 1 причем здесь необходимо учитывать правила отбора для орбитального квантового числа 1: 1' = 1 ~ 1. Пользуясь выражением (12.41), терм (п1) можно еще представить в форме слово и )(х (п() = — — =— 2ва лт лв (12.72) где постоянная Ридберга слово е )7 =— 2вт ° (12.73) Для частоты излучения а ° при этом получаем формулу / 1 1 (12.74) что в случае атома водорода (3 = 1) для серии Лаймана, соответствующей переходу на наинизший энергетический уровень и' = 1, т.
е. на уровень 1з, имеем (рис. 12.3) Отсюда видно алавм = (1 1 л = (1.) — (пр) =)7 ( — — — ), ь 1в лт,р' (12.73) ф„н„~~ Рис. 1Я.Я. Спектральная серия Вальмера. Длины волн, соответствующие вмдвмым линиям Ли, Н, Н и НО, приведены н аясстремвк (АВ и дает тесретивескее палаыенве траняцы серии. гдеп=2,3,4,...
Для серии Бальмера (рис. 12.4), соответствующей переходу на уровень и' = 2 с уровней п ) 2, имеем три типа возможных частот *): ав„ьм = (2З) — (ПР) а",„„„= (2 р) — (лз), а",'„м = (2р) — (Ы). (12.76) ') Для вероятности дипольного перехода лр-ь1л согласно (9.95) имеем / е' 1о гл е' 2а л(л — 1)тв ' Аю= 2'~ — ~ ~ са ! 25 9 (л -1- 1)за+о т. е.
время жизни для атома водорода (Х 1) в состоянии 2р равно т — им 1,5 1О с. 1 Авс ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБЫОГО АТОМА Так как для атома водорода по орбитальному квантовому числу имеет место вырождение, то эти три линии сольются в одну: Т 1 ! Мвллл" и 1, 22 п~ ) ' Аналогичная картина получается и для серии Пашена! 1Внлш=ТС11 ~и,л)~ где и = 4, 5, 6,... Схема энергетических уровней в атоме водорода (с учетом как дискретных уровней, так и непрерывного спектра) представлена на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
