Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 37
Текст из файла (страница 37)
12.3. На этой схеме наглядно демонстрируется вырождение по 1, проявляющееся в слиянии всех уровней с одинаковым п в один. Помимо обычных переходов, между дискретными уровнями в атоме возможны по существу еще два обратных друг другу процесса, а именно процессы ионизацнн и захвата. При ионизации электрон переходит с дискретного уровня (Е = 0), например, из низшего состояния, в область положительных энергий (Е ) 0), образующих непрерывный спектр (гиперболические орбиты). Этот процесс происходит с погло1цением энергии. Наоборот, при захвате свободный электрон переходит на один из возможных дискретных уровней, выделяя при этом соответствующую энергию. Для того чтобы перевести электрон из низшего энергетического состояния (п = 1) в область Е ) О, необходимо затратить энергию (рис.
12.3) Е "=Т вЂ” Е,=Уй+ Т, тлРЛ где Т= — — кинетическая энергия электрона, практически 2 не связанного с ядром. Энергия Е"'" определяет так называемую энергию иопизации атома. Своего минимального значения энергия ионизации достигает при Т = О, что соответствует переводу электрона с уровня и = 1 в состояние непрерывного спектра с минимальной энергией (Е = 0), когда электрон может покинуть атом. Для атома водорода Е",'„"„= РД = а = 13,5 эВ.
2ао е) Учет движения ядра. До сих пор все наши расчеты производились без учета движения ядра. Поэтому построенная выше теория водородоподобного атома будет строгой лишь в случае, когда масса ядра бесконечно большая, что, вообще говоря, в особенности для легких элементов (например, для водорода и гелия) можно принять лишь в первом приближении. 8 А.
А. Слкллов л ЛР. !ч. ! нерелятивистскАя квхнтовАя мгхАникА Учет движения ядра привел к объяснению ряда экспериментальных фактов. С учетом движения ядра оператор Гамильтона системы двух тел — ядра и электрона — записывается в виде Н = — р', + — ам ра + р' (1 г, — г, 1), ! ! (12.77) где лта н М являются соответственно массами электрона и ядра, а г! и га — их координатами. Энергия взаимодействия электрона с ядром р'(!г! — га!) зависит от относительного радиус-вектора к=к! Км Введем вектор центра масс системы маг~ + А!га аяа+ М и пеРейдем от пеРеменных г!, гь Р! = — !Ьча, Р, = — !дауа к новым координатам г, )А и импульсам р = — !йр'„рч,„. = — !йЧА.
Для этого необходимо воспользоваться известным правилом дифференцирования сложной функции, например д дг д!! — ф = — !74>+ —,аРлар дх1 дх1 а дх~ и т. д. В новых координатах уравнение Шредингера теперь примет вид ( ра+ ра + У(г) — Е) ау=О, (12.78) где приведенная л!асса определяется равенством ! ! ! мр та+М т. е. (12.79) Волновая функция ар, удовлетворяющая уравнению (12.78), может быть записана в виде произведения а)а=ар(г)ар(М), где Ча(ас) описывает свободное движение центра масс ар()с) =сонэ(е"' ( ~ +У(г) — Е)ф(г)=0. (! 2.80) Предполагая, что центр масс покоится, т.е.
соответствующий импульс р,, = О, для функции„описывающей относительное движение Ча(г), находим уравнение $121 ТЕОРИЯ ВОДОРОЛОПОДОВНОГО АТОМА 227 Это уравнение отличается от соответствующего уравнения для атома водорода тем, что вместо массы покоя электрона п22 сле- ДУЕТ ВЗЯТЬ ПРИВЕДЕННУЮ МаССУ Имг. Поэтому для спектральных уровней мы получим то же самое выражение, что и для покоящегося ядра с заменой постоянной 4во~о Ридберга 14=14 = —, для бесконечной массы ядра (М-х ОО) постоянной Ридберга, соответствующей конечной массе ядра М, 4 (12.81) В этом случае несколько изменяются и значения для термов: (а1) г'А'- (1 Ф) (12.82) Поэтому частота излучения будет определяться выражением (12.83) отличающимся от прежнего (см.
(12.74)) наличием множителя (1- — ") В силу зависимости частоты излучения атомов от массы ядра М определение атомного веса можно производить не только обычными химическими, но и спектроскопическими методами. Благодаря этому удалось, в частности, доказать существование тяжелого водорода, ионизованных атомов гелия и т. д. Как известно, атомный вес водорода был определен в среднем относительно кислорода на основании химических исследований.
Для каждого же атома в отдельности атомный вес был найден с помощью масс-спектрографа. При этом были получены несколько отличающиеся значения 100% см 0,014594. (12.84) Мхнм На основании этого Берджем и Ментцелем было выдвинуто предположение о существовании изотопа водорода — дейтерия Р=,Н (или тяжелого водорода), имеющего атомный вес, в два 2 раза больший, чем у обычного водорода.
В самом деле, при определении атомного веса естественной смеси водорода вклад должен внести и дейтерий; в масс-спектрографе же измеряется 1 лишь атомный вес ~Н поскольку спектральные линии атомов 4Н ложатся в другом месте шкалы. Так же как и водород, дейтерий может вступить в реакцию, образуя, например,так называемую тяжелую воду ПЯО.Впервые НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 928 [ч. т тяжелая вода была открыта Юри н Осборном в 1932 г. Основной метод получения дейтерия — это электролитическое разложение воды.
Скорость выделения обычного водорода на катоде значительно превосходит скорость выделения дейтерия, в результате чего происходит значительная концентрация дейтерия в остатке жидкого электролита, где он может быть обнаружен. Ввиду же малого количества тяжелого водорода в естественной воде обнаружить его там почти невозможно.
Наличие дейтерия подтверждается спектроскопическими исследованиями, показавшими, что в серии Бальмера (а' = 2) наряду с линиями оэвальм — )Р (1 ) ( ) (12.85) существуют линии (рис. 12.5), расположенные несколько правее и укладывающиеся в формулу *) [Оаальм — Р (1 1 )( [ [ ) (12.86) которую нетрудно получить из (12.83), если положить там массу М равной удвоенной массе ядра атома водорода и 2 = 1. Следует заметить, что ввиду большой относительной разницы в массах атома дейтерия и атома водорода они отличаются по своим физическим и химическим ~ лолпд~ и) свойствам гораздо сильнее, чем изотопы других элементов. Так, например, хотя тяжелая вода внешне и ', луейлгнтгнй[тн) похожа на обыкновенную воду, по физическим свойствам она отличается от обыкновенной. В частноТрнлтий(ан) сти, температуры плавления н кипения ее при 1 атм равны соответственно 3,81 'С и 101,4 'С.
Она имеет ббльшую вязкость и хуже растворяет соли, чем обычная вода. В связи с развитием ядерной физики тяжелая вода приобретает особое значение, так как она является хорошим замедлителем быстрых нейтронов, а также используется как источник получения дейтерия. В настоящее время известен еще один изотоп водорода— 3 тритий 1Н, ядро которого состоит из двух нейтронов н одного протона.
Его соединения с кислородом образуют так называемую тритиевую воду. В природной воде отношение числа атомов трития к числу атомов ,Н равно примерно 10-", в то время как 1 Рис. 1КЬ, Схема относительного расположения спектральнмк линна атома аолорола и его итотопоа. ") Согласно экспериментальным данным [7 =2нс ° [09737, ген=Яме'М 9410967а, Лр 2нс [09 707. 2 !21 твоги я водогодоподовного хтомх 229 отношение числа атомов ~Н к числу атомов водорода ~Н равно 2 1 1/6800.
Тритий в смеси с дейтерием является важнейшим веществом для осуществления термоядерных реакций. Спектральные линии атома трития несколько сдвинуты как относительно водородных, так и относительно дейтериевых линий (рис. 12.5) и находятся по формуле в "'"=/7 (1 — ! ) Ъ вЂ” — „'2 ). (12 87) Другим очень важным следствием учета движения ядра было открытие ионизованного атома гелия, обнаруженного впервые спектроскопическим способом на Солнце. При исследовании солнечного спектра была найдена серия линий, располагающихся по закону Ф2Л,= Ч( 2 2) ! ! в', (12.88) где и, принимает значения л1= /2 3, /м 4, /2 (12.89) 92не = 22ие 92 В 2 (12.91) гдеа=5,6,7,8, ...
Чтобы решить вопрос о том, обязана ли серия Пикеринга излучению атомов водорода (с предположением, что квантовые числа могут принимать полуцелые значения) илн излучению Эта серия представляла собой по существу водородную серию Бальмера (п~ = 3, 4, 5, ...) с рядом промежуточных линий, образующих серию, получившую название серии Пикеринга, хат 9 актеризующуюся полуцелыми квантовыми числами и, = 9/„ /2, 9/м ... Вначале для объяснения серии Пикеринга предполагали, что водород на Солнце находится в особом состоянии, так что квантовое число может принимать полуцелые значения. Однако в дальнейшем оказалось, что экспериментальные линии располагаются правее, нежели это следует из формулы (12.85). Поэтому выдвинутое предположение пришлось оставить.
Затем была предложена другая гипотеза, согласно которой обнаруженный спектр обязан своим происхождением однократно ионизованному атому гелия 2Не+ масса ядра которого М = 7360л29, заряд л =2, а частоты согласно (12.83) определяются выражением 1 1х 92не = 2 Рве~ (12.90) вл в2 Полагая здесь п'=4, приводим (12.90) к виду НЕЯЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !Ч. 1 2ЗО ионизованного атома гелия (с нормальным значением квантовых чисел), необходимо было найти экспериментальное значение постоянной Ридберга. В случае водорода В,=г (1 — —,',).
(12.92) Для атома гелия ( тзао )' (12.93) Тщательное изучение этого вопроса спектроскопистами подтвердило для постоянной Ридберга значение (12.93), и тем самым однозначно было доказано, что серия Пикеринга представляет собой спектр ионнзованного атома гелия. ж) Атом водорода в квазиклассическом приближении. В случае эллиптических орбит (Е ( 0) уравнение для радиальной функции атома водорода может быть записано в виде (см.
(12.4) ) ,1к +( '4+ к йки / 2В 1(1+!) х (12.94) где и = тй!, значения коэффициентов А и В определены формулой (12.5). Поскольку особенность уравнения (12.94) при г-+ О, 1(1+ !) определяемая членом,, лежит вблизи потенциального Г барьера, сшивание решений с помощью функции Эйри (см. $5) не может дать хорошего результата, так как в области г — ~0 нельзя перейти к асимптотике этой функции. Поэтому можно попытаться с помощью введения нового аргумента т = е" удалить эту особенность из точки г-к.О в точку х-~ — оо, Переходя к аргументу х с помощью замены т=ек и вводя новую волновую функцию и = екп)((х), приведем уравнение (12.94) к виду д х +е'"( — А+ 2Ве ' — (1+ !1,)те !"))(=О. (12.95) К этому уравнению применима аппроксимация ВКБ, и с помощью формулы (5.39) мы можем найти спектр собственных значений ~ е*( — А + 2Ве " — (1 + !1Я)В е !")" дх = и (и, + !1 ), (1295) к, где п, = О, 1, 2,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
