Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(!1.2)) и учитывая, что в данном случае момент инерции ротатора остается неизменным, формулу (11.27) мо/=4 жно привести к виду мп,— — — !1(!+ 1) — !'(!'+!)). (11.28) в Отсюда на основании (11.26) полу- чаем а "ьс-~= 7 ! (11.29) в..,. = — — (! + 1), (11.30) в ю м '-' Й> п и-м м причем частота ьи,, соответствует переходу с верхнего энергетического Рис.
и.2. спектр ротатора. уровня на нижний (т. е. сверху вниз), а еч,~+, наоборот, снизу вверх. Ротационные спектры встречаются, например, при исследовании спектра молекул. В случае, когда излучение молекулы обусловлено только ротациониыми переходами, его частота определяется выражением (11.29) . Из этой формулы видно, что чисто ротационный спектр представляет собой набор равноотстоящих (рис.
11.2) друг от друга линий. Эти линии расположены в далекой инфракрасной области (с длиной волны порядка 100 — 300 мкм), и поэтому их исследование сопряжено с рядом экспериментальных трудностей. Промер расстояния между спектральными линиями позволяет судить о моменте инерции молекулы. Чаще всего ротационный спектр наблюдается в виде полос, когда ои накладывается на вибрационный спектр молекулы нли даже на спектральные ли- З и1 пгоствишив злллчи в сфвгичвских коогдинлтхх 20! нии атомов. Более подробно мы разберем это в $26, специаль- но посвященном молекуле. в) Вырождение по магнитному квантовому числу. На примере ротатора рассмотрим еще вопрос о квантовом вырождении.
Полученные нами волновые функции ротатора, равные шаровым функциям У~, согласно (10.87) и (10.90) являются собственными для оператора Гамильтона Втв.р "те,ф 2гиоаа 2т а вместе с тем и для квадрата момента 1. = — й Че, ф и проека 2 т цин момента на ось г а д 1. = — —. вф Учитывая, что эти три оператора коммутируют между собой, мы можем написать НУ~ (О, ф) = — УГ(б ф)= ЕЛТ(Ь, ф), (11.31) 1.УГ(0, р)=Ь У)" (0, р). (11.32) Исходя из общего выражения для волновой функции в, ф(1)= ~' С~ УГе (11.33) (энергия зависит только от орбитального квантового числа 1), нетрудно показать, что средние значения рассматриваемых операторов не зависят от времени: (Н) = ф ф*(Г) Нф(1) дзк = ~Ч ЕсС~; тСс т, (11.34) (Е,) = ф $'(1) !.,~|э (1) сРх = ~~ ЙтСь„Сиь (1! .35) Это связано с тем обстоятельством, что временной множитель исчезает в силу ортогональности волновых функций.
Среднее значение любых других операторов, для которых УГ не является собственной функцией, как правило, должно зависеть от времени. Так, например, для среднего значения оператора координаты г, коммутирующего с 1.„но не коммутирующего с Н, мы получим с учетом соотношений (11.17) (а)=и 2 (ВС~-ь Сиае '"~ '-" +АС1+ь Сь е"~+' с), (11.36) иш НЕРЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МГХАННКА 1ч. ! 202 где коэффициенты А(1, и) и В(1, т) определены формулами (1!.17а). Рассмотрим теперь еще два оператора: 1, + 1Еа и 1, — (Ед, которые, наоборот, коммутируют с гамильтонианом Н, но не коммутируют с оператором ), На основании (10.89) для среднего значения этих операторов нетрудно получить выражение (Е„) ~г(Ек) = — ),6 Т/(! — 1:Ьт)((~т)Сг, е!Сг,„, (1!37) которое не зависит от времени, так как хотя среднее значение этих операторов пропорционально сумме квадратичных комбинаций амплитуд Сг, „я!Сьш относящихся к различным состояниям, но эти состояния обладают одним и тем же значением энергии, поскольку уровни являются вырожденными.
Очевидно, что если бы не было вырождения энергетических уровней, т. е. энергия зависела бы не только от 1, но и от магнитного квантового числа пз, то в полной аналогии с (11.36) средние значения операторов Ь, ~ !)ю для которых У! не является собственной, также были бы функциями времени *).
Таким образом, на осно-' ве анализа этого примера можно сделать общий вывод о том, что наличие двух и более операторов, коммутирующих с гамильтонианом Н, но не коммутирующих между собой, говорит о наличии вырождения квантовой системы. г) Свободное движение. Другим простейшим примером движения под действием центральных сил является случай свободного движения, когда потенциальную энергию можно вообще положить равной нулю ((г = О). Тогда решение можно искать в вийе плоской волны (см.
5 4), либо в виде сферической волны, поскольку случай т' = 0 можно отнести также и к сферическисимметричному. Прн решении задачи в сферических координатах для определения радиальной функции имеем уравнение (см. (!0.2!)) (1!.39) ф у — з)об соя ф= — (У! — У, ). / 3 1 4я ! (11.38) Хотя это решение удовлетворяет уравнению Шредингера, но при действии оператора Ь, оно не будет иметь собственного значения, поснольку решение (11.38) представляет собой линейную комбинацию решений, имеющих различные значения квантовых чисел ш.
') Мы можем подобрать решение, являющееся собственной функцией операторов Н и Ь. Например, полагая 1= 1 н Ь,ф = О, имеем $ сс1 пРОстейшие ЗАпАчи в соепических кООРдинАтАх Зса где й = ~/ А, '' > О, и = гас. Вводя новую функцию Х = т/г с(с = =, преобразуем (11.39) к виду Хм + 1 Х' + ()ст — ( +„,О 1 ) Х = О. (! 1.40) Отсюда следует, что общее решение волнового уравнения для свободной частицы в сферических координатах с заданной энергией может быть представлено в виде (см. (10.19)) ф(О, ср, г)=~~с ~ Сс Ус (О, ср)=Ус+э,(йг). (11.42) с-о --с Коэффициенты Сс могут быть найдены нз дополнительных условий, а функция ус" является шаровой функцией (см.
(19.67)). С помощью последней формулы мы сможем произвести разложение плоской волны гр = е'ь', которая также удовлетворяет уравнению Шредингера для свободного движения 7ечс+ мтчс = О, (11.43) по сферическим волнам. Представляя плоскую волну в виде ема емг еа о есдз (11.44) где у=йг, х = созб, мы должны для шаровой функции положить лс = О (поскольку ес"* не зависит от угла ср) н искать решение в виде разложения только по полиномам Лежандра О е'""= Х Вс(у) Р,(х). с-о (11.45) ') Решение (11.41) пря г-ьб имеет вид С1с-ч-гс. Функция Бесселя отри. нательного порядка — 11 + 'сэ) дает в нуле расходящийся результат / Нс г с и поэтому должна быть отброшена. Последнее уравнение представляет собой уравнение Бесселя полуцелого порядка ~(1+ с/э) от вещественного аргумента.
Учитывая, что волновая функция должна оставаться конечной в точке г- О, мы должны оставить в решении только функцию Бесселя положительного порядка. когда *) )71 — — =' Ус ь А (йг). гс (11.41) лссаг нвпвлчтивигтская квантовая маканина 294 Учитывая условие ортонормированности для полиномов Лежандра +! г/хР! (х) Ре (х) = 21 + 1 Ьп, 2 (11.46) -! которое легко получить из равенств (!0.67) и (10.68), полагая в последних и! = О, находим ! В, (у) = '/а(21+ 1) ~ е™хР! (х) е/х. -! (11.47) Подставляя сюда для полиномов Лежандра выуоажение (10.59) и перебрасывая Е раз производную с функции (х — !)' на функцию е'з', имеем ! В,(у) =,+ (21+ 1) !'у' ~ (1 — ха)'е'""!Ех.
(11А8) 2с+!Л ~ (1 — х') е~"з с(х = 1/и Е! ( — ) /!+!в (У), (11 49) — ! находим значение для коэффициента В! (у) = ~/ — (2Е + 1) !'Е!+ в (у). Отсюда искомое разложение плоской волны по сферическим волнам принимает вид е'а'"'о= — ) !'(2Е+1) + ' Р (созб).
(!1.50) Как известно, при г-ь оо мы можем воспользоваться асимп- тотическим выражением для функции Бесселя /„, (ь) ж,~/ / 2 в1п (хг — !/аиЕ) и (11.51) *) См., например: Кузьмин Р. О. Бесселевы функции. — 2-е пад. перераб. н дополи. — М. — Ла ОНТИ, 1936, с. 66, см.
также Бейтмеи Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — Ма Наука, 1974, т. П, с. 92. Далее, воспользовавшись известным из теории бесселевых функ- ций равенством ") $ ССС ПРОСТЕИПСИЕ ЗАПАЧИ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРПИССАТАХ 205 с о д) Асимптотическое решение и случае короткодействующих сил. В обшем виде уравнение Шредингера для любых центральных сил согласно (10.21) имеет вид *) — + (йз — —,' )г(г) —, ) и'=О, (11.53) где и' = г)тс. В случае (с = 0 (свободное движение — это простейший случай короткодействуюшей силы) решение определяется равенством (11.41), которое, учитывая асимптотическую формулу (11.51) в случае больших г-ь оо, дает ис х с — зСо (аг — — ) С, /2 (11.54) Поскольку решение (11.54) принадлежит непрерывному спектру, коэффициент Сс может быть найден из нормировки на 5-функ- цию СО ~ гзйс (йг) се с ('и'г) с(г = 5 (й — й').
о Отсюда, принимая во внимание, что 7 ' 7 вш (йг — — ) вш (/г г — — ) суг = о = — ~ сов(й — й )гс(г — — ( — 1) ~ сов(lг+ й )гс(г — 5(й — й ), о о мы найдем (11.55) Сс= и. (11.56) Поэтому нормированное радиальное решение для случая свободного движения для достаточно больших значений г принимает вид зСи (йг — — С) Рс —— '! [ 5с) ') Через й, мы будем обозначать радиальную функцию саободыосо дыи.
ксения. и поэтому асимптотическое поведение плоской волны будет определяться равенством зси (аг — — ) и'А'". 'и= ~ сс(21+ 1) Рс (сов 6). (11.52) ас НЕРЕЛЯТНВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МИХАННКА !Ч. ! 2ОЕ Зная решение для свободного движения, мы сможем найти также асимптотическое решение для других короткодействующих сил прн условии, что У(г) при г — «О возрастает слабее, чем г-э, а при г- оо убывает, наоборот, сильнее, чем г-Я (например, по экспоненциальному закону). Зависимость асимптотического выражения от синуса при наличии короткодействую!цей силы мы можем написать сравнительно просто, а именно, отбрасывая прн г-» оо в (11.53) члены, 1(1+ 1) пропорциональные У(г) и,, мы имеем *) и! 2 т, 2 ( — э!н) Дг — — + Ь!) Ж= и Г (1! .58) Единственной неопределенной величиной является фаза 6!, которая должна быть пропорциональна короткодействуюшему потенциалу У, так как при У = О она обращается в нуль (свободное движение).
Наша задача заключается в том, чтобы найти 6! пока что в линейном приближении по У. Для этого мы умножим уравнение (11.39) на и', а уравнение (11.53) на и, и вычтем одно уравнение из другого. Тогда будем иметь' Ы / г гГи гГи' Х 2глэ — ~и — — и — г! = — — ии У. лг ~ аг лг ) = аэ (11.59) г зш 6! — — — —,' ~ ппгУс!г о Верхний предел интегрирования в правой части для короткодействующего потенциала мы имеем право распространить до бесконечности, и при малых значениях 6! з!пб! ограничиться лишь линейными членами относительно У. В правой части последнего равенства в функции и' мы вообще можем пренебречь У, т. е. положить и' = и. Тогда, подставляя в правую часть равенства выражение (11.41) и полагая С! = й (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
