Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Поскольку при решении одного уравнения можно найти собственные значения только для одного параметра, решение всей задачи мы должны начинать с решения уравнения (10.25), а затем, зная из, переходить к решению уравнения (!0.24) и, наконец, к решению уравнения (10.21) для радиальной функции. При нахождении нормировочного коэффициента можно воспользоваться соотношением (10.26) ~ ффУХ = ~ ЮККЕР ~ 66 з!и 0 г(0 ~ ФФ г(ф, О О О !т'!Тгз г(г = 1, О 1 Е'6 з!п 0 г(0 = 1, О 2В ~ Ф'Фдф=1. О (10.28) (10.29) (10.30) из которого видно, что нормировку можно производить для каждой из функций по отдельности: СО движения в цкнтгхльно сипмктгпчном полк !зз $ м! Частное решение для азнмутальной функции (см.
уравнение (1025)) может быть представлено двояким способом: либо Ф =Се' ", (10.31) либо Ф = А соз (т~р + щ). (10.32) Эти два частные решения имеют различную физическую интерпретацию. В самом деле, решение (10.31) соответствует бегущей по окружности волне и отвечает, например, равномерному вращению электронов, в то время как решение (10.32) связано со стоячими волнами и соответствует, например, колебаниям электрона по некоторой дуге. Чтобы функция Ф описывала вращение электрона вокруг ядра, она должна быть выбрана в виде бегущих волн (10.31). Так как второе решение, пропорциональное е-' ч, может быть получено путем замены т на — т, то, не ограничивая общности, решение следует вообще выбрать в виде Ф = Сею"ь'Р (10.33) причем величина т может пробегать как положительные, так и отрицательные значения.
Учитывая, что волновая функция должна удовлетворять требованию однозначности (см. 5 3), на функцию Ф(~р) необходимо наложить условие периодичности Ф(~р) =Фйр+ 2п), (1О 34) из которого следует, что еэйчп — ! Отсюда для величины пн получившей название магнитного квантового числа, имеем т=О, ~1, ~2,:ЬЗ, ...
(10.35) Из условия нормировки (10.30) находим С= — . Не- 1 1/2я посредственным вычислением легко показать, что функции (10.36) будут удовлетворять условию ортонормированности ФтФийр=б о Поскольку собственные значения т известны, а также найдена волновая функция, зависящая от азимутального угла гр. можно приступить к решению уравнения (10.24). НЕРРЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 184 Вводя новую переменную х=созб (10.37) и обозначая производные по х штрихами, вместо (10.24) полу-' чаем уравнение [(1 — х') 6']'+ (Л вЂ” ~ „, ) 6 = О. (10.38) Нетрудно видеть, что последнее уравнение имеет особые точки при х = 4-1.
В этих точках один из коэффициентов при 6 обращается в бесконечность. Чтобы исключить указанную расходимость, будем искать решение 6 в виде 6 = (1 — хз)*и и. (10.39) Подставляя (10.39) в (10.38) и сокращая все равенство на (1 — хт)4а, получаем 44 ~В2 (1 — х') и" — 2х(э+ 1) и'+ ~Л вЂ” з' — з+, „, ) и=О. (10.40) Мы исключим особенность в последнем члене, полагая э=~1т 1. Решения, отвечающие этим двум значениям з, удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению, поскольку основное уравнение (10.38) зависит лишь от тэ.
Следовательно, эти решения могут отличаться друг от друга только постоянным множителем 6 ( ~ т ! ) = А6 ( — 1 т 1). (10.41) Учитывая последние соотношения, будем искать решение уравнения (10.40) при (10 42) В силу же соотношения (10.41) оно автоматически распространяется также и на отрицательные значения т. При условии (10.42) уравнение (10.40) принимает вид (1 — х') и" — 2х(т+ 1) и'+ (Л вЂ” т(т+ 1)) и = О. (10.43) Поскольку последнее уравнение не имеет особенностей, его решение может быть представлено в виде ряда и= ~ а„х", (10.44) А 0 в результате подстановки которого в уравнение (10.43) получаем (к(к — 1) а„х" Я+ (Л вЂ” (к+ т)(к+ т+ 1)) а,х") = О.
~с 0 Ф !о1 движения в цяитяольно.симмятяичном поля !85 Группируя члены с одинаковыми степенями х, приходим к равенству Х [(к + 2) (к + 1) а, + г + [А — (к + т) (к + т + 1) [ а„) х' = О, к-О из которого следует рекуррентное соотношение (к+ 2) (к+ 1) а,+о= — [А — (к+ т)(к+ т+ 1)[а„(10.45) связывающее между собой все коэффициенты ряда (10.44). Ввиду того, что коэффициенты а, связаны лишь с а,+ь т.е. через один, функция и будет либо четной, либо нечетной в зависимости от того, является ли старший член (см. ниже) четным или нечетным. Требуя, чтобы ряд (10.44) был ограничен некоторой максимальной степенью к = о, т. е. был бы полиномом порядка д, мы должны ввести условие ао+о =О, а Ф О. Отсюда на основании (10.45) получаем 1!, = (д + т) (о + т + 1), (10.46) где д = О, 1, 2, 3, ..., (10.47) т.е.
равно той степени, на которой мы обрываем ряд. Вводя орбитальное квантовое число 1 1=у+ т, (10.48) находим, что оно может принимать, так же как и числа д и т, лишь положительные целые значения, включая нуль, т.е. 1 = О, 1, 2, 3, ..., (10.49) причем в силу (10.48) 1~ т. (10.50) Принимая во внимание, что согласно (10.48) и 10.46) 1=1(1+ 1), (10.51) уравнение (10.40) можно привести к виду (1 — хо)и» вЂ” 2х(т+1)и'+[1(1+!) — т(т+1)[и =О, (1052) где и=а! мх' м+а! м-ах! м о+ ...
+~ . (10.53) ( ао (. а!к' Мы не будем выражать коэффициенты а, через а,+о с помощью рекуррентного соотношения (10.45), а представим сразу последнее решение в свернутой форме. (ч. 1 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 186 Для этого введем функцию и = (хп — !)1, (10.54) подчиняющуюся уравнению (1 — х') и' + 2х!и = О, ( ! 0.55) которое нетрудно получить, взяв первую производную от о по х. Дифференцируя (10.55) с помощью правила Лейбница (см.
(7.34а)) (1+ т+ 1) раз и полагая ,~!+ив п(ю+п)= („и !)1 с(х +"' ( ! 0.56) Таким образом, будем иметь ,(с+ш и = — — (хп — 1) . 8!1 ~ Их!+я Отсюда с помощью (10.39) находим значение для функции еу 6! = С! Р! (х). (10.60) Здесь Р7 — присоединенный полипом Лежандра, определяемый выражением а С! — нормировочный коэффициент. Второе решение (10.38) прн А = 1(1+ 1) будет пропорцнонально функции О1 = (-1)'"(1 — х ) -„— м- (1! (х), (10.6!а) для функции и! получаем уравнение (! — хп) и!' — 2х(т+ 1) и(+ !1(!+ 1) — т(т+ 1)) и, = О, (10.57) точно совпадающее с дифференциальным уравнением (10.52) для функции и. Следовательно, функции и и и! должны быть пропорциональными друг другу и = сопз! и!. (10.58) Поскольку нормировочный коэффициент функции 6 пока еще не 1 определен, эту постоянную положим равной —, исходя из тех 2!1! соображений, чтобы при т = 0 последнее решение переходило в полипом Лежандра 1 !(! (ха — 1)! Р,(х) =— Зю(! Их! й ю) движение н центРАльнО.
симметРичнОм пОле 187 где функция Лежандра второго рода ! ()!(х)=- 1 Г Р!(д)лр = — Р! (х) 1и — йг! ! (х), (10.616) 1+х 2 з х — р 2 1 — х -! а 27! !(х) является неким полиномом степени 1 — 1 (причем 27 !(х) = О), не содержащим никаких расходимостей. Поскольку первый член правой части равенства (10.61а) дает для функции ф" (х) расходимость в особых точках (х = ~1), то это решение слелует в случае уравнения Шредингера вообще отбросить.
Хотя выражение (!0.61) было получено для положительных значений пз, в силу известного соотношення оно автоматически распространяется также и на отрицательные значения т. Для доказательства выражения (10.62) преобразуем его с помощью равенства (10.61) к форме !г+(и( з1-(га! (1 — )и !)! (х' — 1)! ! (хз — 1) =(1+ ! и !)! — — 1- (ха — 1)!. (1063) !(х +!и( 0х Поскольку же Р,"' и Р, и должны быть связаны между собой линейным соотношением (см. (1ОМ1)), нам достаточно показать, что коэффициенты при старшей степени х в обеих частях равенства (10.63) совпадают друг с дру.
гом, т. е. 1!+1и( я! иг-(и! (1 — (гп!)!хз! ! =(1+)и!)! х 1; !(х!")и! их1-(яв( в этом нетрудно убедиться, учитывая, что п( баха ( ' ), х" и при х(п, 0 при х>п. Из равенств (10.61) и (10.62) можно окончательно установить область изменения квантового числа т: т=О, ~1, ~:-,2, ..., ~1; (10.64) это следует из того факта, что при !и!) ! решение Ргзи обра щается в нуль. Коэффициент С! в (!0.60) может быть найден из условия нормировки я ! ~ 6г 6)! 3!и Оц(6= ~ 8! (х)8! (х)с!х=1, в -1 )вв НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА )ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
