Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Как будет видно нз дальнейшего, этот случай в классическом приближении соответствует движению по эллиптическим орбитам. Заметим, что уравнение (12.15) является частным случаем дифференциального уравнения с произвольнымн комплексными параметрами и и р Кар и'г — „„, +Š— )~ — ОР— — О, (!2.28) где переменная х может быть также комплексной. Уравнению (12.28) удовлетворяет вырожденная гипергеометрическая функция В = Ф(а, р, х) а) Ф(а, 13, х)= 1+ — — + — + ...
(!2.29) !! Р(Р+ 1) 2! Как видно, эта функция принимает конечное значение в нуле х = О, т.е. Ф(а, р,О) = 1. При (х! — оо функция Ф имеет асимптотический внд **) Ф(а, !3, х)= .( ) ( — х) '[! + — ((3 — а — 1)+ ...~+ + — е"х" з1! + " + ...~, (12.80) Г (а) Е х где Г(а) — гамма-функция, а выражения в квадратных скобках представляют собой асимптотические ряды по обратным степеням х. ') См. Грпдштейн И. М., Рыжик И.
С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведеаий. 4-е изд. перераб. — Мз Физматгиз, 1962. "") См джеффрис Г., Саирлс Б. Методы математической физики.— Мд Мир, 1970, вып. 3. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 214 Из (12.6) следует, что и = СФ(а, р, р), причем параметры а и (1 имеют следующие значения: а= 1+1 — =, 0=2(1+ 1), 4/А ' а С вЂ” произвольная постоянная. Таким образом, радиальная функция (12.!4) становится равной )с=Се-оир'Ф~ — = — 1 — 1), 2(1+!), р~. (!2.31) В ~, з/А Асимптотическое поведение гнпергеометрической фуккции (!2.30) показывает, что она возрастает при р — оо как еь. Поэтому, для того чтобы обеспечить условие конечности радиальной функции (12.31), следует положить параметр а = = 1+1 — В/~/А равным целому отрицательному числу, включая нуль, а = — и, = О, — 1, — 2, ....
При этом условии гамма- функция Г( — и,) обращается в бесконечность, и экспоненциально возрастающая ветвь в (12.30) исчезает. Отсюда для определения энергии, связанной с величинами А и В соотношениями (12.5), получим уравнение ==и,+1+1=и. В (12.32) ч/А Здесь квантовое число и, на единицу большее суммы орбитального 1=0,1,2,3,... н радиального и, = О, 1, 2, 3, ... (12.33) квантовых чисел, получило название главного квантового числа и.
Оно, так же как и в случае круговых орбит (!2.17), может принимать значения и=1, 2, 3,... (12.33а) При условии а = — и, гипергеометрический ряд (12.29) обрывается и становится полиномом степени и, Ф( — и к(+ 2 р) = !гм+'(р) (12.34) Здесь !',Р'+'(р) обозначает так называемый обобщенный полипом к Лагерра, имеющий вид к 1-о $121 215 ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА Отсюда, вводи новую функцию ы = ом1еор *, получаем дли нее уравне- ние рю" + (з+ 1 — р) ю'+ лю = О, совпадающее с уравнением (12.!5) для функции и (так как (В/З/А ) — !— — 1 = к).
Поскольку при этом легко показать, что коэффициент при старшем члене р" функпии к еер-е (е-Ррл+е) ! к будет совпадать с соответствующим коэффициентом равенства (12.35), мы тем самым доказываем справедливость соотношения (12.36). Таким образом, для радиальной функции /1е1(г) окончательно имеем /1„1 (р) = С„1е-угвр!()21+! (р) где Р= — и ао — боровский радиус (12.24). 23г лаз ПолУченное Решение (12.37) пРи 1( а — 1 (аг ныл) описывает эллиптическое движение.
При анализе этого движения в квантовом случае мы должны исследовать распределение плотности вероятности по радиусу 22г 0 (г) = сопз! гзг+эе "', (й/21+! 1г сопз( р21+зе о (()21+! уз л-1-1) л-1-1) (12.37) Нетрудно показать, что функция Р(г) имеет при р=О, р= со и (Ег+11 1=0 (а — ! — 1=и, корней) п,+2 минимумов, когда она обращается в нуль, и и, +1 максимумов, которые могут быть найдены из уравнения дР/дг = О.
Область изменения радиуса (г, ( г ( гз), в которой функция 0(г) описывает колебательный процесс, соответствует в классическом приближении эллиптической орбите, когда расстояние частицы до центра также изменяется в этих пределах. Наконец, вычисляя коэффициент Сы из условия нормировки Ш ~ гз/г'„111(г = ~ 0(г) дг= 1, о о (12.38) где а = 21+ 1, к = и,. Полином (12.33) может быть представлен в замкнутой форме и=(;);(р)=е р * —,(е 'р' ). (12 36) ч П р и м е ч а н и е.
Покажем, что функция и, записанная в замкнутой форме (12.36), действительно удовлетворяет уравнению (12.15), В самом деле, функция о е Рр"+' подчиняется уравнению ро'+ (р — к — з)о = О, в чем нетрудно убедиться, взяв от о первую производную по р. Днфференцируи это уравнение (к+ 1) раз по правилу Лейбница, легко приведем его к виду ро( +(р — э+1) э! + +(к+!) о! =О. 1ч.
1 НЕРЕЛЯТИВИОТОКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 216 получаем — 12 л/ „=(' ~',/ пао Г Чт л(н — 1 — 1)1(а+1)1 ' (! 2.39) т. е. р, ~',/ ~,ч 4 У Ы.~г — ", У2 кк, М+2 лао / 21 к(а — 1 — 1)1(и+1)1 'х као х -1 — 2 х иао х (12.40) Примечание. Вычисление коэффициента Сы проводится следующим образом. Подставляя в условие нормировки (12.38) вместо )1 о его выражение (12.37) и заменяя г на — р, получаем (в, = к) као 23 С2 ( пао 21+2 Рдхг+1дтг+\ нао ьз Г о Представим теперь один из полиномов О~~+' в виде ряда (12.35), оставив для другого замкнутую форму (12.36).
Тогда условие нормировки, записанное выше,' примет вид (к С г ~ — ~ ~ р( — 1)к(р"-к(к+21+1)рк ~+ ) — ( о +Ы+1) о( =1 бр. Отсюда, пользуясь теоремой о перебросе производной (см. (6.14)), найдем о нао хз Г С2 ( нао ~ -о (( ( 1)1921+к+2 ~ (21 1 к 1 1) 22+к+1) а о Л егко видеть, что остальные члены ряда для функции Оо дают нуль, та к уь, так как от них берутся производные более высокого порядка, чем соответствующий показатель степени р.
Используя далее известный интеграл ~ е ор'о(р = з1, легко находим для о С„, выражение (12.39)о). Аналогичным способом можно определить также ) Легко также показать, что для радиальных функций имеют место условия ортогональности, а вместе с тем и ортонормированности го)(„, Я„г о( 6„„. о Отсюда, учитывая еще соотношение (10.68), можно записать условие орта. нормнрованиости для полной волновой функции проблемы Кеплера Ок'Нко'фкок~ о( "= бко'ообгтбк'к' где фкпв = )(агро ' твопия водоподоподовпого атома 21У средние значения (г «) («1, 2, 3, 4), которые нам понадобятся в дальнейшем: Ю (г ') 1ф", г «ф бах=1 Ляг +ти,. О 3 ла -«Г (г-«) С~!(""~) ("'~) р-«+!( !)к~рк к(к.,2!».!)рк-!» е » ( )к-т к(к — 1) (2!+к+1)! я к ! к(2!+к+1)! 21(2!+3)! ! (2!+2)! ! + +( 1)к (2!+к+1)! ( л (е о к+т!+!) М (2!» !)! ~ ! к Полагая в атом выражении соответственно « = 1, 2, 3 и 4 и вновь прибегая к теореме о перебросе производной, после несложных выкладок нахо- дим ~г~ 1, ~2У угхз 1 '-'-( —..) ~~и .
~ -)) (г-4> У г ~4 зк — ! (!+ Ц 'ч а, ! (! — '/а) ! (! + '/а) (! + 1) (! + з/~) ' (12.40а) Здесь при вычислении (г-') мы должны оставить в полиноме яз лишь к старший член р". При вычислении же (г-з), наоборот,— один последний р', для (т ') — два последних и т.
д. Выражейия для (г ') и (г-') получены в предположении ! чь О. Лля з-состояний (! = О), как правило, вместо взаимодействий, пропорциональных подобным членам, появляется контактное взаимодействие (см, ниже $20). Спектр энергии водородоподобного атома легко может быть найден из формул (12.32) и (12.5) изет р» хя я 0 2аек' кз Заметим, что это выражение для энергии полностью совпадает с соответствующим выражением (12.18), полученным в случае круговых орбит, когда главное квантовое число принималось равным а = /+ 1, а радиальное число а, =О.
В общем случае эллиптических орбит выражение для энергии (12.41) также зависит лишь от одного главного квантового числа а = = 1 + п, + 1, т. е. от суммы орбитального 1 н радиального л, На основании приведенных выше формул последнее выражение можно представить в виде нврелятнинстскдя квАнтовАя мехлникА 218 1ч. 1 квантовых чисел, н ие зависит от магнитного квантового чисЛа т. В тО жЕ СаМОЕ ВрЕМя ВОЛНОВая фуНКцИя Чрщм=)та1УС Зависит от всех трех квантовых чисел п, 1 и т по отдельности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
