Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 39
Текст из файла (страница 39)
$10) и среднее значение оператора возмущения (!3.32), пропорциональное электрическому дипольному моменту атома, может быть отлично от нуля, что н обусловливает линейный штарк-эффект. Для всех же других атомов вырождение по ! отсутствует, дипольный момент равен нулю и линейный эффект Штарка не наблюдается. Рассмотрим более подробно теорию линейного эффекта Штарка для атома водорода. Поскольку внешнее электрическое поле д' (в опытах оно имело порядок 10' — 1Оэ В/см) много меньше внутриатомного, создаваемого ядром и равного йГ„А= — ", тб ° 10РВ/см ЛВ (здесь ао — радиус первой боровской орбиты), для решения поставленной задачи можно использовать теорию возмущений, относящуюся к вырожденному случаю, причем в качестве возмущения мы должны взять потенциальную энергию электрона во внешнем электрическом поле в виде (13.32). Внешнее электрическое поле выделяет в пространстве направление (ось г), н поэтому для расчета штарк-эффекта удобнее использовать в качестве базисных функций нулевого приближения решения уравнения Шредингера в параболических координатах ф„„(13.25).
Каждому энергетическому уровню и соответствуют л~ состояний ф„„с квантовыми числами пь аэ и гп, удовлетворяющими условию п~ + ля + гп + 1 = и. (13.35) НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !Ч. ! 288 Оператор возмущения (13.32) в параболических координатах ~" = — ЕФ (е — ч) (13.36) имеет только диагональные матричные элементы в группе состояний, соответствующих уровню п, (и',фп' ! 'к" ) п,п,и) = ю ЕА = — е ~ ~ (в ) е(ч ') йФ (И вЂ” ч') ф о о о 4 е~а~д (от — о ) Ь 6 (б .
(13.37) Действительно, диагональность по и очевидна в силу независимости к" от угла <р, а диагональность по параболическим квантовым числам следует из ортогональности функций ЛагерРа А+И А (13.33) пр А+'.е (р) 7~+.л (р) = 6-. о и условия (!3.35). Интегралы о„и о„ О Вам= ~ Р уп~+Ал,(!') ~Р о Р = „, „+, )р+ е Я(1;!„,(р)) и'р (1=1, 2) (13.39) О вычисляются с помощью мотода, примененного в $12 при нормировке радиальных функций атома вод~рода.
Один из полиномов представляется в виде ряда, а другой — в замкнутой дифференциальной форме (12.36), после чего интегрирование по частям соответствующее число раз дает о„, =(2кч+т+1)(2п~+ и+2)+2(п~+т)п, (1=1, 2). (13АО) Для разности интегралов о„, — о„, с учетом соотношения (13.36) находим о„, — о„, = бп (п~ — пя). (13.41) Поскольку возмущение (13.37) диагонально, то оно не смешивает вырожденные состояния, а лишь расщепляет их, поичем величина расщепления определяется средним значением У Е' = (1Г'). (13.42) Э |о) АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 239 Подставляя (13.4!) в соотношение (13.37), находим з з 2 Евъ = — еоаоЖп (п1 — ао) = — еосо аоп Л, (13,43) где Л = (ао — ао)/а — собственное значение проекции е, вектора эксцентриситета.
Как видно из данного равенства, величина расщепления уровня п зависит от разности квантовых чисел а| — по (или от Л), которая принимает, как было показано выше, 2п — 1 значение от — (а — !) до и — 1. Поэтому электрическое поле расщепляет уровень а на 2п — 1 подуровней, снимая таким образом ав-кратное вырождение не полностью. Рассмотрим для примера первый возбужденный уровень и = 2*), вырожденный четырехкратно. В отсутствие возмущения его энергия равна Ео = — Ю/4, (13.44) а состояния тр„,„, задаются выражениями (13.25). Под влиянием электрического поля данный уровень расщепляется на 3 подуровня, соответствующие значениям Л = ~1/о, О, т Евь= ~ Зеоаод', О.
(13. 45) Таким образом, в состояниях с т = О 1 о о 1 )1Л Етл, = — — + Зеоаоо, кл Ео,— т = — — — Зеоаосо 1 4 (13.46) вырождение снимается, а состояния с по = ~1 е1 тРоо+1=Яюуб, Л=О, Ю Еы —— —— (13.47) ') Основной уровень в = 1 невырожден н поэтому не будет расщеплнтьсн. остаются вырожденными даже при наличии электрического поля. Заметим, что если бы мы в качестве базисных состояний выбрали решения невозмушенного уравнения Шредингера трен,, являющиеся собственными функциями операторов (.о и 1.„то в этом случае возмущение не было бы диагональным.
Оно привело бы согласно изложенной в $8 теории к смешиванию !ч. $ НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 240 невозмущенных состояний, и в результате получились бы правильные комбинации функций фм нулевого приближения и соответствующие им уровни энергии первого приближения теории возмущений, совпадающие с только что полученным результатом (13.46) — (13.47) . Качественно эффект Штарка можно интерпретировать следующим образом: в силу того, что возбужденные состояния не обладают центральной симметрией и не имеют определенной четности, у атома водорода появляется отличный от нуля средний электрический дипольный момент (р). Поскольку энергию возмущения (!3.32) можно также записать в виде 1~'= — (рЕ), то, сравнивая это выражение с выражением для поправки к энергии (13.43), получим г-компоненту электрического диполь- ного момента атома в состоянии (л, А, т) щ з/ тт (13.48) В рассматриваемом выше примере с уровнем л = 2 в состояниях Х = .+'/м т = 0 электрон находится преимущественно либо в области г ) 0 (при А = +'/В), либо в области г (О (при Х= — '/т).
Поэтому и дипольный момент в этих состояниях направлен либо против внешнего поля (2,=+'/м (р,) = — Зепап), либо вдоль поля (Х = — '/м (р,) = Зепап). В состояниях А = О, т = Р1 (и определенным значением 1 = 1) дипольный момент равен нулю (р,) = О, и поэтому никакой дополнительной энергии Е' не возникает. Таким образом, причиной, обусловливающей линейный эффект Штарка у атома водорода, является присущий ему в возбужденных состояниях электрический дипольный момент. Результаты, полученные на основе линейного приближения, находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными только в слабых полях (ЕТ вЂ” 104 В/см). В более сильных полях (В !Оп В/см) появляется дополнительное расщепление (квадратичный эффект Штарка), вызванное снятием вырождения по магнитному квантовому числу т. Наконец, в полях, напряженность которых превышает величину !04 В/см, эффект Штарка вообще исчезает.
Это связано с появлением автоионизации атомов, т. е. с вырыванием электронов, находящихся на возбужденных уровнях. й 14. УНРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ Рассмотрим вначале рассеяние частиц силовым центром, потенциальная энергия которого уменьшается на бесконечности сильнее, чем г-'. В этом случае на бесконечности (" - со) волновая функция может быть аппроксимирована плоскими волнамн. Предельный эпэггов глссвянив частиц силовым цвнтгом 241 случай кулоновского потенциала 1( — (-' (т. е. силу дальнего действия) также в ряде случаев можно включить в рассматриваемое приближение, поскольку, как будет показано ниже, искажение плоской волны на бесконечности кулоновскнм полем дает лишь логарифмический сдвиг фазы, который оказывается несущественным при определении дифференциального эффективного сечения при сравнительно больших углах рассеяния.
а) Борноеское приближение. Допустим, что в течение времени 1 ( О частица была свободной, т. е. двигалась равномерно и прямолинейно с импульсом р = йй и энергией р' г (аа т,а х Е= ~ =сйК, (К= — йо= — ). 2ма ' 1. 2(аа ' Л )' Пусть, начиная с момента времени г = О, на нее начинает действовать возмущение, характеризуемое потенциальной энергией 1/(г), Тогда частица обладает определенной вероятностью перейти в другое состояние с импульсом р' = йй' и энергией а.а ~ Е'=сйК' (К'= — ), т.
е. в результате действия возмущения 2аа должно произойти рассеяние частицы. Волновые функции начального и конечного состояний, описывающие свободное движение (нулевое прнближение), будут в этом случае равны (() = Б -'(м-(ак'+ и" Ф Э Б-'(а -(ак'(+ма (14.1) / 2ии( й( = —. А 2ил( й( — — —, Волновые функции (14.1) удовлетворяют невозмущенному уравнению Шредингера а дат Ьа — — — + — Юф= О д( 2лаа (14.2) и являются частным случаем общего его решения ф лЭ С е- (ак (+(а а ч"а = — ь2. ь', 2. (14.3) где коэффициенты С' зависят от импульсов Й'. При учете энергии возмущения )Га = У(г) решение будем искать по нестационарной теории возмущений, согласно кото- где Ба — объем основного куба периодичности, а составляющие импульса й( и й( (( = 1, 2, 3) связаны с целыми числами п( и н( с помощью соотношений НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (ч.
г 242 рой следует предположить, что вероятностные коэффициенты С' должны стать функциями времени. Поскольку в начальный мо- мент времени частица находилась в состоянии и, мы должны положить С' (1 = О) = Ьа'а. (14. 4) Тогда для коэффициентов С'(1) (й' Ф Й) получаем (см. (8.66)) — г(1егсг (к'-к) )га, В 3 а'аю о (14.6) где У,,„= ~ ф У (г) ф,(зх Подставляя сюда вместо волновых функций их значение (14.1), найдем после интегрирования по времени 1 ! — е" 1К С'(!) = —, У.,„,'„ где )» = ()еы»)г(г)г(зх, и=й — й'.
(14.6) Отсюда для вероятности перехода имеем а' а' Учитывая далее равенство з)п сГ 1)! К) г» п(К' — К) (14.8) мы приведем (!4.7) к виду гв = —,„, ~~' 1 1»„гб(К' — К). (14.9) ( ~ ) = ~ )г' г(л' Ж) = ~ )гол' г(К' г(!!. (14.10) *) В качестве примера неупругого рассеяния можно привести тормозное излучение, когда при рассеянии электрон испускает фотон, благодаря чему К' < К. Наличие 6-функции под знаком суммы приводит к сохранению энергии рассеивающейся частицы, т. е.
К' = К. Такое рассеяние называется упругилг ч). При переходе в равенстве (14.9) от суммы к интегралу мы должны использовать соотношение $ 141 упРуГОе РАссея! т члстиц силОВым центРОм 243 Обычно рассеяние хара геризуют эффективным сечением, равным отношению вероятис=ти перехода ш к числу частиц Ф, падающих в единицу времени на единицу поверхности 5=1 смв, перпендикулярной падающему пучку частиц — потоку частиц. На эту поверхность в единицу времени, очевидно, попадут те частицы, которые расположены от нее на расстоянии, не превышающем значения скорости частицы О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
