Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Поэтому для !4Д) выбираем частное решение !4 (5) = е (! 4.64) которое удовлетворяет первому уравнению (14.60), если посто- янную разделения В4 положить равной В = — — й. 4 (14.66) .При этом, для того чтобы обеспечить асимптотическое условие (14.63), функция ~е(т!) должна вести себя следующим образом: Г'е(Ц) =е ', Ч- (14.66) Во втором уравнении (14.60) вместо т! введем новую безразмерн ю переменную У р= йт! (14.67) и будем в соответствии с условием (!4.66) искать его решение в форме ~е(р) = е ' и (р).
(14.68) 'Тогда для определения неизвестной функции и(р) получаем уравнение рие + (1 — 1р) и' — уи = О, 4ГДЕ гг'еее44 т'=— В4Е (14.69) В этих уравнениях й= ~~ —,, Е > О, а постоянные разде- / 2тоЕ а' ления В, и Вэ связаны соотношением ЯЯ ео В+В = — л4 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [ч.
[ Этому уравнению удовлетворяет вырожденная гнпергеометрическая функция (см. также (12.29) ) а х а(а+В х' Ф(а, р, х)= 1+ — — „+ ( +, —,+ ... (14.70) при следующих значениях параметров а, р и аргумента х: а= — !у, и=1, х=!р. (14.71) Таким образом, для волновой функции ф получим частное решение [ ф=-Се ее 'Ф( — !у, 1, !р) (14.72) с неопределенной пока нормировочной константой С. Это решение конечно при р = О, а его поведение при р-ь оо определяется асимптотикой функции Ф в соответствующей области.
В $12 была приведена асимптотическая формула (12.30) для вырожденной гипергеометрической функции Ф(а, р, х) при ~ х ~ — оо. Применяя эту формулу в случае (14.71), следует иметь в виду, что величины х и — х при воздействии в степень берутся с наименьшими по величине значениями аргумента, т. е.
и— ( Х)-и — Е 2 Е22 [по (14.73) и т Хп- — — Е 2 Е-[Ч [и р Р ив е уе Ф( — (у, 1, (р) . е'т'пф + У + е у е[р-[тыр) ! +. »+[у),+ 㻠— [у! р е [. [р (14. 74) Воспользуемся этим результатом, чтобы найти асимптотическое значение ф-функции (14.72) при е-~ — оо (р- +оо): „т 2 с[ее+[2 [п р — г»+[у! (14.75) Как видно из этой формулы, в показателе экспоненты возникает дополнительный логарифмический член (у 1п р, который искажает плоскую волну даже на бесконечности. Полагая С = е 2 Г (1 + (у), (14.76) Учитывая эти равенства, с помощью разложения (12.30) находим при р >) ! $14! УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ 267 получим, что требуемое асимптотическое условие (14.62) удовлетворяется с точностью до кулоновского логарифма 7 1и р.
Йайдем теперь асимптотическое поведение зр-функции (14.72) при г-~-оо, включая в рассмотрение, таким образом, не только прошедшую, но и рассеянную волну. В этом случае (т! = г — г- оо) также применима асимптотика (14.74), с помощью которой, переходя к исходным переменным г и б и учитывая (14.76), будем иметь при г-з- оо: В() ~ ~1 + т 1 1Е)вз+1т!пзс(1-оооо) )ьг (1 — сов б) ~(~+ т) т )Вс-)т)пзсп-созе)Г1+ (! !Т) + з (1 — гт) з О ИГ(1 — свв ) 2 (14.77) Ясно, что это разложение применимо для не слишком малых углов рассеяния б, т.
е. когда з в" — ";;;звгп з и — з) о П4 з) .7 Это ограничение, однако, ослабляется с ростом г и на очень больших расстояниях от кулоновского центра становится практически несущественным. Отбрасывая малые члены в квадратных скобках (14.77) с учетом неравенств (14.78), можно записать волновую функцию в виде суммы )Р е'"*+)т '" !в' 1' "' оп + — е'в'-'т "'в"', (14.79) 1 1(О) Г где первое слагаемое представляет собой прошедшую волну (не плоскую, а искаженную логарифмическим членом), а второе слагаемое — рассеянную сферическую волну, также искаженную кулоновским логарифмом, зависящим от г.
Амплитуда рассеяния )'(б) в кулоновском поле согласно (14.77) равна -)т 1П З)П' -во ! (6) — — .. (14.80) 2А в!пз— 2 Если определить дифференциальное эффективное сечение рассеяния по общей формуле (14.34) сЬ=) 1(б) )ос((1, то зависимость от логарифмической фазы исчезает, и мы найдем тв (гг')в во в з(О = с((1 — — 8у Ж1, (14.81) 4ьз в!Е4 у 4Р" в!п'— 2 9 А. А. Сововоз и АР. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !ч. 1 258 т.е.
формулу Резерфорда (14.24) для рассеяния заряда л'еа в кулоновском поле заряда Еео. Полученная нами волновая функция (14.79) в отличие от случая короткодействующего центра (14.30), (14.32) содержит дополнительную логарифмическую зависимость от г н 6. Поэтому при выводе разложения амплитуды рассеяния (14.80) по сферическим волнам (14.33) в кулоновском случае эта зависимость должна быть учтена.
Рассмотрим интеграл 5~ от произведения амплитуды 1(6) (14.80) на полипом Лежандра Р!(соз 6): И ~ Юз(п 67(6)Р,(созб)= СО5 Юе = — (у,( '.Т) 2*» $ г(х(1 — х) ' '«Р,(х)=ЛИ (14.82) -1 Ю Р! (соз О) Р! (соз 0') = Ь (соз 6 — соз Ф'), (14.83) 2г+ ! г-В запишем амплитуду в форме 1(6) = — г„) — БгР! (соз 6), щ+! (14.84) причем здесь угол 6 = ОВ. Однако для того чтобы получить разложение !(6) по полиномам Лежандра в виде (14.33), мы должны исключить зависимость от угла ЬВ в интеграле Я~ путем перехода к пределу бэ- О.
Такой переход непосредственно в интеграле (14.82) приводит к неопределенности вида ОА т, связанной с неприменимостью выражения (14.80) для амплитуды !'(6) при 6 = О. Мы можем обойти эту трудность с помощью следующего приема. Заменим у в интеграле (14.82) комплексной величиной, содержащей малую мнимую добавку у- у+ !В, причем В ) О. Тогда, перейдя к пре- где в качестве нижнего предела интеграла по 6 мы выбрали некоторый малый угол ОВ « 1 такой, чтобы для всех 6 ) ОВ выполнялись неравенства (14.78), обеспечивающие асимптотическое разложение волновой функции. Умножив правую и левую части равенства (14.82) на Р!(соз6') при д') ОВ и просуммировав по 1 с помощью условия полноты полиномов Лежандра $ с41 япяугов яоссвянив чостиц силовым пес!твом 259 делу бо-э О, вычислим интеграл по х ! с(х(1 — х)-с+о-ст Р, (х), — 1 (14.85) после чего устремим е к нулю.
Представим полипом Р,(х) в дифференциальной форме Рс(х) =— 1 Дс (хо 1)с 2с(! с(хс и возьмем интеграл ! раз по частям. Тогда вместо (14.85) получим ! с(х (1 — х)х Р, (х) = ! ! =( — 1)''" "";' '+" ~(1 — )"(1+ )'(, 2П вЂ” 1 где Х = — 1+е — су. Воспользуемся далее известным интегралом ! (1 — Х)ь(1-(- Х)С,(Х =ОС+Х+! Г(С+1) Г(х+ 1) Г(1+1+ 2) (14.86) О !(6)= 2.а ~~' (и!+1) Г 1 1 '." Рс(созб), (14.89) с-о причем оно справедливо при 6 ) О. Как видно, это разложение соответствует общей формуле (14.33), при применении которой справедливым, когда Ке), > — 1 (Ке — действительная часть). Подставим этот интеграл в выражение (14.86) и устремим е к нулю; это дает ! )-1-ст+в Р ( ) 2 с" (1+ су) (2+ су) ... (с+ су) Г( — ст) х — х с х — Г(1+1 ) (14.87) Поскольку — суГ ( — су) = Г (1 — су), то окончательно найдем С'= Г(!+!+в ") (14.88) Таким образом, разложение амплитуды может быть записано в виде НРРВЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МРХАНИКА (ч.
т нужно учесть, что согласно (14.83) при О чь 0 ° О ~, (2!+ 1)Р!(созб)=0. в-о Нужно, однако, учитывать, что фаза б! отличается от полной фазы рассеяния на величину кулоновского логарифма (см. (14.79)), который растет с ростом г, но не зависит от !. Если бы мы с самого начала искали решение уравнения Шредингера с определенным орбитальным моментом 1, то уравнение для радиальной функции и = гег! можно было бы записать в виде ивы е и РТА !(!+!)х —,+(» — —,—, ) =О.
игв (14.91) При больших значениях г, когда можно пренебречь величинами порядка —. асимптотическое решение уравнения (14.91) принимает вид )1~ = /2 в(и ~ Ь вЂ” т (и 2аг — — + 6 ) и! (14.92) В этом нетрудно убедиться, если подставить последнее выражение в (14.91). Тогда сократится не только основной член, пропорциональный и, но благодаря введению фазы у 1и 2йг и член, и и! пропорциональный —. Фазу — мы написали для того, чтобы при у = 0 величина б! также обратилась в нуль, поскольку асимптотическое решение (14.92) должно перейти в асимптотическое решение для свободной частицы. Для того чтобы найти фазу 6!, мы должны прежде всего написать точное решение уравнения (14.91), которое имело бы место как при малых, так и при больших значениях г.
Это решение может быть записано через вырожденную гипергеометрическую функцию Ф(а,(1, у) (14.70) при помощи соотношения !(! == сопз! г'е-'"'Ф (! + 1 — (у, 2! + 2, 2!йг). Затем следует учесть поведение функции Ф при г ио, которое следует из асимптотической формулы (12.30). Тогда найдем, что ,( в,„. !1 ! (в —" с- т !и вве) свив! е г (Г ! + ! — ! ( г! й'(г+ (+ (т) Сравнивая (14.89) и (14.33), определяем фазу рассеяния бв! Ь! = — агдГ(!+ 1 — ву). (14.90) Ф !о! метод ввджв в твогин гассвяния Далее, полагая Г(1+ 1 ~(т)=~ Г(!+ 1 — 1т)1е~'о1, где б! = — агдГ(1+ 1 — 1т), (14.93) получаем асимптотическую формулу (14.92), но уже с заданной фазой бь которая совпадает с выведенным выше значением (14.90) .
В случае, когда !1 — !у! л 1, воспользовавшись формулой Стирлинга ! Г(1+ 1 — 1у) 1е '~!ж т/2и (,' ~ ) можно найти для фазы значение ь; о»чо на,~,, !.~о .~ехтлт.л — и. п4л4) Как и следовало ожидать, при т-»О (отсутствие кулоновских сял) б!-»О. й иь мвтод рвджи в творим рдссвяиия а) Понятие о полюсах Редже. При исследовании движения частиц в центрально-симметричном поле и в задаче о рассеянии весьма плодотворным оказался метод Редже, который заключается в том, чтобы рассматривать волновую функцию и амплитуду рассеяния как функции комплексной переменной орбитального момента 1.
Покажем, как с помощью метода Редже может быть установлена связь между задачей о рассеянии и проблемой отыскания дискретных уровней энергии связанных состояний в поле К(г). Запишем уравнение Шредингера (11.53) для радиальной функции и = г)т(г) в центрально-симметричном ноле У(г) лги! l 2~по )()+!) х + ( йо — а, )г(г) — „, ) и! — — О, (15.1) где йо = 2тоЕ(йо. Общий вид решения этого уравнения при малых г, когда можно пренебречь членом йо — 2тоУ(г)/Ьо, таков (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
