Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Это вырождение физически связано с тем обстоятельством, что в классическом случае в однородном магнитном поле при заданной энергии Е фиксируется только радиус орбиты вращения, но не центр орбиты. Смысл квантовых чисел а и з выясняется при переходе к классическому пределу. Для этого запишем классическое соотношение между радиусом и скоростью при движении в магнитном поле, предполагая, что продольное движение отсутствует (йо = О): соосо ео — = — 950. Й с (16.66) Отсюда находим выражение для энергии соооо (еоеоч)о ЕА= — = —, 2 2тос' При получении этого равенства необходимо использовать соотношение для функции Лагерра 1„,(х): х1ео = (а + з) 1се — 2 (х1~и + 11м 1 -ь е-1) сравнивая которое с квантовой формулой (16.64), получим: /.+4 т Вычислим теперь среднее квадратичное расстояние электрона от начала координат в состоянии ор (г') = ~ ф'„„г'ф„,о Ух = "+ '+ (16.68) АТОМ В МАГНИТНОМ ЛОЛЕ ЕВ1 и учесть условие ортонормированности (13.38).
Результат (16.68) можно интерпретировать следующим образом. Пусть классическое движение происходит по макроскопической круговой траектории с радиусом 1(, центр которой отстоит от начала координат на расстоянии а и лежит на осн х. Тогда уравнение траектории электрона будет иметь вид Г~ = У + аз -1- 2аЯ соз ф. (!6.69) Среднее квадратичное расстояние в этом классическом случае будет равно ГА = — ~ Г(ф ()сз + аз + 2а)т соз ф) дф = )с~ + аз. (16.70) о Заметим теперь, что волновая функция ф описывает состояние электрона, симметричное относительно осн г, проходящей через начало координат.
Поэтому, сравнивая классическое (16.70) и квантовое (16.68) средние для Гз, мы можем заключить, что квантовое число з связано со среднеквадратичным расстоянием а между началом координат и центрами круговых траекторий, расположенных симметрично относительно оси г и соответствующих классическому движению, т. е. а' = — ~-. (16.71) ~т Заметим, что при 1= п — з ) 0 начало координат будет лежать внутри круговой орбиты (1т ) а), а при 1= Гà — з ( 0 — вне ее (А( ( а) . Состояния с отрицательными 1= — 1, — 2, — 3, ... также можно описать с помощью решения (16.66), если учесть соотношение для полиномов Лагерра (Ъ(Р) =( 1) Р Яю-~!1(Р). (16.72) В этом случае необходимо, чтобы нижний индекс, т. е. степень полинома Я,+ь был положительным: э+ 1= э — ~ 1 ~ ) О.
Отсюда следует, что при 1( 0 область изменения квантовых чисел а и з изменяется по сравнению со случаем 1) 0 и записывается так: и = О, 1, 2, ...; з 1 11, 1 1~ + 1, ! 1! + 2, ... (16 73) При этом уровни энергии ЕА по-прежнему определяются формулой (16.64), т.е.
зависят от главного квантового числа л. Заметим также, что квантовое число 1 представляет собой собственное значение оператора проекции канонического момента 1. (Гр) „ связанного с каноническим импульсом р. При на- 282 НЕГЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !Ч, ! личин магнитного поля (векторный потенциал А чь О) он отличается от кинетического момента, связанного с кинетическим импульсом Р =р+ — 'А.
Поэтому независимо от знака 1 вращес ние электрона, как и должно быть в магнитном поле, сохраняет свое положительное направление. Рассмотренная в данном пункте задача позволяет объяснить магнитные свойства металлов. Основной вклад в намагниченность металла должны давать электроны проводимости, которые согласно современным представлениям являются почти свободными. С учетом спина электронам необходимо приписать собственный магнитный момент, который в магнитном поле может ориентироваться либо вдоль, либо против его направления (см. (16.49)). Наиболее выгодным с энергетической точки зрения представляется ориентация вдоль поля, что приводит к положительному вкладу в магнитную восприимчивость металла.
Таким образом, восприимчивость, связанная с собственными магнитными моментами электронов металла, или парагсагнитная восприимчивость, оказывается положительной (Паули, !927 г.). В то же время квантование орбитального движения свободных электронов металла в магнитном поле (16.64) приводит к тому, что возникает суммарный магнитный момент, направленный против магнитного поля.
Связанная с этим моментом диамагнитная восприимчивость металла дает, таким образом, отрицательный вклад в суммарную магнитную восприимчивость (диамагнетизм Ландау, 1930 г.). Величина магнитной восприимчивости зависит в конечном счете от температуры и напряженности приложенного магнитного поля. Прн относительно высоких температурах Т и слабых магнитных полях йс (611 = ЬеьЯ1тьс'А.йвТ, йв — постоянная Больцмана) электронный газ в целом обладает положительной восприимчивостью, т. е. парамагнетизм превышает по величине диамагнетизм.
С ростом напряженности поля, а именно, в случае Пй)~АВТ, средний магнитный момент электронного газа носит осциллирующий характер. е) Атом водорода в экстремально сильном магнитном поле. Относительно слабое магнитное поле, приложенное к атому, приводит к расщеплению энергетических уровней атома, т. е. к эффекту Зеемана, рассмотренному выше. При этом сам атом не деформируется. Предположим теперь„что атом водорода находится в настолько сильном магнитном поле, что движение электрона в плоскости, перпендикулярной направлению поля, целиком определяется этим магнитным полем, а не кулоновским полем ядра, и поэтому в поперечном направлении атом оказывается деформированным. В то же время на продольное движе- АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ние магнитное поле не должно оказывать влияния„ и в этом направлении атом не изменяет своих размеров. Можно легко оценить величину напряженности магнитного поля, при которой наступает деформация электронной оболочки атома.
Для этого необходимо сравнить величину боровского радиуса ао = Ьо/глоео с характерным размером области локализации электронов в магнитном поле в основном состоянии прн а = О, з = О, который получается из формулы (16.67), т.е. с величиной ам — — 1/1/2У =~/Дс/е М. Если ар( а,, то магнитное поле оказывает определяющее воздействие. Это условие приводит к следующей оценке величины экстремально сильного поля: торо! дй ) —,= Ж„р= 2,35 ° 10о Гс, А' (! 6.741 при котором деформируется атом. Рассмотрим задачу об атоме водорода в сильном магнитном поле более подробно.
Прежде всего запишем уравнение Шредингера для электрона при наличии одновременно магнитного н кулоновского полей. При этом удобно воспользоваться цилиндрическими координатами г, ф, г, Тогда уравнение будет отличаться от (16.53) только слагаемым с потенциальной энергией = — ео/1/г~ + г' (мы положили заряд ядра Я = 1): А' Г д' ! д ! д' до о о . д 1 —, ф=Еф.
(16.751 (16.76) 1оо(р)=е РЛ, (16.77) а функция т,(г), зависящая от г, подлежит определению. Подставим (16.76) в уравнение (!6.75) и, учитывая, что функция В последнем уравнении нз-за наличия кулоновского слагаемого переменные не разделяются. Поэтому точного решения получить не удается. Однако при условии (16.74) можно найти приближенное решение уравнения (16.75), если учесть, что поперечное движение должно определяться только магнитным полем.
Рассмотрим основное состояние в магнитном поле а = О при е = О, 1= О, тогда решение можно искать в виде ф(г ф г) = /оо(р)К(г) ! !/2я где функция 1оо, зависящая от радиальной переменной р=уго, согласно (16.29) равна НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (16.77) удовлетворяет уравнению (16.56) с собственным значением )с = '/з, получим с Е 2що / ЗО~ 2то во 1 — + — ~Š— — ) + — ~ Х(г) — = О. (16.78) ° ) .*,7 .* 1,Л~ Умножим это уравнение на е-ол/~/2Н и возьмем интеграл по плоскости ху в координатах г и ф. Поскольку интеграл по ф равен 2И, а от г зависит только последнее слагаемое в квадратных скобках в (16.78), то в результате находим с в — +Š— — +вой/у ~ Х(г)=0. (16.79) Аз сР ЕП г — г оре 2то озз 2 ~ г+т о который имеет уравнение для радиальной функции в задаче Кеплера (12.4) для состояний с 1=0.
Соответствующий спектр известен. Он описывается формулой (12.18), т.е. в данном случае огФа о 2 Еааиа ' (16.82) где л, = 1, 2, 3, ... Решения гр(г) также известны и выражаются формулой (12.40) при 1 = О. Характерной особенностью этих решений является их экспоненциальное спадание при г ) ао Так, в случае а,= 1 мы получаем Х, =Сге-*мч (16.83) е) Заметим, что кроме указанных состояний, возможно еще одно (осноаиое) состояние, аолноная функция которого отлична от нули кри 1к1 ~ ао.
Это состоаиие мы здесь не рассматриваем. Рассмотрим такие состояния атома, в которых размеры атома вдоль оси г определяются кулоновским полем, т. е. (гз) поз"). По Условию имеем ао Хь аее, что означает (г') 2 а' или, иначе, у(га) э 1. Таким образом, в уравнении (16.79) можно пренебречь величиной р под корнем в подынтегральном выражении.
Это дает нам ок ео — — + — х+(е — — )х=О 2то озз )я) 'ч 2 ) (16.80) — уравнение Шредингера в одномерном кулоновском поле е,'/!Е1. С помощью подстановки х=г<р(г) оно приводится к стандартному виду 2 ЕЕ 2ио~ йц 4~ — „,, + —,— „, + — „, 1Š— 2 +1,1 )ф-О, (И.8Ц % кя атом в магнитном поля В то же время волновая функция в поперечном направлении ведет себя согласно (16.77) как ехр( — р/2) =ехр( — ге(4а'), т.
е. затухает на существенно меньших расстояниях г-а, ч:. ае от начала координат. Таким образом, экстремально сильное магнитное поле деформирует атом в поперечном направлении, благодаря чему он приобретает своеобразную «игольчатую» форму. Заметим, что необходимые для этого магнитные поля, напряженность которых определяется условием (16.74), по современным представлениям, могут существовать на поверхности некоторых астрофизических объектов. К ним относятся нейтронные звезды (или пульсары), возникающие в результате коллапса вспыхивающих сверхновых звезд.
Поэтому дальнейшее изучение строения вещества в условиях экстремально сильных магнитных полей представляет несомненный интерес. $17. СКАЛЯРНОЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА в ГОРДОНА а) Классическая релятивистская механика и уравнение Клейна — Гордона. Уравнение Шредингера, подробно рассмотренное нами, применимо для описания движения частиц, скорость которых о значительно меньше скорости света с. Нерелятивистское волновое уравнение Шредингера неинвариантно относительно преобразований специальной теории относительности (преобразований Лоренца), поскольку координаты времени н пространства входят в него неравноправно: уравнение содержит первую производную по времени и вторые, производные по координатам, в то время как специальная теория относительности требует такой записи уравнения, чтобы пространственные и временнйе координаты формально входили на одинаковых основаниях.
Для того чтобы получить релятивистское волновое уравнение, будем исходить из классического релятивистского соотношения между массой и энергией, которое вначале запишем для свободных частиц: е ~/ер+~~~ ° (17.1) Далее следовало бы использовать тот же прием, что и прн получении нерелятивистского уравнения, Шредингера, т.е.
вместо энергии и импульса ввести операторы Š— Б= — —,—, Л д дг ' (17.2) р р= —.Ч Ь 10 А А. Соколоа и яр. Однако неизвестно, как операторы, стоящие под знаком квадратного корня, должны действовать на волновую функцию. Поэтому при переходе от классического к волновому уравнению в релятивистском случае мы должны прежде всего избавиться от квадратного корня. Это можно сделать двояким путем: либо возвести обе части равенства в квадрат и получить скалярное уравнение Клейна — Гордона, либо с помощью матриц извлечь 'квадратный корень н получить спинорное уравнение Дирака, учитывающее наряду с релятивистскими (так же как и уравнение Клейна — Гордона) еше и спиновые эффекты. В настоящем параграфе мы рассмотрим первый способ, развитый также и Фоком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
