Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Исследуем прежде всего законы сохранения момента количества движения в поле центральных сил: У = еФ(г). (19.1) Как было показано в нерелятивистской теории Шредингера, в этом случае сохраняется орбитальный момент количества движения $ — (тр). э из диэАковскии элвктэон в поля цвнтэхльных сил ЗОЗ моментов, мы видим из равенств (19.3а) и (19.3б), что только составляющая полного момента (в данном случае 3,) коммутирует с гамильтонианом, т. е. удовлетворяет закону сохранения.
б) Перестановочные соотношения для операторов момента. Как было показано в 9 1О, составляющие оператора орбитального момента не коммутируют между собой и подчиняются перестановочным соотношениям (!9.5) 1,„1.д — 1.д1.„= И1. н т. д. (х-+р-3 г-~х ...). Оператор собственного момента (спин) пропорционален матрицам Дирака $= — йа, (19.6) поэтому его составляющие также не должны коммутировать между собой. Поскольку двухрядные матрицы Паули о' и четырехрядные матрицы Дирака а подчиняются одним и тем же правилам коммутации (см. (16.28) и (18.13)), мы найдем для дира- ковского спина (19.6) такие же перестановочные соотношения, какие были установлены нами для паулевского спина (см.
(16.36)), т. е. (! 9.6а) 8„8„— 8„8„=И8, н т. д. Несмотря на то что компоненты орбитального и спинового моментов являются операторами и подчиняются совершенно тождественным перестановочным соотношениям, друг с другом они коммутируют, поскольку операторы, образующие эти составляющие, носят совершенно различный и независимый характер (производные и матрицы). Учитывая эти замечания для составляющих оператора полного момента (19.4), легко получить аналогичные с (19.5) и (19.6а) перестановочные соотношения 3,,~е — Зебр, — — (1.„+ 8,)((.е+ 8е) — ((.е+ 8е)(1.х+ 8„) = =И(1.,+ 8,).
Отсюда находим (19.7) Два последних соотношения получены из первого путем цике лической перестановки координат: х- у, у-ь г, г-~х, „, РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [ч. и ЗОА Оператор квадрата полного момента 32 = 1.2 + 82+ 2 (1.8) (19.8) содержит три члена. Первый член 1 2 6222 (19.9) соответствует квадрату оператора орбитального момента. При действии на шаровую функцию Уу" его собственное значение равно 1.2- 621(1+ 1) (19.9а) т.
е. он описывает состояния, когда орбитальный момент равен 1 (в единицах В). Второй член 82= — Л2 (О2+ оу+ оу) = — Ду=з (з + 1)лу (19 10) 1 3 2 4 является числом и описывает спин (в единицах й), равный половине (з = '/2). Наконец, третий член 2 (1 8) = 2 (1- .8, + 1-„82 + 1,8,) (19.10а) характеризует так называемую спин-орбитальную связь. Следует отметить, что составляющие моментов 1., и 8, коммутируют по отдельности как с оператором (19.9), так и с (19.10), но со спин-орбитальной связью они по отдельности не коммутируют. В самом деле, учитывая равенства (19.5) и (19.6а), легко показать, что 1.,(1.8) — (1.8) 1.,= И(1,„8, — 1„8„), 8.
(1.8) — (1.8) 8, = (й (1.„8„1.„8„). (9.11) Отсюда видно, что только составляющая полного момента должна коммутировать с этим членом (1., + 8,) (1.8) — (1 8) (1., + 8,) =- О, (19.12) а вместе с тем и с квадратом полного момента Л„)2 — 32,) =О. (19.13) Поэтому в задачах, в которых сохраняется полный момент количества движения (например, спиновая частица в поле центральных сил), квадрат полного момента и любая из его составляющих (например, на ось г) могут иметь общие собственные функции. Заметим, что две составляющие полного момента одновременно не могут иметь общей волновой функции, поскольку они не коммутируют между собой (см. (19.7)).
$191 ДНРАКОВСКИИ ЭЛЕКТРОН В ПОЛВ ЦБНТРАЛЬНЫХ СИЛ зоб н) Сложение моментов. Найдем угловую часть волновой функции, которая удовлетворяет закону сохранения для полного момента. Поскольку полный момент равняется сумме орбитального и спинового, подобная задача называется задачей на сложение моментов. Для простоты ограничимся приближением Паули, когда спин описывается двухрядными матрицами О'.
В этом случае решение следует искать в виде двухкомпонентной матрицы (19.14) между элементами которой может быть установлена связь, учи- тывающая закон сохранения полного момента количества дви- жения: ,)'Д') =(1.+ —,' Йо')'( ') =Й'1(1+1)( '), Д ( ) (1 + Йоз) (ч ) Йглг(ч ) где 1. = [гр) — оператор орбитального момента, а' — двухком- понентные матрицы Паули. Решение системы уравнений (19.15) И1ЦЕМ В ВИДЕ е) %=С~У1 Ч'з=СзУГ, (19.16) где Уг — шаровые функции (см. 5 10).
Тогда, принимая во внимание, что (.з (ш') =Йз((1+1) (Ч") согласно (19.15), (19.12) и (19.13) имеем — „'("1.) (,,') =(И+ 1) — 1(1+ 1) — '() (,,'), (19. 17) или Ф(1 г( ) Уз + ( Чгн дЧ/! 1 И1 +1( )Ч1 1 Уз) их (19.18) где о =!' (1 + 1) — 1(1 + 1) — з/ (19.18а) Воспользуемся далее соотношениями (10.87) и (10.89) 1.,У1 = — гй — У~ =лгйу1, (19.19) (Ь. ~П-н)Ую = — Й (1+1~ лт)(1~и)У1 ~ ° (19.20) ') При различных значениях ш и ш' сохраняется лишь квадрат орбитального момента, но не его проекция на ось г. р!. и нялятивистская квантовая миханика Отсюда видно, что мы сможем сократить в левых и правых частях (19.18) шаровые функции, если положим т' = пт — 1.
Тогда найдем следующие соотношения между коэффициентами! (г) — »г+ 1)С!+ С =О, (! 9.21) ~/(! + 1 — гп) (1 + т) С, + (г«+ гп) Ст = О. Из условия равенства нулю определителя системы находим два значения величины г«, соответствуюшие двум возможным типам решения: г«=1, ! = ! + —, Ст = — л1/ + С! *), (19.22) !у= — (1+ 1), /=1 — —, Са= ! + С!. (19.23) Коэффициенты С! и Са, определяюшие соотношения между шаровыми функциями, при сложении двух моментов (в данном случае орбитального и спинового) носят название коэффициентов /!лебша — Гордана.
2 Воспользовавшись также условием нормировки Сг+ !.я = 1, Решение пеРвого типа, когда 1=1+ '/ш 1= 0,1, ..., запишем в виде") /г+т Чгг! '+г* = " =У!!! ~+!*!. (19.24) !+1 — т щ~) 2г+ 1 В случае же, если 1=1 — '/а, 1= 1, 2, ... (второй тип реше- ния), волновая функция равна /! — т+! щ ,«ггг-г-'гв 1 '/ 2!+ ! ' «,гг-г-г! !. юя ° !+т щ где У/ — так называемые шаровые спиноры, условие ортонор(а мпрованности для которых имеет вид ф г(~У!'т 'гщ = бг! ба бщщь (19.
26) где /=1+ '/я соответствует случаю, когда спиновый и орбитальный моменты параллельны, а 1=1 — '/я — когда они анти- ч) Кроме того, имеется также другое решение с отрицательными аначеииями й которое мы просто отбрасываем. *') Заметим, что эта саяэь между шароиымн функциями устаианлниаетса только прн наличии спин.орбитального взаимодействия. ДНРАКОВСКИН ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СНЛ зот й 39] параллельны.
Условие (19.26) может быть легко получено, если учесть, что шаровой спинор Уз представляет собой матрицу (!Н- с одной строкой, и также принять во внимание условие ортонормированности шаровых функций. Шаровые спиноры (!9.24) и (19.25) являются спинорным обобщением обычных шаровых функций (см. $10) и представляют собой угловую часть решения для любых задач, связанных с движением частицы с полу- целым спином в поле центральных сил. Подставляя эти решения для функции Ч" в (19.14), находим, что проекция /з полного момента количества движения принимает значения Ь» = дть причем квантовое число лг; равно т~ = пт — '/т.
Для решений первого типа (1=1+ '/9), как видно из (19.24), т может изменяться в пределах от — 1 (гл; = = — 1 — '/т = — /) до 1+ 1 (т~ =1+ '/т =1). Точно так же согласно (19.25) для решений второго типа (1=1 — '/т) число т может изменяться в пределах от — 1+ 1 (оц = — 1) до (лз~ =1)*). Таким образом, наши результаты сводятся к следующему: квадрат полного момента количества движения имеет собственные значения Г 1 ~ '/т, 1 Ф О, = 81 (1+ 1), 1=~,/ 1 0 (19.26а) т.е. квантуется подобно орбитальному моменту, но при этом квантовое число 1, называемое внутренним квантовым числом **), принимает полуцелые значения.
Собственные значения проекции момента на ось г также характеризуются полуцелыми квантовыми числами /« = длтн гл! = — 1', ..., + 1'. (19.27) Исходя из соотношений (19.8) — (19.10), а также правил квантования (19.26а), нетрудно получить важные в спектроскопии формулы квантования скалярных произведений 2( ) 2 (1(1+ ) (+ ) ( + (19.28) ()8)= ! (19 — !9+89) = а (1(1+1) — 1(1+ П-1-з( -1-1)). (19.29) ») Этн пределы установлены с учетом того, что шаровая функция у"' нрн 1ш! >1 обращается в нуль.
»') Зто название.связано с историей вопроса. число ! было введено спек. троскопнстамн до открытия спина чисто эмпирически. Термин «внутреннее» отражал неясные на этом этапе какне-то внутренние свойства частнп, РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 308 !ч. н г) Движение частиц, обладающих спинам, в поле центральных сил. Ротатор. Если мы хотим исследовать движение частицы в поле центральных сил в нерелятнвистском приближении, но с учетом спиновых эффектов, то вместо шаровых функций Ун характеризующих соотношения, в которых сохраняется орбитальный момент количества движения, мы должны использовать шаровые спиноры У~~, характеризующие состояния, в которых и) сохраняется полный момент количества движения (орбитальный плюс спиновый).
Поскольку шаровые спиноры в нерелятивистском приближении составляются из шаровых функций, имеющих одно и то же значение квантового числа 1, то для радиальной части в этом случае получим то же самое уравнение, что и для нерелятивистской бесспиновой частицы, т. е. (19.30) Таким образом, волновые функции длч электрона в поле центральных сил имеют вид Ч~ — И ) (19.31) где шаровой спинор Уг определяется выражениями (19.24) ш или (19.25).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
