Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(20. 19) Для линий серии Бальмера находим следующие расщепления: в'и = (2з, ) — (пр, ), вел=(2з, ) — (пр, ), в<в= (2р, ) — (пз, ), вн> = (2р, ) — (паап ), '"=(2 ') — (пз ) вкз = (2рт ) — (пс(т ), вп' = (2р, ) — (пст, ) (20.20) причем линия (2р„) — (пп',А) должна отсутствовать, так как в этом случае й) = — 2 (запрещенный переход). главное квантовое число может принимать следующие значения: п = 1, 2, 3, 4, ...
Орбитальное квантовое число 1 изменяется в пределах от 1 = 0 (з-состояние) до п — 1. Внутреннее квантовое число 1 принимает значения 1 =1~ '/А (1Ф О) и 1' = '/А (1=0), и, наконец, для квантового числа гп~ имеем: тг = — 1,, +1„ т. е. при заданном 1 оно принимает 21 + 1 полуцелых значений. Таким образом, кратность вырождения, характерная для любого центрального поля, связанная с равноправностью различных направлений, для частиц спина г/А равняется 21 + 1 (напомним, что для бесспиновых частиц она равнялась 21 + 1), Кроме того, в случае кулоновского поля остается еще специфическое вырождение по 1 (так как энергия от 1 не зависит), Поскольку при заданном 1 квантовое число 1 может принимать два значениЯ: 1=1~ '/ь то полнаЯ кРатность выРождениЯ в кУлоновском поле равна 2(21+ 1).
Исключением является состояние с максимальным значением / = и — '/ь поскольку! в этом случае может принимать лишь одно значение: 1=1 — '/А (напомним, что состояние 1= и запрещено). Для него кратность вырождения будет равна 21+ 1. Заметим, что учет любого нару'- шения кулоновского поля точечного заряда (учет конечности размеров ядра, учет вакуумных поправок) полностью снимает вырождение по 1. При определении величины расщепления спектральных линий необходимо учесть правила отбора (20.4). Тогда вместо одной линии серии Лаймана имеем две: вп1=(1з, ) — (пр, ), [ч и РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 326 Заметим, что если вырождение по 1 ве снято, то линии ып~ и ыпч (а также вм> н ыгв) совпадают друг с другом, поскольку начальный и конечный уровни имеют одно и то же значение для главного п и внутреннего 1 квантовых чисел. Аналогичным способом можно определить закон расщепления для других линий.
При этом низшим энергетическим уровнем, претерпевающим расщепление, является уровень п = 2. В случае атома водорода «Я = 1) расщепление этого уровня наиболее тщательно изучалось экспериментально. Вообще говоря, уровень а = 2 должен расщепляться на три, причем согласно изложенной здесь теории два из этих уровней оказываются слившимися: (2гч) =(2Р) = 4 [1 + 4 (2 — 4)1 (20.21) АР'А) 4~ + 4 ( 4И' (20.22) т. е. почти в три раза больше расщепления, найденного по теории Дирака.
Таким образом, учет спиновых свойств частиц несколько уменьшает влияние релятивистскях эффектов. Эксперимент с большой точностью подтвердил правильность выводов теории Дирака. В связи с этим интересно отметить, что тонкая структура спектра атома водорода теоретически впервые была рассчитана Зоммерфельдом по полуклассической теории Бора, причем в основу теории было положено релятивистское выражение для гамильтоннана. Зоммерфельд получил для бесспиновой релятивистской теории выражение (см.
20.22): мат Дэтзомм (2з) (2Р) 16 (20.24) Однако такое совпадение результатов Зоммерфельда и Дирака оказалось до некоторой степени случайным, поскольку В теории Зоммерфельда не были учтены спиновые эффекты, и поэтому он не мог волучнть при п = 2 трех уровней, наличие которых затем было подтверждено экспериментально. Для частоты переходов между этими уровнями, согласно теории Дирака, находим Д '='(2 ь) — '(2 ° )=~— что составляет 1,095.104 МГц. В то же время с учетом лишь релятивистских эффектов (уравнение Клейна — Гордона) соответствующее расщепление равно (см. (17.32)) Дак г=(2з) — (2р)= —.—, (20.23) ззу ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА г) Экспериментальная проверка теории тонкой структуры Большим достижением теории Дирака является объяснение тонкой структуры атомных спектров как проявления релятивистских и спиновых эффектов.
Однако более тщательный анализ не дал полного согласия теории и опыта. Предметом специальных исследований явился вопрос об уровнях 2з, и 2р,, которые, согласно теории Дирака (см. (20.21)), в атоме водорода должны точно совпадать друг с другом. Начиная с 1934 г., спектроскописты высказывали некоторые сомнения в правильности такого теоретического вывода, однако эти исследования с помощью оптического метода были далеки от совершенства. Полная уверенность в правильности экспериментальных данных о сдвиге уровней появилась значительно позднее, после их промера радио- спектроскопическим методом. Радиоспектроскопический метод возник и получил бурное развитие только в послевоенные годы в результате технического прогресса в микроволновой радиотехнике "). Радиоспектроскопия, выделившаяся сейчас в особую область физики, дает ценные результаты при исследовании ядер, атомов и молекул. Радиоспектроскопические методы находят приложение также в физике твердых и жидких тел и др.
В 1947 г. Лэмб и Ризерфорд применили радиоспектроскопический метод к исследованию положения уровней 2в, и 2ру При этом они воспользовались особым свойством 2з, -состояния. Это состояние является метастабильным, т. е. днпольный переход иэ него в нижнее состояние 1в, запрещен правилами отбора, поскольку в этом случае а)= 0 **). Переход из метастабильного состояния возможен или с испусканием двух фотонов (вероятность такого перехода уменьшается по сравнению с разрешенным переходом в 1О' раз), или с предварительным переходом на уровни 2р.
Лэмб и Рнзерфорд поставили своей целью исследовать последний способ перехода. Опишем в общих чертах схему их опыта (рнс. 20.2). Пучок атомов в невозбужденном 1з, -состоянии получается в результате диссоциации молекулярного водорода при высокой темпе- ') Под микроволновым сиерхиысокочастотиым радиоизлучением понимают область электромагнитного спектра, заключенную между длинами волн от миллиметра до десятков сантиметров (1О' — 1Оз МГп). Успех радиоспектроскопии э применении к исследованию спектров атомов связан с тем обстоя. тельстэом, что расстояния между компонентами уровней, расщеплекиых благ годаря релятииистским, сппноаым и эакуумным эффектам, соответствуют длинам иола радиочастотного диапазона.
") Это справедливо для дипольного перехода, однако расчет показывает, что между состояниями 1зу и ззп запРещен также и кэадрУпольиый переход, РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХА!ШКА 328 !ч. !! ратуре (вольфрамовая лечь). Бомбардиру!ощий поток электронов возбуждает далее некоторую часть атомов пучка (примерно один из ста миллионов) до метастабильного состояния 2з, . Метастабильные атомы, в противоположность невозбужденным,при попадании на металлическую мишень легко отдают сво1о энергию возбуждения, вырывая электроны из металла, Электронный ток измерялся чувствительным гальванометром.
Если пучок метастабильных атомов подвергнуть воздействию возмущения, которое вызывает переходы 2э -ь. 2р, то атомы практически мгновенно вслед за этим переходят в !б-состояние, ие успевая достигнуть мишени, в результате чего ток в гальванометре уменьшается.
Рвс. ЗЭ.Э. Схема опмтов Ллибв — Рнеерфордв по експерниентельноиу обнаружению рве' ЩЕПЛСНИЕ УРОВИЕА Зг т Н ЗР гг 1 — Веввфэенеави ПЕЧЬ, ИСПУСКаЮЩЕВ ПУЧОК атОМОВ ВОДО. рода: 3 — ноток електронов, вовбуждвющих втоим водорода; а — радиочастотное поле: 4 — мишень; З вЂ” гальванометр. Такие переходы в опыте Лэмба и Ризерфорда индупировались радиочастотным излучением (вероятность соответствующего спонтанного перехода исчезающе мала), причем при некоторой частоте наблюдается сильное гасящее действие, в результате которого ток на мишень прекращается.
Эта частота оз истолковывается как резонансная, вызывающая вынужденные переходы 2з, -ь2р, или 2зу — 2р, с последующим практически мгновенным переходом на уровень! з, . Энергия Ьго соответствует разности энергий между этими состояниями. Таким образом, открывается возможность весьма точного измерения относительного положения уровней 2з,, 2р, и 2рч *). ') В опытах Лэмба и Ризерфорда фиксировалась волна радиочастотного излучения. Условие резонанса, которое соответствовало разности эсемаиовскил компонент между состопниими ззу и 2Р,~, или 2рчр подбипалось путем изменении магнитного поля йв.
Затем, экстраполируя результаты на случай йй = О, авторы находили сдвиг уровня. ТОПКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА В результате проведенных измерений было установлено, что уровень 2з, сдвинут вверх относительно уровня 2р, примерно на 1/(р часть РасстоЯниЯ междУ УРовними дУблета (2Р, .) — (2РУ), и равного — »». Расположение уровней водородоподобного атогв ма при а = 2, полученное иа основе опытов Лэмба н Ризерфорь да, приведено на рис. 20.3. Для сравнения на том же рисунке рзг гл„ У бг А = го1 — "', К = го1 А. г (20.25) Это магнитное поле ядра должно действовать на магнитный момент электрона 1» = — рба' (а' — спиновые матрицы электрона), в результате чего между ядром и электроном возникает дополнительное взаимодействие, приводящее к сверхтонкой структуре а' ч (г ' ' = — (рймл) = 1»б1»р (а' ГО1 ГО1 — Р) = = 1»р1» ((а'Ч) ((и'Ч) — — (а'а',) Ч' — ) .
(20.26) у(уел г/г дю — т=' гггуг об( г Р»)аг ау с( Рис. ЭОЛ. Расщепление тормоз в атоме водорода. л — зкспериментальные данные( б — по теории дирака (без учета вакуумнык вбхректоа). Частоты соответствующих переходов указаны в мегагерц ах. приведено расположение тех же уровней по теория Дирака. Расстояния между уровнями даны в мегагерцах. Согласно новейшим данным сдвиг уровня 2з, составляет примерно 1057,86 МГц, или в длинах волн 28 ем. Это, казалось бы, ничтожное расхождение теории и эксперимента привело к замечательному прогрессу в квантовой электро- динамике (более подробно см. $21).
д) Сверхтонкал структура спектра атома водорода. Сверх- тонкая структура спектральных линий связана с взаимодействием магнитного момента ядра с магнитным моментом электрона. Если ядро атома водорода (к = 1) обладает магнитным моментом Р = 1»рар(а' — спиновые магРицы пРотона), то оно создает магнитное поле РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !ч !г В первом приближении можно считать, что нет выделенных направлений, и поэтому, учитывая равенства (о'Ч) (о'Ч) = — (о'о') Чз и Ч' — = — 4пб (г), (20.27) будем иметь З !Ао!А~(о пР) б(г) (20.28) т.е. в первом приближении взаимодействие магнитных моментов, так же как н контактное взаимодействие, окажет влияние лишь на з-состояние. Выражение (о'о'), входящее в формулу (20.28), может быть найдено нз следующих простых соображений. Из матриц протона о' и электрона а' можно построить оператор суммарного спина 8 = — (а'+ о'), (20.29) квадрат которого имеет собственные значения ЬР5(5+1), т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
