Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Для 3-состояний (1 = О, / = з = '/й) множитель Ланде до- стигает максимального значения (20А8) Для атомов с двумя электронами на внешней оболочке (например, атомов гелия) наряду с триплетным состоянием Я = 1 возможны также одиночные линии (5 = О, / = Ц. Для последних спиновые эффекты должны отсутствовать. Поэтому мы должны при любых полях наблюдать нормальный эффект Зеемана. Рнс.
20.4. Эффект Зеемапа: а — расположение урне ын беа полк; б — аномальный эффект Зеемана: а — нормальный эффект Зеемана. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [ч и 336 ж) Случай сильных магнитных полей. Эффект Пашена— Бака. Как было указано, аномальный эффект Зеемаиа появляется в случае слабых полей, когда внешнее магиитиое поле ие мои.ет нарушить спин-орбитальную связь. Математически это означает, что ЛЕ"'" [[ойе (см. (20.43)) будет много меньше естественного расщепления ливий с.-о. Асау'ас ЬЕ' ~Еы! — Е„н ! Вз ° определяемого формулой (20.39), т.
е. [[Ес.-о. ~~ А Босси (20.49) ([6.37) ): =( )= - ( (.") где координатная часть волновой функции «Р„! (т) =Е„[(г) У, [д(б, [р) (20.5 !) является решением уравнения Шредингера для атома водорода и описывает иевозмущеииое состояние атома с эиергией Е„= — —, Асахо (20.52) В последнем случае сначала мы должны решить задачу с учетом спин-орбитального взаимодействия и установить связь между шаровыми фуикпиями, образующими шаровой спииор, а затем найти дополнительную энергию, которая приводит к апомальиому эффекту Зеемаиа, поскольку множитель Лаиде д ие равен единице. В случае сильных полей, когда, наоборот, расщеплеиие за счет внешнего магнитного поля больше, чем за счет спин-орбитальиого взаимодействия дЕмссч ~~ 5Ес..о. (20.49а) магнитное поле «разрывает» спин-орбитальную связь, и решение для пулевого приближения через шаровые спииоры (см.
([9.24) и ([9.25)) ие должно иметь места. ТОГда В (20.37) МЫ МОЖЕМ ПрЕНЕбрЕЧЬ ВЗаИМОдЕАСтВИЕМ [т»«л, Ъ" ' и Р'""-м, и поэтому это уравнение с учетом (20.40) прииимает вид (Е+ —" — — ) (,„' ) = [[,Рй ( — ! — + пз)(,„'). (2050) Поскольку в этом уравнении спииовые и координатные перемениые разделяются, то решение его можно искать в виде (см. ззт ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА и определенными значениями орбитального момента = йа((1+ !) и его проекции на ось з, равной Ьиьт.
Для того чтобы волновая функция Ч" удовлетворяла уравнению (20.50), ее спиновая часть должна быть собственной функцией оператора проекции спина 3, на направление магнитного поля. Согласно (!5.47) соответствующие спиновые функции представляются следующими столбцами С(т,): С('/,)=('), лг,='/, и С( — '/,)=(~), лг,= — '/,. (20.53) решение С('/Я) соответствует ориентации спина вдоль магнитного поля (щ, ='/я), а С( — '/,) — против поля (гг4 = — '/я).
Таким образом, полная волновая функция для уравнения (20.50) должна иметь вид Ч'„, = (,„' ) = 11мУ~ "С (~,), (20.54) при этом уровни энергии атома в магнитном поле будут определяться выражением йалР Е= — — „з + роМ(гиня+ 2гпР) (20.55) Чы=СЯНУ1 (О)+СТ1(му! ( ) (20.57) при условии, что С~~+ Ся~ =1. Заметим, что состояние 1з с т = 0 оказывается запрещен. ным. где магнитное квантовое число тк я = — 1, — 1+ 1, ..., 1 — 1, 1, а спиновое квантовое число гп.
= ~'/ь Как видно из равенства (20.55), магнитное взаимодействие приводит к расщеплению уровня Е„на две системы подуровней, о отвечающих значениям п4 = — '/я, т. е. 1АЕмз™ = реМ(гп~ — !), и лг, = '/м т. е. /АЕнв™ = рРЯ(тз+ !). Вводя вместо комбинации ть я+ 2гл, одно квантовое число гл, запишем энергию в виде Ел, ш з + ИО®гп~ ла2~ (20.5б) где гп = гпь т + 2гп,.
Заметим, «то квантовое число гп может принимать 21+ 3 значения: — (1+ 1) ( пг ( 1+ 1, т. е. каждый уровень Е, расщепляется на 21+ 3 подуровня (эффект Пашеиа — Бака). На рис. 20.4, в изображено расщепление 2р-уровня атома водорода. Состояние 2р с т = 0 оказывается двукратно вырожденным, и волновая функция определяется суперпозицией РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. 11 338 Рассмотрим теперь переходы между уровнями атома, связанные с излучением. С достаточно хорошим приближением можно считать, что при таких переходах спиновое квантовое число не меняется, т.
е. Дт. = О. Действительно, для его изменения необходимо, чтобы с полем излучения взаимодействовал спиновый магнитный момент электрона, пропорциональный матрицам Паули и равный по величине магнетону Бора, а это взаимодействие очень мало по сравнению с обычным дипольным взаимодействием. Для магнитного квантового числа имеют место известные правила отбора Дгпг, з — — О, ~1.
Как следует из (20.56), переходы между уровнями при излучении с учетом указанных правил отбора дают обычное триплетиое расщепление частот ДО= ВДт; ДТИ=О, ~ 1, (20.58) где о = рбсТВ/й = еб нэ1'асс. (20.59) Таким образом, в сильных полях (см. (20.49а) ) аномальный эффект Зеемана переходит в нормальный, т. е. вместо четырех компонент расщепления мы получаем три. При этом, как видно из рис. 20.4, в, с учетом еще правила отбора Длт = О, ~! триплетное расщепление, так же как и в теории Шредингера (см. Э 16), определяется соотношением ДО,=ДО,=О,— аз=О, Двз=Два=аз — аб — — о, (20.60) ДО5 = Двб О5 Об о.
Формально нормальный эффект Зеемана можно получить и из рнс. 20.4, б, т. е. из аномального эффекта, если положить д = 1. В особых случаях, когда для одного энергетического уровня ДЕс.'с. ( ДЕмагн а дЛЯ другого Наоберот ДЕс. а. > ДЕмагн ИЛИ когда для обоих уровней ДЕ и ДЕ"'"" имеют одинаковый порядок, зеемановское расщепление становится еще более сложным. Поскольку зги вопросы имеют узкоспециальный характер, мы не будем здесь на них останавливаться.
й 21. ЛЭМБОВСКИИ СДВИГ УРОВИЕИ а) Электромагнитный вакуум. При движении электрона в атоме он Взаимодействует не только с атомным ядром, но также и с нулевыми колебаниями свободного электромагнитного поля, т. е. с электромагнитным вакуумом. Действительно, как было показано в й 9, даже в отсутствие реальных фотонов, т.е. при 1У,А=О, флуктуации электромагнитного поля отличны от нуля (см.
(9.53)). Взаимодействие с вакуумом приводит к тому, что электрон в атоме начинает «дрожать» на своей орбите. В результате он как бы размазывается в пространстве, и вследствие $2Ц ЛЭМВОВСКИЙ СДВИГ УРОВНЕЙ 339 этого меняется его взаимодействие с ядром. Притяжение к ядру ослабевает, и уровни энергии стационарных состояний повышаются. Теория сдвига атомных уровней за счет взаимодействия с электромагнитным вакуумом основываегся на вторичном квантовании электромагнитного поля.
Поскольку соответствующий расчет довольно сложен, то мы приведем здесь полуклассическую нерелятивистскую теорию движения электрона под влиявием нулевых флуктуаций вакуума, предложенную Вельтоном. (21.4) и зскольку созе!созе!= — 6,, 1 аха' при этом бг = О, так как созга! = О. Вспомним, что согласно (9.53) энергия нулевых колебаний равна — =~ — ы. 4я .! аак ~ 9 ВА' (21,5) мь б) Метод Всльгона. В грубом приближении учтем взаимодействие вакуумного поля с электроном с помощью обычного классического уравнения гпзбг = ей;„+ — ', [бган„„] тай'„„, (21.!) где бг — отклонение электрона от равновесной орбиты в атоме, а д*„, — вакуумное поле.
Заметим, что в нерелятнвистском приближении мы отбросили в правой части этого уравнения член с магнитным полем Я„„, пропорциональный () бг')/с) « 1. Разложим напряженность вакуумного поля в ряд Фурье Ю,„, = ~ б'ак соз (гаа,,à — йг) ж ,'Е Жац„соз азах(, (21.2) где гз =йс, а зависимостью от координат можно пренебречь, поскольку й«« 1 (в справедливости этого предположения мы в дальнейшем убедимся).
Каждой гармонике й соответствуют две различные поляризации: Л=1,2. Подставляя (21.2) в уравнение (21.!) и интегрируя, находим смещение координаты электрона под действием вакуумного поля бг = — — ~~~~~ д'ах (2!.3) ааО а В гаах Средний квадрат смещения будет равен (бг) = 'а,'Е(Р ) Ях Екао, „ [ч. н РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 340 Подставим сюда разложение (21.2), сохранив зависимость от г.
и учтем, что — 1 ена-а'1'а(зх = баа . аа Тогда после интегрирования по объему в равенстве (21.5) полу- чим (2!.б) т. е. квадрат фурье-компоненты вакуумного поля равен (21.7) Зто выражение можно теперь испольэовать для вычисления среднего квадрата смешения (21.4): ~.зааз ааз, В последнем равенстве заменим сумму на интеграл по частотам Вз =йе с помощью соотношения ,, =2 ",(зй= да ~~м !Яи)а З вЂ” аа (зп)а ) ') Вз а(гав= — ~аз айэ, (21.9) сл А,А где учтено, что частоты Вз не зависят от поляризации А = 1, 2, и в силу сферической симметрии интегрирование по телесночу углу й дает 4п.
Таким образом, для (бг)з получаем следующий, вообще говоря, расходящийся интеграл (2! .10) В последнем интеграле можно выделить сходящуюся (наблюдаемую) часть, если учесть, что по предположению движение электрона должно быть нерелятивистским. Зто значит, что импульс, приобретаемый электроном при дрожании за счет взаимодействиа с вакУУмом, не должен пРевосходить тас, т. е. гааз ( тзс, откуда следует верхний предел интеграла мааса ав (ез макс Нижний предел езмка получается из условия, чтобы частота дрожания Вз была не меньше частоты, соответствующей энергии 341 $2н лэмговскил сдвиг уровней связи электрона в атоме: мкн а 2,гзлз (21.!2) где 7 — заряд ядра. Подставляя пределы (21.11) и (2!.!2) в интеграл (21.10)', находим (Ь) — ( — ) ! где а = ез/йс = 1/137 — постоянная тонкой структуры *).
Как видно из последнего выражения, вакуумные колебания приводят к некоторой эффективной размазанности точечного электрона, причем размеры соответствуюшей области, по которой «размазан» электрон, определяются средним геометрическим между классическим радиусом электрона г„= ез/тос' и комптоновской длиной волны Х = и/тес: г„„= т/(Ьг)з т/а — = л/ — ', †. (21.14) (21.13) При этом величина йг, которой мы пренебрегли в равенстве (21.2), имеет порядок (тосгл) г„„т/а ч. 1. Вследствие этой размазанности электрона его взаимодействие с ядром вместо обычного выражения !г= — еоФ(г) (ео= — е > 0) (21.!5) Тогда (ЬгЧ) --3(м)'~ (21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
