Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 51
Текст из файла (страница 51)
И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 3!4 сти по (о/е)а с помощью условия «перенормировки» (19.49), находим Отсюда получаем У=1 — —, рэ Вшеасе ' (19.51) в чем нетрудно убедиться, подставляя это значение У в преды- дущее равенство. Поэтому в данном приближении Между прочим, заметим, что в приближении Паули (учитывающем только члены порядка о/с) перенормировочный коэффициент обращается в единицу. Подставляя последние выражения в уравнение (19.41), нахо- дим Š— еФ вЂ” — (Š— еФ) ра ~ (,„' ) = Вптас 2ше 4то~с =(Š— еФ) Р' — йе (ю Р) + ей (о' 14'Р]) (19,54) и 2ш = Р х(Š— еФ) = (Š— еФ) р'+ —,' (УР) + йаетаФ, (19.55) где У= — !УФ вЂ” вектор напряженности электрического поля, а операторы 7 и Еа действуют только на потенциал Ф.
Из (19.55) следует, что р4 (Š— еФ) ре = Р + ййе (Юр) — йтет!пФ. 2ше (19.56) *) Эти соотношения носят операторный характер, и поэтому для их доказательства необходимо оператором р и матрицей о' дейс~вовать еще и на подразумеваемую справа волновую функцию (матрицу).
Для дальнейших преобразований воспользуемся следующими соотношениями *): (о'Р) (Š— еФ) (о'Р) = (Š— еФ) р' — йе (о ю) (о'р) = й и! дирлковскии элвктрон в поле цвнтрдльных сил 818 Подставляя (19.54) и (19.56) в (!9.53), найдем уравнение Ди- рака в рассматриваемом приближении: (Š— еФ вЂ” йе )(~')=У'(~'). (19.57) где дополнительная к нерелятивистскому уравнению Шредингера энергия, имеющая порядок (о/с)2, равна У' = — Р— е (о' !юр) ) + — 'УгФ. (19.58) 8ез 2 4е2с2 веогсг Левая часть уравнения (19.57) описывает движение частицы в нерелятивистском приближении в постоянном во времени электрическом поле.
В правой части этого уравнения стоит дополнительная энергия взаимодействия, описывающая релятивистские и спиновые эффекты. Первый член в правой части последнего равенства узел р йез,г о (19.59) дает поправку на релятивистскую скорость частицы. Аналогичная дополнительная энергия должна появиться также и в релятивистском уравнении Клейна — Гордона. Классический аналог этого члена мы получим, если релятивистское выражение для гамильтониана разложим в ряд, удерживая члены порядка (о/с) '. г рг 77 = л„/игсч + р'сг = и с' -1- — "' ео ос Следующий член разложения характеризует тзк называемое спин-орбитальное взаимодействие ус..о.
ез 4егс' (о' (ТР) ), (19.60) которое описывает взаимодействие магнитного момента движущейся частицы с электрическим полем. П р н меч а н не. Появление этого взаимодействия может быть интерпретировано по классической теории следующим образом: магнитный момент частнпы, движушейся со скоростью о, как пространственная составляюпгая тензорной величины приобретает дополнительный электрический момент, являюпгийся пространственно-временной составляюгдей той же тензорной величины 1 1 иэл = — )яи) = — (ри).
с еос Благодаря появлению р„ электрон получает дополнительное взаимодействие с электрическим полем ядра У"" = — (Жиэл) - — — (о' 18Р) ) ел (19.89) яегсг о рнлятнвнстскдя квантовая махдникд (ч. и зтб В частности, для кулоновского поля ядра сев 7еег Ф вЂ”, Ж вЂ”; е — ео г ' га (19.63) Взаимодействие движущегося магнитного момента с ядром согласно (!9.60) становится равным: хе~ (я.) ро.-о. о 2п'о' ' а где 6 = — и — спиновый, а 1. = (гр1 — орбитальный моменты. Заметим, что спин-орбитальное взаимодействие (19.64) должно отсутствовать для з-состояния, у которого орбитальный момент обращается в нуль.
Последний член взаимодействия, который в случае кулонов- ского поля равен а' 8гпотсз 2гпзосз носит название контактного взаимодействия. Соответствующая ему дополнительная энергия азДконт ~ т(г+ (гконтЧг йз (19.65а) пропорциональная ~ Ч" (0) )а, отлична от нуля лишь для а-состояния (1= 0), поскольку только в этом случае 1 Ч'(0) ~а Ф О. Для всех же других состояний (1Ф 0) этот квадрат волновой функции при г = 0 обращается в нуль. В этом смысле контактный член можно рассматривать как спин-орбитальное взаимодействие для з-состояний. Таким образом, два последних члена в энергии взаимодействия (19.58) характеризуют спиновые свойства электрона.
е) Уравнение Дирпка для нейтрона и прогона. Как известно, уравнение Дирака описывает движение частиц со спином '/э. Оно применимо не только к электрону, но и к протону, и к нейтрону. При наличии электромагнитного поля следует учитывать наличие заряда лщпь у протона, а также наличие у протона и нейтрона особого врожденного магнитного момента, который Это классическое выражение длн энергии взаимодействия в два раза больше соответствующего квантового выражения (см.
19.00)). Заметим, что еще до появления теории Дирака была сделана попытка обьяснить тонкую структуру с помощью полуклассического введения спин-орбитального взаимодействия. Однако, чтобы получить согласие с экспериментом, Л. Томас и советский теоретик Я. И. Френкель предложнлн в классическом выражении для энергии взаимодействия (19.02) поставить коэффициент '/ь Этот коэффициент, который совершенно автоматически следует из теории Дирака, получил название поправки Томаса — Френкеля. Э м) лиялковскип эляктсон в поля цянтвхльных сил 317 получил название аномального. Здесь следует напомнить, что энергия взаимодействия заряженной дираковской частицы с электромагнитным полем $', = еФ вЂ” е(аА) (19.66 (19.66б) где х4 = сс1.
>т"" у гбгг """ г"" г уы" наняться величины !и = ссф+амф (см. (18.32)), где ав — — (аь аь аь П). ) благодаря наличию собственного механического момента ( — а) /в 1,2 содержит в себе также в нерелятивистском приближении еще и дираковский магнитный момент (19.66а) 2тес Однако при переходе к релятивистскому случаю в последнем выражении вместо массы тс мы должны подставить ее релятип2с вистское значение —,, и поэтому с увеличением скорости движения до ультрарелятивистской (а с) дираковский магнитный момент обращается в нуль. Наряду с дираковским магнитным моментом, который проявляется только в нерелятивистском приближении и величина которого определяется зарядом, частица может обладать еще аномальным магнитным моментом, не исчезающим даже в ультра- релятивистском случае и не зависящим от заряда частицы.
Составим теперь выражение для энергии взаимодействия аномального магнитного момента с электромагнитным полем. Энергия взаимодействия (19.66) электрона с электромагнитным полем с точки зрения четырехмерного пространства представляет собой скаляр.
В самом деле, скалярный и векторный потенциалы образуют четырехмерный вектор 1!Р=Ач~ Ас=А» Ас=Ав Ас=Ав Точно так же единичная матрица 7 есть четвергая составляющая матрицы скорости а, = су е). Отсюда энергию взаимодействия (19.66) мы можем представить в четырехмерной записи как скалярную величину У,= — е ~ а„Ая. в 1 Как известно, электромагнитное поле образует антисиммет'рпчный тензор 2-го ранга: дАч дАв (19.67) 1ч. и РВЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МВХАНИКА 818 Отсюда имеем: Мк Мгз !~к = Мзь змв = ®зь оме = Жг Мр = визг, зкт, = Рвзз. (19.68) Поэтому энергия взаимодействия аномального магнитного момента )з с электромагнитным полем должна определяться формулой 1 т )з Х онтевит (19.69) в.т ! где аи, — тензор 2-го ранга, составленный из матриц Дирака '). Воспользовавшись правилом преобразования волновой функции как при лоренцевых (см.
(!837)), так и при пространственных поворотах (см. (18.39)), можно показать, что матрицей, образующей тензор 2-го ранга, являются величины *е) агз = Рзо1 азз = Рзог ам = Рз4гз а41 = — 1Ргпь (19.70) азг = — (Ргаг алз = 1Ргоз. Поэтому энергия взаимодействия аномального магнитного момента с электромагнитным полем принимает вид )г =)з(рз(ОЖ+Рг(ой'Н. (19.71) В качестве единицы измерения магнитных моментов протона, нейтрона и вообще ядер выбирается ядерный магнетон еоа то 1 -гз Рая= 2т = „, ро= 18881 )го=0,505 ° 10 эрг ° Гс 2трс тр который равен дираковскому значению магнитного момента протона (Рд"Р= )з„„) н свЯзан с наличием У пРотона заРЯда (ар=во) и собственного механического момента (т. е.
спина). Здесь лгр является массой протона, а )зо — магнетоном Бора. Кроме этого момента, протон, как показывают экспериментальные данные, обладает еше и аномальным магнитным моментом, равным )з'яся = 1,79)з р ' ял' ") Точнее, тензором 2-го ранга является величина гр+~тЕ. "*) Более подробно смл Соколов А. А. Введение в кваитовуиз электро.
динамику. — М.: Физматгнз, 1988, $19, который и следует подставлять во взаимодействие (19.7!). В противоположность дираковскому магнитному моменту аномальный момент не только сохраняет свое значение в нерелятивистском приближении, но и не исчезает в ультрарелятивистском приближении. 3!9 ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПВКТРА Таким образом, н нерелятивистском приближении общий магнитный момент протона равен — рдиР + ранам — 2 79)з Р Р я ' ях' Поскольку электрический заряд нейтрона равен нулю, то дираковский магнитный момент у него должен отсутствовать. Однако, как показали опыты Блоха — Альвареца, нейтрон обладает аномальным магнитным моментом, равным р„= — 1,91р„„.
Возникновение аномальных моментов протона и нейтрона связано с их ядерным взаимодействием с пи-мезонным полем (сильное взаимодействие а)). $20. ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА ВОДОРОДОПОДОВНОГО АТОМА а) Постановка вопроса. Теория движения электрона в кулоновском поле ядра (водородоподобный атом) по уравнению Шредингера дает выражение для энергии (см. 9 12) Ео = — —, (20.1) согласующееся с экспериментальными данными.
Однако это значение энергии можно принять только в качестве нулевого приближения. Более детальное изучение спектров атомов показывает, что спектральные линии обладают тонкой структурой, которую не может описать теория Шредингера, где не учитывается релятивистская зависимость массы электрона от скорости и спиновые эффекты. Теорию атома водорода с учетом тонкой структуры можно построить с помощью уравнения Дирака. Заметим, что проблему Кеплера по теории Дирака можно решить точно. Однако это решение в магематическом отношении требует весьма громоздких выкладок, более сложных, чем по теории Шредингера. За этими выкладками не всегда удается уловить физический смысл полученных результатов.
Поэтому мы используем более элементарный метод решения, основанный на приближенных формулах предыдущего параграфа. Этот метод позволяет не только получить с точностью до членов порядка Ь) и хз — формулы, характеризующие тонкую структуру, но и дать ') Заметим, что сильное взаимодействие между протонами и нейтронами пРевалирует над электромагнитным лишь на малых ядерных расстояниях поРядка !0™ см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
