Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Поэтому ~рп ! О получается непрерывный спектр, что, в частности, делает возможным «паденне» частицы на центр. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [ч. и При этом мы имеем: з Ез= сз Х р„р„= се(ра+ т'сз'л (18.3) Чтобы установить, каким условиям должны удовлетворять величины а„, возведем обе части соотношения (!8.!) в квадрат.
Тогда в случае, если импульсы ри и р„, коммутируют друг с другом *), найдем с ~~' Х рири~и~и' й,l'., ~, Рври (аваи,+аи,а„). (18.4) и и и т. е. если все четыре величины а„антикоммутируют друг с дру- ГОРИ а„аи,+а,а„=О, !х Ф !л' (18.6) и квадрат каждой из них равен единице аз.= 1. (18.7) Напомнили что аналогичными свойствами обладают также двух- рядные матрицы Паули (см. (16.26) ) о(=(! о) оз=(~ о) оз (о — !) (188) а именно: все они антнкоммутируют между собой (см.
(16.28)), и квадрат каждой из ннх равен единице (см. (!6.27)). Однако для «извлечения» квадратчого корня из четырехчлена необходимо иметь четыре соотношения (18.5) (!А=О, 1, 2, 3), а не три, которым удовлетворяют матрицы Паули. Чтобы обойти эту трудность Дирак предложил взять совокупность четырехрядных матриц о» и р„связанных с двухрядными матрицами при помощи соотношений г Я„О лв о„) (!8.9) р1 = ( !' о' ) ' рз = ( и' о' ) рз = ( о' — !' ), (18.10) *) Они коммутируют друг с другом и прн переходе к операторам, когда отсутствует электромагнитное поле. Таким образом, в квантовом случае сна.
чала необходимо извлечь квадратный корень из оператора для свободной частицы, а затем обобщить полученное уравнение на случай наличия полей. Последнее равенство совпадает с (18.3) только в том случае, когда ава„, + а„,а„= 26„„„ (1 8.5) в гв1 УРАВНЕНИГ ДИРАКА 297 где о'„— матрицы Паули, Эти четырехрядные матрицы удовлетворяют тем же (18.! 1) соотноше- иням, что и матрицы Паули: ООО1 (18.12) (18.13) (18.1ч) о,сгз = — ово, = г'оз и т. д., Р1Рг = РзРг = гРз н т д Последние соотношения мы можем записать в виде озо„+ а 'ов Рзрл + ЄР(18. 15) К этим равенствам мы должны добавить коммутативность матриц о„и р„л о„р„, = р„,о„, (18.15) (18.17) (18.18) и т.
д. Расписывая эти матрицы, мы найдем 'го — о о) 1 О О О ав=р = о о г о (1819) о г о о ΠΠΠ— 1 =(! 1!!) что проще всего доказать непосредственным вычислением, ис- ходя из формул (!8.9) и (18.10). В качестве матриц аь в равенстве (18.1) Дирак предложил выбрать следующие: г' о' а„= р1а„= (,," ) (и = 1, 2, 3), 'з.
'„О'.7 ~о=рз=(о г) которые согласно (18.15) и (18.15) удовлетворяют условиям (18.5). В самом деле, аз=рвов=г', аз=рз=1, о з азаз+ азат = Рвг (оваз+ азов) = О, аваг + а,ав = о, (Рзр, + Р,рз) = 0 РВЛЯТНВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МВХАНИКА !ч. и б) Уравнение Дирака. Плотность заряда и тока.
Переходя к операторам в линеаризованном с помощью матриц а„релятивистском соотношении между энергией и импульсом (18.1), мы получаем уравнение Дирака для свободной частица (Š— Н)ф=О, (18.20) где операторы Е и р, как и обычно, равны Е=И вЂ”, р= — ИЧ, д д! ' а гамильтониан Н определяется выражением Н = с (ар) + рзвззсз. (18.21) (18.22) Поэтому волновое уравнение Дирака прн наличии электро- магнитного поля может быть записано в виде (Р— с (аР) — Рзвзьсз) 4Р = О. (18.23) В соответствии с числом строк и столбцов матриц и и рз вол- новая функция 4) должна иметь четыре компоненты, которые мы объединим в виде матрицы, состоящей из одного столбца: зт! $2 (!8.24) зтз 4(1 4 понимая под сопряженной функцией эрмитоио-сопряженную матрицу, состоящую из одной строки: зь+ = ("ь!ф""Язв) (18.25) Таким образом, матричное волновое уравнение Дирака 418.23) эквивалентно системе четырех уравнений: (Р пззсз) 4(!! с (Р 1РВ) 4(!4 сР зтз 0 (Р— о!Вез) 4РЯ вЂ” с (Р„+ ! Ря) фз + сР,ф4 = О, (Р+ взьс') 4Рз — с(Р, — 1РЯ) 4РЯ вЂ” сР,4Р! = О, (18.26) (Г+лзьс~)зт4 с(Р +зР )ф4+сР тз 0 При движении электрона в электромагнитном поле, заданном векторным и скалярным (А, Ф) потенциалами, мы можем пользоваться теми же уравнениями (18.20) и (18.21), только В соответствии с общими правилами волновой механики В качестве операторов энергии и импульса должны быть взяты их обобщенные значения (см.
(17.5) ): д е Р=И вЂ” — еФ, Р= — И!7 — — А. д! с % 1В1 уРАвнвнив диРАкА Комплексно-сопряженное волновое уравнение также может быть представлено в виде одного матричного уравнения Ф~ (Р— с (ар) — рзтвс ) = О, (18.27) в котором действие операторов И вЂ”, и — ИЧ на волновую функд цию, стоящую слева от них, следует понимать в несколько необычном смысле — ф+18Ч вЂ” ИЧф+, ф+И вЂ” -~ — И вЂ” зР+ (18.28) дС дв Таким образом, уравнения (18.23) и (18.27) могут быть записаны в виде (И вЂ” — еФ) ф — с (а ( — ИЧ вЂ” — ' А)) ф — рзтвсзф = О, (18.29) ( — 18 —, — еФ) ф+ — с ((ИЧ вЂ” -' А) ф+а) — твс'зг+р, = О. (18.30) Умножая уравнение (18.29) слева на ф+, а (18.30) справа на $ и вычитая второе уравнение из первого, получаем соотношение ~, дз вр"зр+си ф+ зр=О.
(18.31) которое можно рассматривать как уравнение непрерывности для плотности вероятности р и плотности тока 1: — р+ б(ч1 =О, д (18.32) где р=езр ф, 1 =есзр+авр. = в =ф с= М"Мзф4) Ч = фА + фзфз+ зрзфз+ ~Ма Ф~ (18.33) т.е. рв является матрицей, состоящей из одного элемента, и по- этому представляет собой обычную функцию. Из последней формулы видно, что матрицу са можно интерпретировать как оператор скорости.
Если раскрыть равенства (18.32), найдем: 1ч. и РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ззо Точно так же легко показать, что о о о1~~з, з'4 ес =ф 1ф=(ф|фзч'зч'з) з( о ! о о /~ 1з ) (Мгфзфз) 1ООО З, зт1 = Мз+ фзфз+ фзфз+ фА. (18.34) Заметим, что здесь в отличие от уравнения Клейна — Гордона плотность рз является положительно определенной величиной. Однако это не означает, что в теории Дирака ро следует рассматривать как плотность числа частиц.
Так же как н в теории Клейна — Гордона, в теории Дирака наряду с электронами должны существовать частицы противоположного заряда — позитроны (см. ниже $ 22). в) Трансформационные свойства волновой функции нри нреобризованиях Лоренца и пространственных вращениях. Согласно специальной теории относительности физические законы не должны зависеть от выбора лоренцевой системы координат. Поэтому как уравнение Максвелла, так и уравнение Клейна — Гордона и уравнение Дирака должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца. Исследуем трансформационные свойства волновой функции Дирака.
С этой целью прежде всего запишем преобразования Лоренца гз'=сзс)зу — хзЬу, х'=хе)зу — с1з)зу, у'=у, з'=г, (18.35) где 1 р в с)зу= —,, ВЬ у=,, й= —. Этому же преобразованию должен удовлетворять любой че- тырехмерный вектор и, в частности, плотность заряда и тока: ср'= срс)з у — 1„В)з у, /; = 1„сну — ср з)з у, 1„', =!„,. Исходя из определения этих величин, по теории Дирака имеем ф'+ф'=ф+(с)зу — а, з)зу)ф=ф+е т"ф, ф'+а1ф' = ф~ (а, сЬ у — ВЬ у) ф = ф+а1е т"'ф, (18 361 ф' аз,зф'=ф+«з зф. Здесь мы приняли во внимание, что е т"=с)зуа1 — зиуа~ —— с)зу — а,зйу, поскольку а'," = 1, а","+' = ан где и — целое число. УРАВНЕНИЯ ЛИРАКА зо! Чтобы удовлетворить последним соотношениям, мы должны положить д ф = ~сЬ вЂ” — а, В!1 — ) ф=в т тх — а, 2 ' 27 ф'+ = $+ (сЬ т — а, зй М = ф+е (18.
37) Тогда, принимая во внимание, что да да та а,е ' '=е ' 'аь аае ' =ез аа, (18.38) легко показать справедливость соотношения (18.36). Из (18.37) видно, что волновые функции преобразуются не как вектор (целые углы у) и не как тензор (двойные углы у), а как полувектор, преобразование которого характеризуется углом —. Велит 2 ' чины, преобразующиеся по закону (18.37), получили название гп11норов или тензоров половинного ранга. Аналогичным способом' можно показать, что при обычном пространственном вращении (например, вокруг оси г на угол 1р) спинор преобразуется по закону ф'=е ф, ф' =ф е (18.39) Последние соотношения следуют из преобразований для век- тора тока !'„= )„соз ф+ !г з!и 1Р, 1„' = 1а соз ф — ! з! и 1Р, !.' = 1„ (18.40) которые в теории Дирака могут быть представлены в виде ф'+а1ф' = ф+ (а1 соз 1р+ аз з!и 1р) ф, ф' азф'=ар~ааф (18.41) а1е ' =а1 ! соз — +1аз з(п — ) = ~~сов — — !а, з!и — )а = -1а,— Ф =е за, 1 1а~- 1а,— Ф Ф ае з=е 'аз, приходим к соотношениям (18.40).
и т. д. Подставляя с1ода значения для ф' нз (18.39) и принимая во Внимание, что РВЛЯТНВНСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МВХАННКА й ЗВ. ДВижянне дИРАКОВСКОгО ВЛЕКтРОНА В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СНЛ )ч. и Однако в теории Дирака, где учитывается также и спин электрона, оператор орбитального момента количества движения не коммутирует с гамильтонианом, т. е. не является интегралом движения. В самом деле, представив гамнльтониан в виде Н = са,р„+ саар„+ са,р, + рзнзесз+ )г (г), (! 9.2) мы видим, что с составляющей *) Ьа = (хр„— уря) не коммутируют два первых его члена НЬ, — Ь,Н = са,ри (р„х — хр„) — са,р„(р„у — ури). (19,3) Принимая во внимание, что (р„х — хр„) = (р„у — ури) = —, а находим НЬе — ЬаН = — (а,ри — азр,) чь О. сл (19.3а) Для того чтобы найти закон сохранения момента для частиц, обладающих спинам, воспользуемся еще соотношением Ноз — азН = ср Р~ (ОРз — оза1) + срир1(азов — озаз) = 2с = —,(а,р, — а,р„).
(!9.3б) Вводя понятие оператора полного момента количества движения й = 1. + 8, (19.4) равного сумме орбитального Ь и спинового 8= — ва (19.4а) А д ") Заметим, что составляюшую Ь, можно записать в внле Ьз ! де' и поэтому в случае центральных сил оиа иоммутирует с потенциальной энергней У(г), и) Орбитальный, сниноеый и полный моменты количества движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
