Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В частности, для ротатора мы можем положить г = а = сонэ!, а радиальную часть волновой функции положить равной единице ()т = 1). Тогда спииовые эффекты в данном приближении не дадут каких-либо дополнительных членов для энергии рота- тора, которая будет определяться выражением, установленным для бесспиновой частицы, т.е. ЛЧ (1+ 1) (19.32) Что касается волновой функции, то она характеризуется шаровым спинором У~ ', поэтому мы должны прежде всего для СЛ. квантовых чисел 1, т1 и ! установить правила отбора, которые должны иметь место не только для задачи о ротаторе, но и для любой задачи о движении частицы в поле центральных сил, в том числе и для атома водорода.
Вместо формул (см. $11), на основе которых были установлены правила отбора для бесспиновых частиц, теперь имеем (!'т ! 1д! !т!) = ф (У)Й) дУЙсЯ, (19.33) причем в последней формуле д может принимать три значения; д = г = соз 6, д = к ~ (у = з!и бе+ 'т (! 9.34) (для простоты примем радиус ротатора равным единице: а=!). Э ив ДИРАКОВСКИН ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ 309 (19.38) Если вместо шаровых спиноров подставить их значения (19.24) или (19.25), то для этого матричного элемента получаем (1'и'/'1 д ! 1гл!) = =Рпл~>(ур ') ф7 'пй-, Солф(уг)'4УГ гЯ (1935) Отсюда видно, что оба интеграла в (19.35) будут точно совпадать с интегралами (11.14) — (11.16).
Поэтому для квантовых чисел 1 и гл находим, такие же правнла отбора, какие были установлены для ротатора без спина, т.е. Ы = 1 — 1' = ~ 1, Ьщ = О (д = г), бт = ~ 1 (д = х ~ (У). (19.36) Найдем далее правила отбора для квантовых чисел т; и 1. Поскольку гл; для обоих типов решений связано с т одним и тем же соотношением: т; = т — '/ь правила отбора для лп и гп должны быть одинаковыми, т.
е. Ьлт~ = О, ~ 1. (19.37) Если при определении правил отбора для 1 рассматривается случай, когда переходы совершаются между состояниями, характеризуемыми одинаковыми типами решений (1' = 1'+ '/з-+ /= =1+ '/х или / = 1' — '/з-~-/ = 1 — '/з), коэффициенты Рп " и С<ГЛ, как видно из (19.24) и (19.25), всегда положительны, и поэтому подобные переходы разрешены.
В этом случае возможное изменение 1 должно также совпадать с изменением орбитального квантового числа 1, т. е. Л/ = М = ~1. В том же случае, когда переходы совершаются между состояниями, характеризуемыми различными типами решений (1' = =У+ '/з- 1=1 — '/з или 1'= à — '/з- 1=1+ '/з), то, учитывая, что И = ~1, получаем три возможных значения для Л1 = О, +2, — 2. Однако здесь следует учесть то обстоятельство, что коэффициенты Рглл и Сич' имеют различные знаки. Более того, оказывается, что при 51 = ~2 оба члена взаимно компенсируют друг друга, благодаря чему этот переход становится запрещенным. При Л~ = О эта разность не обращается в нуль, однако благодаря тому, что оба члена входят с разными знаками, интенсивность излучения становится слабее, чем при переходах между состояниями, характеризуемыми одинаковыми типами решений, когда 51 = ~1.
Итак, окончательно правила отбора для квантовых чисел в поле центральных сил с учетом спина принимают вид 51=~1, Л =О, ~1, ~1 (нормальная интенсивность), 51= О (ослабленная интенсивность). РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1ч. 1! з!о д) Уравнение Дирака в нерелягивистском (паулевском) и слаборелятивистском приближениях. Если с помощью уравнения Дирака мы хотим описать движение электронов со сравнительно небольшими скоростями (и/с « !), то влияние магнитного поля на движение электрона, связанное с проявлением спина, сказывается уже при учете членов порядка в/с (нерелятивистское приближение Паули), в то время как при движении в электрическом поле спиновые эффекты проявляются в членах второго порядка, пропорциональных (в/с)' (слаборелятивистское приближение) ').
Поэтому при сравнительно небольших скоростях мы запишем уравнение Дирака в приближенной форме, учтя в нем лишь величины порядка не выше (и/с)а. Как будет показано ниже, при таком приближении особенно отчетливо вырисовывается роль как релятивистских, так и спиновых членов. С этой целью прежде всего представим уравнение Дирака (18.23) в виде матричного уравнения чч (г( ~ р) — СИ ~ о )р) — тес (о р)1 ~..) Тогда, разбивая его на два матричных уравнения с двухрядными матрицами (см.
(18.17) и (18.11)), мы получаем вместо одного уравнения с четырехрядными матрицами два уравнения с двухрядными матрицами: (Š— тос') ( Р') = с(о'Р) ( 'Ра), (19.39) (Е + тест) ( йэ ) = с (в'Р) ( 'Р' ) . (19.40) и ограничиться только положительными значениями энергии *) Напомним, что в нерелятивистской электродииамнке учитываются чле.
ны первого порядка малости по о/с, поскольку при наличии электрического и магнитного полей величина с, равная скорости света, выражает отношение величин, намеренных в электростатических и магнитных единицах. Релктивпстская электродинамика начинается с учета членов второго порядка Заметим, что последнее уравнение является по форме хотя новой, но точной записью того же уравнения Дирака (см. (18.26) ) . Вообще говоря, в уравнении (19.39) компоненты волновой функции фр зависят от времени, т. е.
фр(г, у). Если же электрическое и магнитное поля не зависят от времени, то мы можем перейти к стационарному случаю эРР(г, !) = ехР [ — — (Е+ тесе) 11 тРР (г) $19) ЛИРАКОВСКИН ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ З!1 Е+ л)ося ) О, выделив из обшей энергии собственную энергию тост. Это оказываетсЯ очень Удобным пРи исследовании движения при сравнительно малых скоростях, когда основной вклад дают нерелятивистские члены. Подставляя (19.40) в (19.39) и сокрашая все члены уравнения на временной множитель ехр~ — — „(Е+ тос ) 1~. мы получим 9 (Š— ЕФ)("Р')=с(о'Р)( '), (19.41) (2тос'+ Š— ЕФ) (~')» а(о Р) ( ~').
(19А2) Из последнего уравнения следует ( ') = — (1 +, ) (а'Р) ( т'). (19.43) В отличие от (19.39) в уравнениях (19.41) и (19.43) компоненты волновой функции ие должны зависеть от времени. Рассмотрим прежде всего переход от уравнения Дирака, представленного (19.41) и (19.43), к уравнению Паули, в котором учитываются лишь члены порядка о/с (нерелятивистское приближение) . тоо Принимая во внимание, что Š— ЕФ = —. мы можем 2 Š— еФ в данном приближении пренебречь величиной — г- по сравне2тос иию с единицей. Тогда из (19.43) найдем (19.44) Отсюда видно, что при положительной энергии компоненты ( ~' ) (1, являются «малыми» и имеют порядок О/с относительно «больс о,~ Р о«) шнх» ( '), поскольку — — — '.
тос с Подставляя (19.44) в (19А1), мы исключим «малые» компоненты, а для определения «больших» получаем (Š— ЕФ) (~~') = — (о'Р)(о'Р) ('Р'). ') Для отрицательных энергий Е-» — 1Е) — тося мы найдем, что, наоборот, компоненты ( ' 1) будут «малымн», а компоненты ( — «боль( 1Р9 l (1Р«) тими», РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1ч. и 312 Далее, принимая во внимание равенство е) (о'а) (о'Ь) = (аЬ) + 1 (о' [аЬ[ ), (19.45) справедливое как в случае матриц Паули, так и в случае матриц Дпрака, имеем (о'Р) (о'Р) = Р'+ ( (о' [Р Р[).
Подставляя сюда значение для е Р=р — — А, С находим [РР[ар = — — '([РА[+ [Ар[) эр. учитывая, что оператор р действует на все Функции, стоягцие справа от него, можем написать: [рА[ар= — [Ар[ар+ ар[РА[= — [Ар[ар+ —,. Жар, где ае" = го1 А — напряженность магнитного поля. Следовательно, [РР[~р= — —,, аеэр. и поэтому (о'Р) (о'Р) = Ра — — (о'ое). Таким образом, уравнение Дирака при учете членов, пропорциональных только о/с, переходит в уравнение Паули (см. (16.20)) (Š— аф — 2т + 2 с (оае)) ар=0.
(19.46) Появление дополнительного выражения для энергии электрона в магнитном поле У"""=-(Ж *) Для того чтобы обосновать это равенство, представим левуго часть (19АЬ) в виде (о а)(а Ь) = [о1а + оэае + оаа ) [о1ЬС + отэе + сгаЬ ). Л г т г г т, г Учитывая, что о, 4 Г и т.д., о,оэ — — — ото1 йга и т.д. (см. (16.27), 16,28)), имеем (а~а)(о Ь) а Ь„+а„Ь„+а Ь +)оа(а„܄— а„Ь„)+ + йга(а с„— а„Ь ) + йг', (а„Ь, — а Ь„), откуда н следует (19Л5). $191 ЛИРАкОвскнй электРОн В поле центРАльных снл З1З автоматически приводит к существованию магнитного момента электрона (!9.47) как следствие теории Дирака находим соотношение (19.48) которое ранее было введено для объяснения опытов Эйнштейна — де Гааза.
Рассмотрим теперь влияние релятивистских и спиновых эффектов на движение электрона в электрическом (например, кулоновском) поле. Для этого в уравнении Дирака мы должны удержать наряду с нерелятивистскими членами также члены порядка (и/с), отбрасывая при этом вектор-потенциал (А = О), т. е. полагая Р = р Кроме того, при переходе в указанном приближении от четырехкомпонентных функций к двухкомпонентным мы должны произвести «перенормировку», исходя из соотношения ф '1ф1ф2фЗф4) 41 ( р!р2) 1, 42 ) ' Ф (19.49) Полагая получим следующее выражение «малых» компонент через «большие» с точностью до величины порядка (о/с)2: (41 ) ~~~«(1 Рт.«2 )(ар)У(у'). (19.50) Принимая во внимание, что (а'р) (а'р) =- р', и удерживая в дальнейшем только члены, не превышающие второго порядка мало- величина которого в теории Паули постулировалась, исходя из анализа экспериментальных данных.
Заметим, что, поскольку этот магнитный момент (его называют кинематическим или дираковским магнитным моментом) появляется при переходе к нерелятивистскому приближению, учитывающему только члены первого порядка малости по и/е, дополнительная энергия Р""" относительно нерелятивистских энергий должна иметь порядок п/с. Принимая во внимание значение механического момента электрона (см. (19.4а)) !ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
