Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 59
Текст из файла (страница 59)
отличным от нуля будет только один антикоммутатор С+С+ СС+ = 1. (22.54) Зтн перестановочные соотношения соответствуют статистике Ферми — Дирака (см. ниже $24). В этом случае мы сможем сделать так, что энергия всех частиц будет положительной как се=1,такисе= — 1. Вообше говоря, если гамильтониан имеет вид Н = Х сйг(( С+ (е = 1) С (е = 1) ~ С+ (е = — 1) С (е = — 1)), то при наличии знака плюс (см., например, поле фотонов, В 9)' при вторичном квантовании мы должны ввести бозевские перестановочные соотношения, при наличии же знака минус — фермиевские. Мы сможем удовлетворить перестановочным соотношениям (22.54), если положим С+С = М, СС+ = 1 — У, (22.55) где Н вЂ” число частиц в состоянии (й, з, е).
Поскольку эти произведения входят симметрично, то вторым решением, удовлетворяюшим уравнению (22.54), будет С+С=! — Н, СС+= У. (22.56) Для того чтобы энергия частиц оставалась положительной величиной, мы должны для частиц с е = 1 выбрать соотношения (22.55), а для частиц с е = — ! соотношения (22.56). Кроме того, в соответствии с формулами (22.45) — (22.48) мы должны положить С (й, з, е = 1) = С(й, з), С+ (й, з) С (й, з) = У,(й), (22.57) С (й, з, е = — 1) = С~ ( — й, з), С+ ( — й, з) С ( — й, з) = У,( — й).
Тогда находим: для функции Гамильтона ") Н = Х сйК (Л1, + Й, — 2), (22.58) *) Если водчиннть дирвковские частицы статистике Бозе — Эйнгцтейна, то мы не смогли бы иэбввиться от состояний с отрицвтельной энергией, тек как гнмильтонивн равнялся бы О ~ сйК (Уе — Уг). (22.88а) в,в ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА звв для трехмерного импульса 6=ХДй(Н,+Й,), для заряда частицы Я=Е2. (М,— У,+2), ,22.59) (22.60) для проекции спина на направление импульса Я= ~ з(М, + М,), где )у', (й) = И,(М, е = 1), М,(й) = )у', ( — й, е = — 1). (22.61) Отсюда можно сделать следующее заключение: только решения, соответствующие статистике Ферми — Дирака, ведут к тому, что оба сорта частиц М, и Я обладают положительной энергией.
Знак заряда обоих сортов частиц будет противоположным, т. е., если частицы Ж, соответствуют электронам, то частицы Я, — позитронам (античастицам). Величина е = ~1 описывает две возможные ориентации спина как у электронов, так и у позитронов. Вектор спина 3, так же как и вектор импульса й, при переходе от частиц с отрицательной энергией к частицам с положительной энергией изменяет свое направление, а величина з, равная скалярномву произведению соответствующих единичных векторов, е = (Йаа ), должна оставаться без изменения. Кроме того, у нас появляется бесконечная нулевая отрицательная энер- гия НР= — х 2сйК и бесконечный нулевой заряд Яо= ~ 2е; (22.62) (22.63) (22.64) нулевое же значение спина и импульса исчезает. Для того чтобы удовлетворить перестановочиым соотношениям Бозе — Эйнштейна (например для поля фотонов), мы ввели бесконечные матрицы как для вторично квантованных амплитуд (см.
формулу (9.38)), так и для состояний, описывающих различное число частиц (см. (9.43)), Эти бесконечные матрицы соответствовали тому, что в любом квантовом состоянии могло быть любое число частиц. Для того чтобы удовлетворить перестановочным соотношениям Ферми — Дирака: С+С+ СС+ = 1, РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1ч. и зво мы должны вместо бесконечных матриц выбрать двухрядные матрицы как для амплитуд: с=.~,',1), с'=(о, оо), (22.65) так и для числа частиц: 1(0)=(,'), 1(1)=(',), причем )(0) описывает состояние, в котором частицы отсутствуют, а )(1) — состояние с одной частицей. Тогда автоматически будут удовлетворены перестановочные соотношения (22.64).
Кроме того, амплитуды С являются операторами уничтожения, поскольку нх действие на функцию от числа частиц по законам матричного исчисления равно С)(0)=0, С)(1)=1(0), (22.67) а амплитуды С вЂ” операторами рождения С'~(0) = ~(1), С'~(1) = О. (22.68) Отсюда видно, что в каждом квантовом состоянии может быть ие более одной частицы.
С помощью равенств (22.67) и (22.68) легко показать, что С+С)(У) = й7) (У), СС )(й() =(! — У) )'(й(), (22.69) т. е. квадраты амплитуд имеют собственные значения (22.55) и (22.56) . $23. ТЕОРИЯ АТОМА ГЕЛИЯ БЕЗ УЧЕТА СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ а) Основные положения. Атом гелия представляет собой про» стейший многоэлектронный атом. Вокруг его ядра с е. = 2 движутся два электрона. Однако уже в такой простой системе от. четливо проявляются основные качественные особенности квантовой теории многих частиц.
В классической теории при наличии двух электронов всегда можно одному электрону приписать индекс 1, а второму — индекс 2, а затем проследить от начала до конца за движением каждого из этих электронов по отдельности. Согласно квантовой теории только в том случае, когда электроны находятся иа большом расстоянии друг от друга, практически их можно перенумеровать.
Когда электроны 1 и 2 находятся настолько близко друг к другу, что имеются такие точки в пространстве, где волновые функции обоих электронов отличны от нуля, в силу тождественности электронов мы не сможем различить, в какой точке пространства находится электрон1 и в какой электрон 2. Подобная неразличимость (или тождественность) электронов является специфической особенностью микромира. Она приводит к специфическим обменным силам, не имеющим классического аналога.
Кроме того, в атомах со многими электронами доминирующее значение приобретают спиновые свойства, которые ни в классической, ни в боровской теории не учитываются. Кстати заметим, что только в атоме с одним электроном спиновые силы играют роль поправок, которыми в первом приближении вообще можно пренебречь. Поэтому теория Бора смогла объяснить ряд явлений только в водородоподобных атомах с одним электроном.
Теорию же атомов с двумя и более электронами по боровской теории построить было нельзя, так как в ней нельзя учесть ни обменных сял, ии спиновых состояний. Чтобы уяснить сущность квантовой теории многих тождественных частиц со всеми ее особенностями, рассмотрим более подробно проблему гелиеподобных атомов, каковыми являются, например, сам нейтральный атом гелия, однократно иоиизоваиный атом 1.1+, дважды нонизованный атом Ве++ и т. д.
теОРня мнОГих чАстиц 1ч. и! 304 б) Основные уравнения. Прежде всего выясним физическую природу обменных сил, связанную с тождественностью, т. е. с неразличимостью электронов. В этом параграфе мы ие будем учитывать спиновых свойств частиц е). Допустим, что положение первого и второго электронов характеризуется соответственно радиус-векторами г! и гт (при этом их начало совпадает с неподвижным ядром) (рис.
23.1). Состояния с квантовыми числами (пь 11, пт!) и (аы 12, тт) соответственно будем обозначать ради краткости через и, и и„ подразумевая под ними совокупность квантовых чисел (и, 1, лт). Для определения движения каждого из электронов в отдельности без учета взаимодеиствия между ними мы имеем уравнение Шредингера вида л (ń— Н1) ф„(г1) = О, (23.1) где тг= —,„, ( —, Ч, Н =т+У, о Рис. 22.!.
Агом ге»и». У1 —— — —, г а индекс / принимает два значения: 1 = 1 — в случае первого электрона, / == 2 — в случае второго. Для энергии Е„при этом получаются значения (см. $ !2) Е„= —— лак» (23.3) «12 а собственные функции ф„должны совпадать с волновыми «1 функциями водородоподобного атома, удовлетворяющими услови1о ортонормированности ~ ф* (.)ф (.) 12» (23.4) Если далее учесть еще взаимодействие двух электронов ех 2 ео ео (23.5) 1Г! — 2,1 гм ' то их движения нельзя рассматривать как независимые, и поэтому для описания полной системы, имеющей гамильтониан Н=Н, + Нх+ У'мы Но+ У', (23.6) ') Это можно сделать, так как задача в данном приближении допускает реп!ение путем разделения пространственных и сливовых переменных. Спин частиц мы учтем в $24. в гз1 АТОМ ГЕЛИЯ ВЕЗ УЧЕТА СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ 36$ мы должны взять уравнение Шредингера в виде (Š— Но — )Г') ф (« „«г) = О.
(23.7) где Š— суммарная энергия, а гр(гь г,) — общая волновая функция, зависяшая от координат как первого, так и второго электронов. Здесь, как и в случае одноэлектронной задачи, величина ф" (гь гг)чр(«ь гг) характеризует плотность вероятности обнаружения первого электрона в положении гь а второго — в положении гг.
Поэтому для гр(«ь гг) условие нормировки принимает вид ~ г)*(гн г,)ф(гы «,) Фи=1, (23.8) где г(ах = с(зх1с(зхг и интегрирование проводится по коордииатаж обеих частиц. Поскольку точное решение уравнения (23.7) встречает непреодолимые трудности, воспользуемся развитым в $8 методом теории возмушений Шредингера "), предполагая, что взаимодействие электронов между собой (эиергия У') вносит лишь малое изменение в независимое движение каждого электрона в кулоновском поле ядра (в дальнейшем точность такого приближения мы оценим более подробно). Рассмотрим сначала нулевое приближение, в котором энергией возмущения )Г' можно пренебречь. Тогда уравнение Шредингера (23.7) принимает вид (Еа — Не) фо (г„гг) = О. (23.9) В связи с тем, что гамильтониан На распадается на сумму двух гамильтонианов Н~ + Нг, каждый из которых зависит только от одной переменной (либо от гь либо от «,), волновая функция в нулевом приближении момсет быть записана в виде и = фж (г,) г(э„(«г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
