Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 63
Текст из файла (страница 63)
й 24. УЧЕТ СПИНА В ГЕЛИЕПОДОБНЫХ АТОМАХ а) Симметричные и антисимметричные состояния. Как было указано в начале $23, квантовая теория многих одинаковых частиц обладает рядом специфических особенностей, не имеющих классического аналога. Основная особенность связана с принципом тождественности, согласно которому состояние системы остается неизменным при обмене частиц местами.
Рассмотрим проявление этих свойств на простейшем примере двух тождественных частиц. Состояние отдельной частицы с радиус-вектором г будем характеризовать тремя пространственными квантовыми числами (л — главное, ( — орбитальное, и — магнитное), обозначаемыми сокращенно через л, и четвертым — спиновым квантовым числом е.
Волновая функция двух частиц согласно упрощенным обозначениям имеет вид Ч'(л„зо т,; лм з„г,), (24А ) ь) Простые расчеты показывают, что в атоме гелия время обмена двух электронов, находящихся соответственно в состояниях 1з и 2з, имеет порядок 10™ с. Если же второй электрон удалить в состояние 10а, то тогда волновые функпии фактически не будут перекрываться и время обмена увеличивается до нескольких лет, т. е.
практически до бесконечности, ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ [Ч 11! Э82 где индексы 1 и 2 относятся соответственно к первой и второй частицам. Введем далее оператор перестановки частиц Р, действие которого на волновую функцию заключается в том, что он меняет местами квантовые числа п1, з1 и пэ, зэ *) у частиц, т,е. РЧ" (и1, з1, «1, 'п,, зэ, «э) =Ч'(п„зэ, «,; иь зн «,). (24.2) Нетрудно найти собственные значения этого оператора РЧ'(иь зн «,; п„зэ, «э)=ЛЧ'(п„зь «,; ие, з„«э). (24.3) В самом деле, как следует нз (24.2), двукратное применение этого оператора Р должно привести систему к исходному состоянию Р'Ч'(ин з„«,; и,, зе, «,)=Ч'(п„зн «б ие, з„«,). (24.4) С другой стороны, из (24.3) следует, что РэЧГ(пь зн «1; пэ, зе «,)=ЛэЧГ(п„з1, г,; пэ, зэ, «,). (24.5) Таким образом, собственные значения оператора перестановки равны Л=~ 1.
(24.6) Этот результат означает, что при перестановке частиц местами волновая функция либо остается без изменений: Л = 1 (такие функции называются симметричными) Ч" (п„з1, «б пм з„«э)=Ч" (п„зе, «1', п1, з1, «е), (24.7) либо меняет знак: Л = — 1 (такие функции называются анти- симметричными) Ч"'(п1, з1, «,; пе, зэ, «э)= — Ч" (пэ, зэ, «1, 'п1, з1, «э).
(24.8) Квантовая механика утверждает, что совокупность тождественных частиц может находиться в состояниях только с определенным типом симметрии. В частности, в природе реализуются либо симметричные состояния (волновая функция симметрична), либо состояния антисимметрнчные (волновая функция антисимметрична). б) Статистики Ферми — Дарана и Бозе — Эйнштейна. Как известно, тождественные частицы делятся на два класса с принципиально различными статистическими свойствами. Различия в статистических свойствах оказываются существенно связанными со спином частиц. В частности, оказывается, что частицы с полуцелым спином (в единицах постоянной Планка- й; з = '/э, э/э, ) подчиняют- *) Это эквивалентно перестановке обеих частиц. УЧЕТ СПИНА В ГЕЛИЕПОДОБт!Ых АТОМАХ ся статистике Ферми — Дарана (ферлгионы).
К числу фермнонов относятся, например, электроны, протоны, нейтроны, мю-мезоны (спин у всех равен !/г). В отличие от фермионов частицы с целым спинам (з = О, 1, ...) подчиняются статистике Бозе— Эйнштейна (бозоны). К числу бозонов относятся, например, пимезоны, ка-мезоны (спин равен О), фотоны (спин равен 1) и т.д. Не имея возможности детально останавливаться на анализе статистических свойств совокупности частиц, укажем, что в случае статистике Бозе — Эйнштейна в каждом состоянии может находиться любое (без ограничения) число частиц.
В случае жв статистики Ферми — Дирака в каждом состоянии, характеризуемом четырьмя квантовыми числами, может находиться не более одной частицы (см. $22). Эта характерная для фермионов особенность была установлена эмпирически Паули (1923 г.) еще до создания квантовой статистики и известна под названием принципа Паули (запрета Паули). Для того чтобы установить связь типа симметрии состояния со статистикой, рассмотрим систему двух частиц, каждая из которых описывается функциями тр„м (т,) и ф„„, (г,).
Для описания фермнонов мы должны составить из этих функ. ций антисимметричное решение а) Ч" = — (тр„, (г,) тра а (е,) — тр„ы (г,) тра а (г,)), (24.9) поскольку состояние, когда обе частицы обладают одними и теми же квантовыми числами (24.! О) и! = нг~ з! = зм становится невозможным, так как волновая функция (24.9) обращается в нуль: Ч'(п!, з„е,; п„зь ег)=0, (24.11) что находится в согласии с принципом Паули. Точно так же для описания базанов следует взять симметричное решение Ч" = — (тр„м (г,) тр„ы (г,) + трам, (е!) тр„, (е )), (24.12) ') Мы предполагаем, что функннн фа,з, н ф„, взаимно ортогональны н нормнрованы на еднннцу, Поэтому длн нормировки Чга введен множ - ! тель —. ТЕОРИЯ МИОГИХ ЧАСТИЦ !ч и! 384 которое не запрещает наличия в одном и том же квантовом со- стоянии (см.
(24.!0)) обеих частиц, поскольку Чм (пь з2, г2! и!, з!, г2) Ф О. (24. 13) е) Связь Рессела — Саундерса и (11) -связь. Поскольку в дальнейшем мы будем иметь дело с двумя электронами, то для нх описания следует взять антисимметричное решение (24.9). Одяой из важнейших задач, которая при этом возникает, является установление порядка сложения четырех моментов: двух орбитальных (1! и 12) и двух спиновых (з! и з2). По классической теории этот порядок был бы совершенно безразличен.
По квантовой же теории это не так! Согласно векторной модели сложение векторов должно происходить под такими углами, чтобы в геометрической сумме мы имели либо целое, либо полуцелое значения в зависимости от того, является ли алгебраическая сумма целым, либо полуцелым числом. Поэтому сложение этих четырех век!оров мы можем произнес~и двумя путями. Можно сначала сложить по отделыюсти орбитальные и спиновые моменты (в сумме мы должны иметь целые числа) ,5=1!+ 12, З=з!+82, (24.!4) (24.!5) а затем найти общий момент (целое число) (24.16) Такая связь носит название !.Б-связи или сааза Рессела — Саундерса.
Она соответствует наличию двух независимых законов сохранения для орбитальных (см. (24.14)) и спиновых (см. (24.!5)) моментов. Чаше всего она осуществляется у легких элементов (см. ниже). Возможна и другая схема сложения моментов, а именно: вначале можно сложить для каждого электрона спнновый и орбитальный моменты (полуцелые значения): Ь =1!+ з2, 12 12+ з2~ (24. 17) (24.!8) Такая связь называется (!!)-связью и встречается преимущественно у тяжелых элементов. Очевидно, что суммарное зна- а затем найти полный момент обоих электронов (целое значение) Х=Л+й (24.19) УЧЕТ СПИНА В ГБЛИЕПОДОБНЫХ АТОМАМ 3!5 чение всех моментов в обоих случаях по квантовой геометрической модели может быть различным: у. + 8 чь Ь + Ь (24.20) Осуществление той или другой связи зависит от соотношения между кулоновской энергией двух электронов и энергией спинврбитального взаимодействия.
Кулоновская энергия взаимодействия между двумя электронами (см. формулу (23.39)) равна К ~ Ри Юров(гв) а д 2рй (24 2П 1 г~ — гг ~ Спин-орбитальное же взаимодействие определяется выражением (см. (20,9)) Е' '= ' (~((.$) — ) ° Я на'ао. зоввов ~~ гв ) Оно при 2 =2 оказывается значительно меньше кулоновского, поэтому для атома гелия осуществляется рессел-саундерсовская связь. Как видно из последней формулы, порядок величины спин- орбитального взаимодействия сильно зависит от заряда ядра Л( Е"), так что для больших значений л (тяжелые элементы) величина Е'- ' может оказаться существеннее, чем кулоновская.
В этом случае реализуется (Д)-связь. г) Волновая функция атома гелия с учетом саина. Рассмотрим более подробно волновую функцию атома гелия, где взаимодействие спинов и орбитальных моментов электронов долж. но носить характер рессел-саундерсовской связи. Поскольку в последнем случае независимо складываются орбитальные и спиновые моменты, волновая функция может быть записана в виде произведения двух частей, одна из которых зависит от спиноз частиц, другая — от их координат. Учтем, что волновая функция должна быть антисимметрична относительно перестановки четырех квантовых чисел Ч' = С (зп з ) врв „(гп г ) = — С (гм з,) вр„~ (гп г ) = = — С(зм з,) вР„„(гв, г,), (24.23) причем здесь перестановка координат эквивалентна перестановке не четырех квантовых чисел (пространственных и спиновых), как в (24.9), а только трех пространственных.
Это реализуется в двух случаях: либо в случае, когда функция является симметричной относительно спиноз и антисимметричной относительно координат, либо наоборот. Поэтому мы имеем следующие два 13 А. А, Соколов в др. РГ. ПГ ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТГГЦ 386 типа решений "): Ч" = С' (з„з,) ф„' „(»н»,), Ч' С (эн з ) Ф'„„(»н» ). (24.24) (24.25) Напомним, что координатная часть волновой получена (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
