Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(23.10) В самом деле,. подставляя (23.10) в (23.9) и учитывая (23.1), имеем (Ео — Но)и— = (Ео — (Н, + Н ))ф„(«,) ф (г,) = — Еои — (ф («,)Н,ф (г,)+ф (г)Нф (г))= =Еои — (чр„(«)Е„ф (т,)+ф„(г,)Е ф (г))= = (Ео — (Е„+ Е„)) и = О. "1 Поставленнаи задача представлиет собой проблему трех тен н не может быть решена точно даже в илассичесхом приближении.
Поэтому ее исследование мы проведем с помощью приближенного метода теорви возмущений. [ч мг теогия мнОГих чхстнц Збб Отсюда находим значение энергии в нулевом приближении Ео Е (Е (23.11) где Е„, и Е„, — энергии каждого из невзаимодействуюших между собой электронов. Этот результат можно интерпретировать следующим образом. При отсутствии возмущения )Г' движение электронов определяется их взаимодействием с ядром Ееы т. е.
полностью описывается уравнением Шредингера (23.1), имеющим в качестве решений собственные значения Е„(см. (23.3)) и собственные функции ф„р Так как один из электронов находится в состоянии пь а второй — в состоянии пм то при Г = О полная энергия системы равна Е„+ Е„. В силу же независимости движения электронов общая волновая функция, имеющая, как известно, статистический характер, равна произведению соответствующих двух независимых одноэлектронных волновых функций. Однако путем непосредственной подстановки в уравнение (23.9) нетрудно убедиться, что наряду с первым решением (23.1О) при том же значении энергии (23.11) существует еще второе решение (ф' = и) и = ф„(г,) ф„(г,), (23.12) отличающееся от и перестановкой электронов. Теперь уже первый электрон находится в состоянии пм а второй — в состоянии пь Таким образом, рассматриваемое состояние системы имеет дополнительное вырождение, которое целиком и полностью обусловлено неразличимостью электронов, его называют обменным вырождением.
Если оба электрона находятся в одинаковых состояниях п~ = пм то волновые функции и и о становятся равными, и обменное вырождение не должно иметь места, так как и = о = ф„(г,) ф„(е ). (23.12а) В случае же п1 Ф пз функции и и и различны, и поэтому в качестве общего нулевого решения фэ уравнения Шредингера (23.9) следует взять линейную комбинацию ф'=С,и+ С,, (23.13) где С~ и Сз — произвольные постоянные коэффициенты, связанные между собой лишь условием нормировки фе ~>е с(бх АТОМ ГЕЛИЯ БЕЗ УЧЕТА СПИНОВЫХ СОСТОЯНИИ 367 Для того чтобы найти значения коэффициентов С1 и Сь а также уровни энергии Е возмущенной системы (т. е. при учете взаимодействия У'), следует искать согласно методу теории возмущений решения для Е и ф в виде Е=ЕЯ+Е', ф фо + ф~ (23, 14) (23,17) Для решения этой задачи используем первое приближение уравнения Шредингера (23.7), которое в данном случае может быть записано в форме (Е' — Но) ф' = — (Е' — У') (С,и + С,о).
(23.15) Пользуясь теоремой об ортогональности, согласно которой решение однородного уравнения невозмущенной задачи должно быть ортогональным правой части соответствующего неоднородного уравнения (см. (8.13)), и учитывая, что в нашем случае решениями невозмущенной задачи являются функции и и о, имеем ~ и*(Е' — У') (С,и + Сэо) ~(кх 0 (23.16) ~ о*(Е' — У')(С,и+Сто) Фх=О. Если теперь в уравнении (23.17) сделать замену гз на г1 и г1 на гь то в силу того, что функция о (см.
(23.12)) прн этом перейдет в функцию и (см. (23.10)) и наоборот, причем энергия возмущения остается при этом без изменения, так как )г, — г,( = (гэ — г| ), второе уравнение примет форму ~ и'(Е' — У') (С~и + Сго) Г(ех = О, (23.17а) Поэтому, проделав в дальнейшем преобразования лишь с уравнением (23.16), мы можем обобщить полученные результаты также и иа уравнение (23.17а) путем замены в конечных результатах С~- Ст и Се-+.Сь Подставим в уравнение (23.16) вместо функций и и о их явные выражения из (23.10) и (23.12) и введем обозначенияГ ф"„, (,) Ф„, (,) = ри (,), (23.18) Ф"„ (г,) Ф„ (г,) = р (г,), (23.19) Ф'„,(,)Ф (,)=р„(,), (23.20) Ф'„, (г ) ф„, (г ) = р, (г,). (23.2!) Здесь ри(г1) и рм(га) характеризуют распределение плотности вероятности в пространстве электронов, находящихся соот- ткооия многих члстии (ч.
ги 888 ветствеиио в состояниях л| и аъ а р1а(г~) и рм(г,) описывают так иазываемую плотность смешанного*) (или обменного) состояиия, когда каждый из электронов частично находится и в состоянии аи и в состоянии пе. Принимая во внимание также, что в силу условия ортоиор- мироваииости и "и с('х = ~ ри (г,) с('х, ~ Р„(ге) амха = 1, и о а(ах = ~ рм (г,) с(ах, ~ рм (га) с(ахе — — О, приводим (23.16) к виду Ри (гд Ри (ге) а ю Ри (гд Рм (ге) м амх~ = О. ),"~ о3 1г,-г( " "а о3 !г,-га) (23.22) Первый из интегралов в выражении (23.22) представляет собой энергию кулаковского взаимодействия двух электронов К 2 1 Ри (гд Рее (гй) ам = ОД 1„ г 1 е ~ Ри (г~) Ри (ге) (е (23.24) ~г, — ге) соответствующую взаимодействию двух электронов, когда каждый из иих находится в смешанном состоянии а1 и пе.
В противоположность кулоиовской энергии К, обмеиная энергия А ие имеет классического аналога и носит сугубо квантовую природу. Пользуясь соотношениями (23.23) и (23.24), вместо (23.22) получаем уравнение С~ (Е' — К) — С,А = О. (23.25) Второе уравнение, т.
е. уравнение (23.17а), мы найдем, если, как было уже указано, в (23.25) произведем замену Са -~ С1 и С, -~ Са.. С, (Е' — К) — С, А = О. (23. 26) Из двух последних уравнений иаходим: 1) Е' = К + А, С, = Се, и 2) Е' = К вЂ” А Се = — Са. (23.27) (23.28) ') Заметам, что ати плотаоста не вмеют класскческого ааалога. Второй же интеграл характеризует так иазываемуео обменную энергию % гн АТОМ ГЕЛИЯ БЕЗ УЧГТА СПИИОПЬсх СОСТОШснй Зоа В соответствии с этим для волновой функции для полной энергии находим также два решения: 1) симметричное фт = С, (и + о), Е' = Ез+ К + А, (см. (23.13)) и (23.29) (23.30) и 2) антисимметричное ") ф'=С,(и — о), (23.31) Е'=Ее+ К вЂ” А.
(23.32) Чтобы определить коэффициент Сс, воспользуемся условием нормировки волновых функций ф' и ф' ~ ф*'ф'сс х = ~ ф*'ф' с(зх =!. 1 Тогда получим 2С'=1, или С ==. Таким образом, для фс' .ТС2 и ф" окончательно имеем '*) с чр' = — (и+ о), ф'==(и — о). у'2 (23.3!а) т. е.
никакой обменной энергии здесь не возникает. Для волновой же функции получается одно-единственноесимметричное решение: тр' = и = ф„(гс) ф„(га), (23.35) ') Напомним, что прн перестановке координат (т. е. при замене гз на гс н г, на гс) функции и и е переходят одна в другую. Поэтому волновая функция ф' в результате такой операции не изменяет своего знака (симметричная функция), в то время как функция ф' изменяет его яа противоположный (антнсимметричная функция). ") Здесь, так же как н в эффекте Штарка (см. $ !3), возмусцеине сни'мает вырождение, и поэтому коэффициенты Сс и Сь которые в нулевом приближессвя из-за вырождения оставались неопределенными, принимают опре.
деленаые значении. В том случае, когда оба электрона находятся в одном и том же квантовом состоянии (ис = аз), функции и и о, как уже отмечалось выше, будут тождественными. В этом случае уравнения (23.!6) и (23.! с) сводятся к одному: $ сс' (Е' — (г') и ссзх = О. (23.33) Отсюда легко видеть, что Е'=К, (23.3 !) ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ р!. и! 370 соответствующее энергии системы (23.36) Резюмируя, можно сказать, что, применяя метод возмущений к рассматриваемой проблеме, мы приходим к одному из двух типов решений — либо симметричному, либо антнсимметричному, что находится в полном согласии с общей теорией систем тождественных частиц (см.
ниже). в) Кулоновское взаимодействие электронов. Найдем выражение кулоновской энергии двух электронов, которые находятся в наиннзших энергетических состояниях (и! = пз —— !). В этом случае энергия каждого электрона и его волновая функция будут соответственно равны 3 ео Е,= — —, зр!(г)==~ — ) е ™ (2337) ,7Ь ~.,) а' где ае —— — — радиус первой боровской орбиты. гнсео Для кулоновской энергии взаимодействия двух электронов имеем ~,~х(г ) „~т(г ) з йв (23.38) 323зе Г К = — о ) гз йг е тлоль ~ г е о г, йга.
(23.38 а) Примечание. При ввтегрированни по углу 0(л = созе) мы учли со. отношение ! — при 2 ! аи , т1Г1СЧ вЂ” и,,* г! г! (гь г! > гь Прннимаи во внимание, что выражение !р! (г,) !р! (г ) симметрично отно. сительно переменных г, и гъ мы можем ири вычислении интеграла заменить в случае г, ~ гз радиус г! на гз н радиус гз на г!. Тогда найдем дли (23,33) Здесь ~ г, — т ~ = ~/гт! + г' — 2г, г, соз Ф, а б — угол между векторами г, и гт. При интегрировании в (23.38) направим ось г по г!. Тогда, подставляя сюда вместо волновых функций !р! их выражение (23.37), в результате интегрирования по углам находим 4 м! АТОМ ГЕЛИЯ БЕЗ УЧЕТА СПИНОБЫХ СОСТОЯНИИ 871 тот же результат, если положим Е 4 — пРи Г, (Гг, 1 Гг О пРи Г~ > Гг. Далее, интегрируя по Г, и Гг, окончательно получаем 5 Лего К= — — ' (23.39) Учитывая, что нулевая энергия в этом случае будет равна л еог Р 2Е о (23.
40) ао получаем для полной энергии двух электронов, находящихся в низшем состоянии, следующее выражение: е2е2 5 е2 Е =.Р+ К = — — + — Š—. о о ао 8 ао ' (23.41) В качестве примера применения формулы (23.41) найдем теперь энергию ионизации атома гелия, т. е. ту энергию, которую необходимо затратить, чтобы вырвать из атома один электрон, находящийся на первой орбите. Для однократно ионизованного атома гелия (т.е. водородоподобного атома) энергия связи электрона с ядром равна просто Е1 (см. (23.37)). Отсюда для энергии однократной нонизации гелнеподобного атома находим Ь" "=Е, — Е = — '(г — — г), 2аю 4 (23.42) т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
