Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 64
Текст из файла (страница 64)
$ 23), При п1 чь пт имеем Ф'„„,(.н т,) =+(и+.), Ар'„„(»„» ) = = (и — о), функции нами (24.26) (24.27) где и = ф„(»,) ф„(»,), =ф„, (,) Ф„Л~,). (24.28) Обратимся теперь к исследованию спииовой части волновой фуниави двух ллеитроиетв. В олучае свини йесселе — Саундерса спииовые моменты .складываютоя независимо от орбитальных. Спиновые функции для каждого электрона выберем в виде собственных функций оператора проекции спина ма ось и (24.29) а также оператора квадрата спииового момента л' Зт = — (о' + о'+ от).
(24.30) Здесь двухрядные матрицы Паули.о (см. (16.26)) мы.будем писать 'без штриха: (Г О)' о' (Г О)' оа=(О -1)' ') Обе функции Ч" я Ч" являются актнснмметрнчнымн ярн яереставовке всех. четырех.квантовых чисел. В данном случае. индексы у атнх функций он. ределяют.хррактер снмметрнн относительно пространственных координат, Спиновая функция С = 1 ' 1 одной частицы удовлетворяет, (ее) таким образом, двум уравнениям: ЗЯС= —,(от,+о',+о',) (,") =йтй~(,').
(24.32) Учитывая, что о',=1 и т. д., из уравнения (24.32) находим Хт — — а/о Матричное же уравнение (24;31) для определения А~1 $2Н УЧЕТ СПИНА В ГЕЛИЕПОДОБНЫХ АТОМАХ 387 эквивалентно системе двух однородных алгебраических уравнений: с4 ('/2 — Х~) О, с2 (4/2 + Л!) О (24.33) из которых следует, что существуют два решения, соответствующие двум возможным ориентациям спина относительно оси Ес 1) д,='/2, с,=1, с2=0. При этом спин. направлен параллельно оси г. Волновая функция, принадлежащая собственному значению '/2, имеет вид (см.
(16.48) ) (24.34) 2) ),4 — — — '/,, с~ — — О, с,=1. В этом случае спин направлен антипараллельно оси е. Соответствующая волновая функция равна С( — /2)=( ) (24.35) В решениях (24.34) и (24.35) в скобках у амплитуд С указано значение проекции спина на ось г. Нетрудно заметить, что обе спииовые части волновой функции удовлетворяют условию ортонормированности. Действительно, если под сопряженной (точнее, эрмитово-сопряженной) спиновой функцией понимать, как обычно, матрицу из одной строки С+ = (с",с',), то из (24:34) и (24.35) следует, что С'('/,) С('/,) = С'(-'/,) С(-4/,) =1, (24.37) (24.38) 13' С+ (4/2) С( — 4/2) = О. Действие же матриц Паули на спиновые функции (24.34)' и (24.35) будет следующим: О,С(~4/2) =С(~'/2), озС(~4/2) = ~ 2С(4-'/2), озС(*~/2) = ~ С(~~/2).
Прн наличии двух электронов оператор проекции полного спина на ось г, а также оператор квадрата полного спина соот- ветственно равны 5, = 8', + 8 = '/,й (о,'+ а"), 32= 82(з/ + '/ (н'о")) теория аиюпм частиц 1ч 1и 388 Здесь штрих и два штриха у матриц Паули означают, что эти матрицы должны действовать на спиновые функции соответственно первого (С'(-~-'/г)) и второго (Сл(ч-'/г)) электронов. Из спиновых функций обоих электронов мы можем составить три симметричные комбинации: С~ =С (/г)С (/г) Сг С ( /г)С ( /г) Сз = — (С' ('/,) С" ( — '/,) + С' ( — '/,) С" ('/ )), ч/2 (24.39) п одну аитисимметричиую: С' = = (С' ('/г) С" ( — '/г) — С'( — '/г) С" ('/г)). (24.40) ч/2 При действии спиновых операторов на аитисимметричную спиновую комбинацию (24.40) аналогичным путем легко пока- Для того чтобы найти ориентацию спина относительно оси г, подействуем на спиновые симметричные функции оператором (24.37) .
С помощью равенств (24.36) можно показать, что Я,С~ = ЙСь (24 А!) 3 Сг = — йСг, (24 А 2) З,Си=0, (24.43) т. е. в состоянии С~ спины обоих электронов направлены по оси в(77), в состоянии Сг — против оси а(44) и в состоянии Сз — перпендикулярно к оси г( ). Для того чтобы найти абсолютное значение общего спина, воспользуемся соотношением, которое легко получить, учитывая (24.36): 3 Сь г, з = Й ['/г+ '/г(п'и")] Сь г, з = й 5 (5+ 1) Сь г, з (24.44) где Я = 1, т, е. общий спин симметричного состояния равен единице (спины обоих электронов параллельны).
Учитывая (24.36), равенства (24.411 — (24А4) можно получить по слс. дующей схеме: (оз+ озм/ С',= С' (г/ )о,С (г/1+ С (~/ )ооС» (г/1 2С'(г/1 Сл (/ ) = 2Сс (и о") Сг~ огС' (г/г) о",С" (г/1-1- о'С' (г/ )о"С" (г/ 1 л + озС'('/г) оз'С" (/г) = С'( — г/г) С" ( — г/г) — С'( — ~/,1 С-1 г/,1.4 + С (/г)С (/г)=С~г в т. д, (24.461 $241 УЧЕТ СПИНА В ГЕЛИЕПОДОЬНЫХ АТОМАХ зать, что ззС» = йз(з/ + 3/з (О'а")) Сэ = О, В,С'= О, (24.46) (24.47) т. е. антисимметричное спиновое состояние С' описывает случай, когда спины обоих электронов направлены антипараллельно друг другу.
В случае, если оба электрона находятся в одном и том же состоянии и! = пз, существует только одно решение с симметричной координатной частью (см. замечание к формуле (24.24)) Ч" = С' (зь з,) ф', (24. 48) тр = и = тргл (!',) т!>„, (г,). (24.49) (Гэ. э) ~ ф (Г!, Гз) (Г! + Гз) »Р (Гз, ГЗ) йах = = ~ ф (гз, г,) (г, + Г,) тР' (Г„г,) йах = — ~ т!! (Г! ГЗ)(!'! + аз) т)3 (Г!, Гз) й Х, (24 гбО) оказывается равным нулю, поскольку *) (г,,) = — (г,,) =О. (24.5! ) ') В (24.50) мы произвели замену переменных интегрировании н воспользовались свойством симметрии волновых функций, д) Пара-, ортогелий. Мы получили волновые функции, которые характеризуют две системы состояний.
Одна система состояний (ларагелий) имеет место, когда волновая функция симметрична относительно перестановки координат (см. (24.25)) н общий спин равен нулю, другая (ортогелий) — когда волновая функция антисимметрил- "ее~~ иа относительно перестановки »йе ° Ф координат (см. (24.24)) и об- -ел щий спин равен единице (рис. Лараеелий Ортаеелий 24.1). Заметим, что оба типа ЕТОМОВ ГЕЛИИ ПараГЕЛИЙ И Р»к 24.!.
Оаэектэц»» с»к»»э электронов ортогелий — являются замкнутыми, т. е. Ие переходящими друг в друга. В замкнутости обеих систем можно убедиться непосредственным расчетом. Действительно, матричный элемент, соответствующий дипольному переходу из ортогелия в парагелий (дипольный момент системы пропорционален г!+Ге): ~ч.- п1 твогия многих частиц е) Энергетический спектр атома гелия. Общий орбитальный момент С, получающийся в результате сложения орбитальных моментов двух электронов 11 и 1г (рессел-саундерсовская связь), должен принимать целочисленные значения.
В частном случае, если 11 =1г=1 .(оба электрона в р-состоянии), общий орбитальный момент может быть равным Е = 2, 1, О. 'Это соответствует сложению моментов по векторной модели: 1) 1.=2. Моменты параллельны: 1,(') 1ь 1.=1~+ 1э= 2. 2) А =!. Складываемые моменты расположены под углом 60'. А=11+1г — 1=1. 3) 1.=0. Моменты антипараллельны: 1,((1м |.=1, — 1э —— О. В общем случае при 11 ) 1э число 1, принимает всевозможные целые значения 1.=1~+ 1м 1, + 1э — 1, 1~ + Ц вЂ” 2, ..., 1~ — 1м (24.52) В отличие от водородоподобного атома,.термы сложных атомов с определенным орбитальным моментом Ь обозначаются большими латинскими буквами: л. = О, Э-состояние; Ь = 1, Р-состояние; Ь = 2, .В-состояние; 1.=3, Р-состояние и т. д.
Мультиплетность этих термов определяется согласно векторной модели числом значений, которые может принимать при заданном Ь полный момент количества движения 1 = л'. + Э, 1. + 5 — 1, ..., ~ 1. — 8 1 (24.53) Отсюда видно, что число этих значений при 1.~)8 равно э =23+ 1, (24.54) а при 1.<Э э=21+ 1. (24.55) Поэтому все уровни парагелия (Я = О) должны быть синглетными (ч = 1, Х = С) и при любых полях должен наблюдаться нормальный эффект Зеемана. Для ортогелия (Э = 1) уровни, как правило, должны представлять собой триплеты (э=3, г = Ь+ 1, Е, 1. —.1), за нсклю- УЧЕТ СПИНА В ГЕЛИЕПОДОВНЫХ АТОМАМ и' 241 чением состояния с 4. = 0 (см, (24.55)), когда уровни должны быть синглетными ").
Несмотря на это исключение, все уровни ортогелня обозна. чаются индексом у = 3. В случае слабых магнитных полей в о тогелии должен наблю- р даться аномальный эффект йлй Зеемана. йб Перечислим теперь нан- ф более низкие уровни атома гз(У гелия с пг = 1 и пт — — 1,2. Ул В случае парагелия мы можем написать следующие термы: 24 (1з, 1з) 'Яе, уй (12, 2 ) 'шо. лу (1з, 2р) 'Рп й В скобках указаны состояния отдельных электронов, образующих атом гелия. Большой буквой обозначен суммарный орби- ъ ег йа)г алалай аз!)ршааариа ф Ъ,й$ ~ Из2р) лр' й й)гр (гагр) ~~ АЙЗ, УЛ::~ ()а~)'Рз 4гзаа) ар %)р) 4 тальный момент. Индекс ВВЕрку унаЗЫВЕЕТ ПРИНад Рис.
24.2. Сиема виергетиеесиии УРовней атома гелия. Расщеилеиие 'Р-уровиеа дало ие в мас. лежиость его той или инОЙ штабе. длииа волны задается в аигстремал ьаь МуЛЬТИПЛЕТНОЙ СтруК~уре причем ~ А=4О-' см. (у = 1 — парагелий, тг = 3— ортогелий) и, наконец, индекс внизу указывает значение пол. ного момента количества движения. Точно так же низшими термами ортогелия являются: 2 )зо (!з 2о)зР, 2Р) зр (1з, 2р)зРа. Состояние, для которого пг = и, = 1, в ортогелии в силу запрета Паули должно отсутствовать, и поэтому наинизшим уровнем в ортогелии является уровень (!з, 22)зог, который оказывается метастабильным, ибо переход на более низкий уровень е) То же самое мы имеем и длв водородоводобиого атома.
Дублетиымв являются состояния, начиная с 1 1 (р-терм), 1 2 (о-терм) в т. д., со. стояния с 1 = О (з-герм) остаются сииглетвымв, ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ 1ч Ц1 392 (1з, 1з), принадлежащий парагезию, запрещен правилами отбора. Общая схема энергетических уровней пара- и ортогелия приведена на рнс. 24.2. Для элементов третьей группы (5 = 1/т или з/х) мы будем иметь соответственно дублеты и квартеты и т. д. Таким образом, общее число валентных электронов полностью определяет характер расщепления спектральных линий. $2З.
СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ а) Оби1ие сведения. Согласно современным представлениям атомы состоят из атомных ядер, вокруг которых вращаются электроны. Число протонов Я в ядре характеризует порядковый номер атома, а общее число протонов и нейтронов (т. е. нуклоиов) определяет массовое число А (модель Иваненко — Гейзенберга, 1932 г.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
