Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 62
Текст из файла (страница 62)
В соответствии с общей формулой (5.17) ширина зоны излучения р вна ! Оы= 2 ~ Г(ы ') сов 8дсозО х о ЗЗ2 ГЛ, О. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗЕ Рассмотрим раздельно различные предельные соотношения между шириной отдельной линии ч и разностью частот соседних линий 6. Если ширина линии т велика по сравнению с 6, то 1 Ю 610=2) соз81(созО ) 1йо(1 — ехр [ —— и (в)Ч 005 О о т Учитывая резкую зависимость и (в) от частоты, используем обычный прием для вычисления искомого интеграла. Введем в' так, что и„(в') >) 1, но в' близка к величине в„ для которой и (в1) 1.
Далее, в рассматриваемой области частот и„ (в) = = и (В') Е-01 -"''), ГдЕ а — ЛОГарнфМИЧЕСКая ПрОИЗВОдНая дЛя юптической толщины и (в) слоя в точке в'. Разбивая искомый интеграл на части с йспользованием указанных обстоятельств, получим 1 ит 10')/иии О 4 г Н2 Лв=2(в' — в,)+ — ~ созОО(созО ~ (1 — е ') —, О 0 где г = и„(в)/соз 8. Используя асимптотическое выражение последнего интеграла и учитывая, что и„(в') )) 1, находим ЛВ = 2 (В' — В,) + — 1П 1и (В') ЕС и 1/и) = — 2 (В, — В,), а здесь и (в,)=ехр( — С вЂ” 1/2) и С=-0,577 — постоянная Эйлера, В случае, когда ширина отдельной линии т мала по сравнению с разностью частот соседних линий, имеем, разбивая интеграл для Лв на сумму отдельных интегралов между соседними линиями; 1 25 Лв= — ~созйс(созО~ ( с(рх о ° о Лв= — ~ созОО(созО ') 1(в ') с(1рх 1 г о -т 0 ,( 2НО «т (в) сз — — 1) (с)1 — — соо О1~ х 1 — ехр где новые переменные введены из соотношения ' 0 — — 1р+2лп.
2п (в — ви) Считая, что основной вклад в ширину зоны испускания вносят' переходы на многих линиях, заменим суммирование по п интегрированием по частоте: 1 от 25 5 3. ПЕРЕНОС ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛОЕ ззз В данном представлении интеграла мы отделили осциллирующую часть от части, которая медленно меняется за период. разложим теперь подынтегральное выражение по малому параметру»,'6. Основной вклад в искомый интеграл вносит область паременных интегрирования, где Ср — 1, так что гиперболический косинус в знаменателе заменим единицей.
Получим ! сс гп 1 2пгссип (в) — "соз9 ) !йх~ С[!р'[ — ехр ~ 55005а(! — Соеф)~) Π— и О Введем, как и ранее, частоту в', для которой и (в')»1, но она близка к частоте в„которая удовлетворяет соотношению и (в,) — 1. Аппроксимируя в области этих частот и (в) = и„(в') е-" !"'- '! и разбивая искомый интеграл по ![в на две части, получим ! гп ссс О (! — сос т! 2 г с(г Лох=2(в' — в,)+ — ~ соз95[соз9 с(!р 0( — (1 — е '),.
О О где А ехр [ — а (в — СО')] „2пстс г= В (! — р) Л= 05 ( > Используя асимптотическое выражение для последнего интеграла, получим ! гп 2 г Аес йв=-2(в' — ОО,)+ — ~ соз90[соз9 с[ср[п па л С05 6 (1 — С05 !Р) О = 2 (Со' — Со ) + — 1п (2Аее+ ы') = 2 (со! — !ос), где С вЂ” постоянная Эйлера и частота со, определяется соотношением —,и„(в,) =(4игес"м) ', Свяжем используемый здесь параметр — оптическую толщину слоя в центре соответствующего перехода с оптической толщиной слоя, создаваемой отдельной линией в центре этой линии и,„(в).
При у (( б имеем и„(в) ==- и,„(о!), т. е. оптическая толщина в мак- симуме создается одной лйнией. При у>)б, когда оптическая толщина в каждом максимуме создается многими переходами, тв имеем и„(в) =и,„(в) — ". Учитывая это, перепишем результат для ширины зоны испускания: Лв — —. 2 (в,— в,), Гл.
б. РАспРостРАнение излучения В ГАзе причем в случае т>) 6 частота в, определяется соотношением — и,х (в,) = (пес+'") ' а в случае у((6 эта частота дается соотношением а — а ищах (в,) = (4п'е " ' ') ! Задача 5.31, Для модели одиночных линий при лоренцевской форме спектральной линии определить среднюю функцию поглощения на данной частоте, а также эффективную ширину зоны излучения для плоского слоя.
Оптическая толщина слоя, создаваемая одной линией, при лоренцевской форме линии равна илах и=ивах( „Г)а(„а= 1),а Здесь и,х — оптическая толщина слоя для центра линии, т— ширина линии, в — в; — разность исследуемой частоты и частоты перехода для центра линии, з=(в — в,)(т, В рассматриваемом случае и,х>) 1, но минимальное значение оптической толщины слоя в промежутке между двумя линиями мало по сравнению с единицей.
Поэтому интеграл (5.15) для функции поглощения разобьется на сумму интегралов вблизи центра каждой линии, где действием соседних линий можно пре- небречь. В результате получим А = — ) ( 1 — ехр ( — — '",) ~ б(б, где 6 — средняя разность частот для соседних линий. Учитывая, что основной вклад в интеграл вносят б >) 1 (и .х>) 1), имеем А= — ) (1 — ехр( — — ",'")~ ГЬ= — 6)/пи „, так что А= (и,„)х~а, где 1и,„(в)1х~а — среднее значение для корня из оптической толщины, создаваемой линией, центр которой соответствует данной частоте. Ширина зоны испускания согласно формуле (5.18) равна 1 а а Або=у~~ ~созйб(созО ) б(э~1 — ехр ~ —, б 'о а 1 созОГ(созО 2Р)х пи'",„созΠ— — ' ~~,)/~и"„ г о $ 3 ПЕРЕНОС ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛОЕ 336 где иК',„— оптическая толщина в центре 1-й линии. Будем считать, что зона испускания создается большим числом отдельных линий, По определению ий,„= — ~З;Нх, где 8~ — интенсивность данной линии, интеграл берется по толщине дх слоя молекулярного газа.
Предполагая, что закон распределения интенсивностей при каждой частоте задан, имеем Лв= 2'Г'"2' ~ -~/ Р,с( ) (хрГС(в)1л.ч ~'". Если интенсивность линии однозначно определяется ее частотой, то эта формула принимает вид ,)"" У,) (") ! Задача 5.32. Определить коэффициент поглощения молекулярного газа для регулярной модели прк лоренцевской форме линии. Пользуясь формулой (5.18) для коэффициента поглощения и учитывая лореицевскую форму линии, при одинаковой интенсивности линий получим~ Й„.== ~~'„— [(в — в, — лб)'+ у'~ ', Где у — ширина линии, в,— центр линии, принятой за середину полосы, 5 — среднее расстояние между линиями.
Производя суммирование-по и, на основании теоремы Лефлера — Миттага получим: 8 2лт Г 2лт 2л(в — во)1-А е = — ЕЬ вЂ” ~СЬ вЂ” — соз 6 6 ( 6 6 Отношение коэффициента поглощения в максимуме к коэффкцн2лт ~ !/ 2ят енту поглощения в минимуме равно (сй — + 1дсй — — 1), В случае малой ширины отдельной линии по сравнению с расстоянием между соседними линиями это отношение составляет (6)я4'. Задача 5.33.
Прн условиях применимости регулярной модели и лоренцевской форме линии сравнить функцию распределения'по оптическим толщинам, вытекающую из случайной модели, с ее точным выражением. ГЛ. Е РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ Е ГАЗЕ В рамках регулярной модели оптическая толщина слоя равна и=и. ск (2ип/6) +! """ сь (2ит)6) — соп <р' где и,„— оптическая толщина слоя, если рассматриваемая частота сп оказывается посередине между двумя соседними линиями, у — ширина отдельной линии, 6 — разность частот для соседних линий, <р=(2п)б)(ы — ы,) (ы,— частота, отвечающая центру ближайшей линии).
Вероятность того, что случайно выбранная частота сп отстоит от центра ближайшей линии на расстоянии в интервале от си — сп,. до си+с(си — ссо пропорциональна с(си или сбр. Отсюда находим, что Г (и) с(и = — Йр, 1 пр изменяется в интервале от О до и. Это дает для функции распределения по оптическим толщинам )'(и) = — ( — „) Рассмотрим случай, когда ширина отдельной линии у мала по сравнению с разностью частот для соседних линий 6. Тогда в области, не слишком близкой к центру линии (~си — ыс~))у) получим ~() = ".'""" ии )' и — иппп В случае случайной модели полосы имеем для функции распределения по оптическим частотам (см. задачу 5.25): + и + Ф )(и)= — ~ с((ехр ~((и — ~ —" ~1 — ехр ( — — '";" )]1.
— и — М Здесь и,„— оптическая толщина в центре одного из переходов, сп — ия в = — (си †рассматриваем частота,сис †часто центра отдель- 6 ной линии). ВвоДЯ и ы =-и,„(пт|б)п н РассматРиваЯ, как и Ранее, область не очень больших оптических толщин, получим и= — "' =-(ы — ы,)1: 6 6 +Ф и и ) (и) = — ~ Й ехр ~ ((и — — ~ с(у ~1 — ех р ( — ",'" ) ~ у . — Ю - и Вычисляя интеграл по с(у, получим $3 ПЕРЕНОС ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛОЕ 337 При и>)и;„находим, что 7(и) = — —, ипг ' т.
е. функция распределения совпадает с точной. При и и;„функция распределения по оптическим толщинам, полученная на основании случайной модели, отличается от точной. Задача 5.34. В случае резкого изменения функции распределения испускаемых фотонов по частотам на крыле линии в рамках модели одиночных линий вычислить функцию поглощения и ширину зоны испускания для плоского слоя молекулярного газа. Считать форму .отдельной спектральной линии доплеровской. Функция поглощения в модели одиночных линий имеет вид А =) — (1 — е '). Г го 6 Будем считать для простоты, что линия симметрична относительно центра, и обозначим положение центра линии через о,.
Величина искомого интеграла приблиз)(тельно равна А 21~ — ! 6 где в силу вида интеграла и(о,) 1: Для более точного опре. деления интеграла введем частоту о', так что и(о'))) 1, но о' близка к о,. В области частот вблизи о' из-за резкой зависимости оптической толщины от частоты будем аппроксимировать оптическую толщину зависимостью и (о) = и (о') е "'" "', где а = — ~ ЙО )о' С учетом указанных обстоятельств получим ~О А= ( ')+ — ') ((о(1 — ехр( — и (о') е "' '1). 6 ' 6 Вводя новую переменную, г =- и((о') е "'" ', получим и (Ф') А =- -, '— ) — (1 — е ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
