Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Получим после 302 ГЛ. б. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗЛЕЧЕНИЯ В ГАЗЕ интегрирования по Г(е: )о ~,~, „„УЯГ(5(4) 4яо!Аои~ ) ~~~~ (т!4 ос о соо ср (о о (5(4) (' Г Ир (ото (514) 4 ио ) (т(4) ) спасу с(сг ) рс. Г 0~274)е о В случае, когда возбужденный газ занимает объем внутри сферы диаметра о(, введем сферические переменные г, О, ор, так что 0 <г<с(созО, 0<О<я(2, 0<ор<2п. Получим 1 Ф соо Й вЂ”,„(о „, ~2лс(созО ~ Рос(г а о 1 ) созоно Оо(соз О =- М ж 0,226)о.
уг 5 т' ч о Используя полученные результаты, мы можем представить следующую приближенную формулу для среднего потока фотонов через поверхность: О 545со / К Ы,'~/ 5 где Р' — объем, занимаемый возбужденным газом, 5 — плошадь ограничивающей его поверхности, Численный коэффициент 0,54 задан по результатам рассмотренных примеров.
В трех ранее рассмотренных примерах значения, полученные на основе этой приближенной формулы, отличаются от результатов точного расчета не более, чем на Зо5. Именно, в случае излучения плоского слоя эта приближенная формула дает для потока фотонов величину 0,382)„ в случае излучения газа, находящегося внутри цилиндрической трубки, поток фотонов согласно приближенной формуле равен 0,270)„ а в случае, когда излучающий газ находится внутри шара, 0,220)о. Сравним найденный поток фотонов с потоком фотонов в случае, когда излучение свободно уходит за пределы системы.
Если все излученные фотоны не поглощаются внутри газовой системы, то средний поток фотонов, уходящих за пределы системы, равен У„)/ т 5 В трех рассмотренных случаях в силу симметрии задачи поток фотонов не зависит от точки поверхности и определяется данным выражением. Как видно, при лоренцевской форме линии в пределе, когда длина пробега фотона в центре линии велика по сравнению с $2. ПЕРЕНОС РЕЗОНАНСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗЕ зоз РазмеРами системы, поток испУскаемых фотонов в 1,85 У' Фо$'!8 раз больше, чем при обратном соотношении между этими величинами. Задача 5.10.
Определить поток резонансных фотонов, выходящих за пределы газового объема на данной частоте прп условии, что длина пробега резонансного фотона рассматриваемой частоты в газе много меньше размеров газовой системы и радиуса кривизны поверхности. Считать, что плотности возбужденных и невозбужденных атомов постоянны на расстоянии от поверхности порядка длины пробега резонансного фотона. Воспользуемся формулой (5.8) для потока излучения с учетом упрощенных условий задачи.
Согласно этим условиям поверхность границы раздела можно считать плоской, а плотность возбужденных часгиц М„и коэффициент поглощения к постоянными по объему. Тогда в силу симметрии задачи поток фотонов направлен перпендикулярно поверхности раздела. Вводя сферическую систему координат с началом координат в выбранной точке границы, на основании формулы (5.8) получим для потока фотонов: с 1 А'са Г г 2л, а,ассов А, Маа о о Эта формула представляет поток фотонов из объема, внутри которого существует равновесие между состояниями атомных частиц и излучением. Действительно, будем считать, что такое равновесие имеет место и что поток излучения, распространяющийся внутри газового объема на данной частоте, равен Тогда число поглощенных фотонов данной частоты в единице объема в единицу времени равно 1„й„, а число испускаемых фотонов на этой частоте в единице объема в единицу времени равно М„а )т.
Приравнивая эти величины, находим Х„а ть Поток фотонов внутри системы 1„распределен хаотически, так что поток фотонов в данной точке, направленный в элемент 1„до телесного угла до, равен —. Переходя к нахождению потока 4а через границу раздела, мы должны попадающие на нее хаотически направленные потоки спроектировать на направление, перпендикулярное границе раздела. В результате для потока фотонов, пересекающего границу раздела, получим: с„ао бо Л'сасс ! ,1 4п 4 4тьа сосо > о ГЛ. 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗЕ Таким образом, наличие равновесия между процессами излучения и поглощения фотонов на данной частоте вблизи границы раздела приводит к формуле (5.10) для потока излучения.
Задача 5.11. Вычислить поток излучения на данной частоте, выходящий за пределы плоского слоя газа толщины 1 с бесконечными поперечными размерами. Считать, что параметры в слое зависят только от расстояния до поверхности. Обозначив через х расстояние до рассматриваемой поверхности, из которой вычисляется поток излучения, введем оптическую толщину данного слоя согласно формуле х и-:)е в(х.
О При этом оптическая толщина всего 1 слоя газа равна и = ) 15 ах. Далее, О 5(и — 15„5(х =15 5(гсоз0 н элемент р о х 1 объема 5(г = 2пг' 5(~ в( соз 0 (рис. 5.2) Используя соотношение (5.6) между коэффициентами поглощения й„и функцией распределения а испускаемых фотонов по частотам, представим выражение для потока фотонов (5.8) в виде = ~5(соз05(и — ехр( — — ) = УООО в' и 2тхвв (, Ооо 0, ! ВО = 2 в, ) 5(СОЗ 0 ) взи ЕХР ( — —,.
Э) ( "Ч' — 1) о о (5.11) -= 2)ввв ') соз 0 51 соз 0 ~1 — ехр ( — — '" ) 1 о Здесь )вв'= —,, (ео"'тт — 1) ' — поток фотонов на данной частоте, выходящий за пределы абсолютно черного тела. Если внутри газа поддерживается термодинамическое равновесие и температура не зависит от толщины слоя, то согласно распределению Больцмана Е" ' = ео"1г и формула (5.11) приниЕв вв мает вид ! $2. ПЕРЕНОС РЕЗОНАНСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗЕ 305 Вводя новую переменную формулу в виде — „,=2 ~(1 — е ~) 1е ие 1=и„1соэй, перепишем полученную Вычисляя интеграл по частям, находим )„=1'„"!1 — е "'" +и е ""+и'„Е!( — и„)]. В предельных случаях эта формула дает 2и„+и' 1пи - — (1 — С)и', и ((1, 1А.
2е !е 1 —— и„~) 1, и,> где С =- 0,577 †постоянн Эйлера. Таким образом, оптическая толщина слоя является тем параметром, которым удобно характеризовать выход излучения за пределы системы. Если длина пробега фотона 11я мала по сравнению с размерами системы, что отвечает большой оптической толщине слоя для данной частоты, то в слое устанавливается термодннамическое равновесие междч излучением и газом. В этом случае поток уходящих фотонов йа данной частоте совпадает с потоком черного излучения.
В другом предельном случае малой оптической толщины слоя поток испускаемых с поверхности фотонов пропорционален оптической толщине слоя и мал по сравнению с равновесным потоком Д,". Задача 5.12. Найти связь между сечением поглощения света частицей пыли или аэрозоля с площадью поверхности 3 и степенью черноты на данной часгоге я .
Разм р частицы значительно превышает длину волны излучения. Поскольку часгица достаточно велика по сравненио с длиной волны излучения, то она испускает свет с поверхности как макроскопическое тело. Поэтому испускаемая ею мощность излучения пропорциональна поверхности частицы. Мощносгь излучения частицы на частоте ез составляет ' ~ О) с Р =.ОИ1„Б, где )'в — поток равновесного излучения на данной частоте при заданной температуре частицы, а — степень черноты поверхности частицы.
Сравним излучение плоского слоя, полученное на основании данной формулы и формул предыдущей задачи. Это и позволит установить искомую связь. Пусть мы имеем оптически тонкий слой с толщиной Лх и плотностью частиц М. На единицу его площади приходится й(Лх частиц, так что поток излучения на ГЛ. 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗЕ данной частоте равен У„= р,,Л'Ох==ля„ЗУЛх, С другой стороны, согласно результату предыдущей задачи поток излучения выражается через оптическую толщину слоя, определяемую соотношением и„== й Лх — Ма„йх, где о„,— сечение поглощения частицей света на данной частоте.
При этом для потока излучения из оптически тонкого слоя на основе результата предыдущей задачи имеем у .2 2 Ао~ 4, 1удх1за~ Здесь множитель 2 учитывает, что излучение уходит через обе границы слоя. Сравнивая выражение для потока испускаемого слоя излучения, находим для сечения поглощения частицы: о„ = ",,я„З. Для абсолютно черной частицы согласно этому результату средняя площадь проекции частицы на плоскость равна четвертой части площади поверхности.
Для сферической частицы этот результат естествен. Площадь поверхности частицы равна 4лг'„ где г, — ее радиус, площадь проекции частицы на любую плоскость ранна пг',. Однако для частицы произвольной формы этот результат неочевиден. Задача 5.13. Определить поток резонансного излучения, выходящего за пределы плоского однородного слоя газа при доплеровском механизме уширення спектральной линии. Длина пробега фотона в центре линии значительно меньше толщины слоя й На основе формулы (5.11) с учетом однородности слоя имеем для потока фотонов за пределы слоя; / = ~ 1„й» вЂ” — 1'„" ~ гйа ~ 2 соз О й соз О [1 — ехр ~ — " „) ~, где — поток фотонов на данной частоте при условии, когда оно заперто, т.
е. равновесный поток за пределы абсолютно черного тела. Поток фотонов на данной частоте 1„ равен равновесному потоку фотонов Д' при частотах, на которых резонансное излучение заперто, т. е. оптическая толщина слоя й 1 велика. Для частот с малой оптической толщиной слоя поток фотонов на данной частоте 1,„ ((ф. При доплеровском уширении спектральной ОК ПЕРЕНОС РЕЗОНАНСНОГО ИЗЛУЧЕННЯ В КАЗЕ ЗО7 линии область частот, где происходит переход от одного предельного случая к другому, относительно узка.
Для решения поставленной задачи мы должны аккуратно учесть переходную область. Представим коэффициент поглощения для доплеровского механизма уширения обычным образом (см, задачу 5.7 и формулу (П4.1)): м — ооо т /Мс* З =- — "о, КОо к 2Т /г„=- йое-", где Йо — коэффициент поглощения в центре линии. Обозначив тр — — в„) Г27) Мсо, представим поток испускаемых фотонов в виде о о ! 1 =- 21,'„"чр ') с(з ~ соз 9 к( соз О ~1 — ехр ( — „' е- '*) ~ — о О Изменив порядок интегрирования, сосредоточим внимание на вычислении интеграла; 1 о 7 =- ~созйк( созО ~ с(з ~1 — ехр ( — "'а е-' )1 — /о о о ( кЬ11 — ехР(е ' ) 1=2з'+2 ~ кй(1 — ехР 1ехР ( — 2(з — з) зо))).
Вводя новую переменную х= Ао1 к о е-' =.ео соо 6 = ехр [ — 2з, (з — зо)1, ох получим (кЬ=- — — ) 2оох ) о ') сЬ11 — ехр(е' )1=- 2з'+— - (о-'') ок (1 е-х) о С =2з'+ — +2(з,— з') ж 2З, оо Переходная область сосредоточена в окрестности точки з,= =$' 1п(йо1,'СОЗО) . При з(з, экспонентой можно пренебречь по сравнению с единицей, при з > з, выражение в квадратных скобках много меньше единицы. Поскольку Ф,1>) 1, то з)) 1. Учитывая это, в переходной области имеем зо=-У„+2(з — з,)з,. Введем значение з' так, что, с одной стороны, з,— з'(<з„а с другой стороны, (й„1(сов 9) е-' )) 1. Имеем 308 гл. а РАспРОЕТРлнение излучения В Глзе аа! где з — 1, !п ' +С, С -0,577 — постоянная Эйлера. Отсюда аоа 8 находим ! l — 1 2соз0 а(сов 01 !п(е,1)+С вЂ” !исоа 9 = у' 1п(Уг,1)+С+0,5. 0 Этот интеграл вычислен с учетом соотношения 1па,1>) 1. Таким образом, для потока фотонов за пределы плоского слоя окончательно получаем / ..-2!! Ро !а' 1п (ьа!) + С+0 5.
Как видно, ширина линии излучения, уходящего за пределы плоского слоя, равна Лы Уп)~ !п(4а(), что находится в полном соответствии с предыдущей задачей. Покажем, что в случае оптически тонкого слоя полный поток фотонов за пределы плоского слоя равен / = Ж„1!2т. Введем объем у' плоского слоя ограниченных размеров и поверхность 25, которая ограничивает его с двух сторон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
