Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Пусть температура электронов в процессе релаксации плотиостй электронов не изменяется. Тогда (3 =-а)1г'е/й(, в первом случае н р = ее№/)г', во втором случае, где гуе †равновесн для данной температуры плотность электронов. Соответственно уравнения баланса для плотности за. авкомвинхция злгяжвнных члстиц в пллзмв электронов (4.52) приводятся к виду ~~~~~е ,~,'- — ~ Ре — й(е) й1е,,~,'= — й Р! — №е) )У., еьуе гак что в первом случае восстановление равновесной плотности происходит за время (пЖ,) ', во втором случае (л№) '.
Сравним частоты установления равновесных плотностей аде и Й№, в рассмотренных случаях с частотой установления равновесной температуры т„. Пусть равновесная температура электронов устанавливается в результате упругих соударений электронов с атомами. Тогда т„ м У,пп„, где и„ вЂ сечен упругого столкновения электрона и атома, Если коэффициент рекомбинации а отвечает рекомбинации электронов и молекулярных ионов, то <х1ее — опрг1„ где а †сечен рекомбинации электрона и иона.
т Обычно п,~о„, так что при г1,(( — У, равновесная температура устанавливается скорее, чем равновесная плотность. Как видно отсюда, в области плотностей электронов, при которых можно ввести понятие электронной температуры, частоты релаксации плотности и температуры электронов могут находиться в произ- яе м'ее« яее 1 вольном соотношении. Если частота ° ' ! релаксации электронной температу- ! ры определяется столкновениями электрона с частицами газа (возбуждение !ила»% а электронных состояний или колебательных уровней молекулы), приводящими к более сильному обмену энергией, чем при упругом столкно- т, ВЕНИИ, ПрсднпнтЕНИЕ СЛЕдувт Отдатв рзе. 4.4. ВОССтаНОВЛЕНИЕ раз- релаксации температуры.
Равновес- новесной плотности н равновесная температура восстанавливается аой температуры в плазме. скорее, чем равновесная плотность, если рекомбинацня обусловлена тройными столкновениями электронов и ионов. На рис. 4.4 показаны два предельных случая для изменения состояния слабоионизованной плазмы, которое характеризуется температурой и плотностью электронов.
Цифрой 1 обозначено начальное состояние системы, цифрой 0 †равновесн конечное состояние. Сплошная линия соответствует случаю, когда частота установления равновесной энергии много больше частоты установления равновесной плотности, штриховая линия †противоположному случаю. Точки отвечают формуле Саха (2.14). Во втором предельном случае плотность электронов в каждый момент времени является равновесной для данной температуры. Если частоты релаксации температуры и плотности одного порядка, система 275 Гл.
4. ИРоцессы с учАстием ЗАРяженных чАстнц В ГАзе приходит в равновесие по линии, находящейся между двумя указанными. Задача 4.47. Показать, что время распада свободной неидеальной плазмы сравнимо с характерными атомными временами. Плазму считать неквантовой (Ж,а',<~1, где й(,— плотность электронов, а,— радиус Бора), тепловая энергия электронов значительно меньше потенциала ионизации атомов. Проанализируем уравнения баланса для плотности электронов и температуры электронов. Первое в соответствии с формулой (4.48) имеет вид ее~а 2 — = — аУ, е ~е 42 иа!2'!'а!2 4 е Из этого уравнения следует, что температура электронов изменяется быстрее, чем плотность электронов, поскольку Т,((.7.
В процессе рекомбинации плазмы температура электронов увеличивается, ибо прн этом выделяется энергия. Имеем 4!Те / !2А' е еаал!~ е ! е! 7 й( 7 е и А!~ !4~ и'/ата'2 ' е е Введем т,— время пролета электронов области порядка размера атома. Порядок этой величины е е' /и . /" /)/т, где г еа!',1 — размер атома, а о )/ Т,/т — характерная скорость атома.
С учетом этого параметра, а также параметра идеальности плазмы (2=14(,еа)Т,' запишем уравнение баланса для температуры электронов в виде !!те те та где Ф, †плотнос электронов, Т, †температу электронов. При рекомбинации электрона выделяется энергия, равная потенциалу ионизацин е образуемого атома. Средняя энергия электрона равна 'МТ„ так что энергия плазмы в единице объема составляет ')2!у',Т, (температуру ионов для простоты считаем малой по сравненйю с температурой электронов).
Отсюда получаем уравнение баланса для средней энергии плазмы: Запишем это уравнение с учетом условия Т, ((,7. Воспользуемся уравнением баланса для плотности электронов. Получим 3 дт, 4А!, — У вЂ” ' — / — '. в е ш 4! з 4. РекомвинАция 3АРяженных чАстиц В плАзме Р47 Как видно, для неидеальной плазмы (~)) 1) характерное время изменения электронной температуры оказывается весьма малым даже по сравнению со временем пролета электроном расстояний' порядка размера атома.
Время изменения плотности электронов в //7, раз больше, но и оно значительно меньше мыслимых времен, за которые может быть создана плазма. При этом релаксационные процессы приводят к повышению электронной температуры и к уменьшению электронной плотности, что соответствует уменьшению степени неидеальности плазмы. Отсюда следует вывод, что неидеальная плазма не может быть создана в свободном состоянии. Этот вывод не относится к плотной плазме с дополнительным взаимодействием, например к плазме плотного газа или металла. При наличии дополнительных внутренних сил неидеальная плазма может быть устойчивой и стационарной.
! Задача 4 48. Получить уравнение, позволяющее определить коэффициент рекомбинации, если известны частоты переходов между состояниями рекомбинирующих частиц. Пусть К(и, и', 4) — вероятность того, что система рекомбинирующих частиц, первоначально находящаяся в состоянии п, за время 4 перейдет в состояние п', а )Р (п, 1) †вероятнос достигнуть основного состояния к моменту времени 1 системе, находящейся в начальный момент времени в состоянии п. Тогда по определению Ф'(и, 1) = 1 — ~ И7 (и, и', 1), (4.
53) и функция (Р" (и, п', 1) по своему смыслу удовлетворяет уравнению Смолуховского (1.66), Ис" (и, и', 1+1')=~ йс (п, lг, 1) йс (я, и', 1'). Перейдя к пределу 1' — О, получим нз уравнения Смолуховского о~(" " с) ~~4"' пс„о*ст" (Й, и', 1) — Ф'(и, п', 1) ~ч пс„„, где пс„о=- 1пп ', ' — вероятность перехода в единицу вревг(о, л, с') е о мени из состояния и в состояние й, и суммирование проводится по всем состояниям, кроме основного. Было использовано условие нормировки ~,'(Р"(п, л, с') = — 1. Просуммировав последнее уравнение по состояниям и' и воспользовавшись соотношением (4,53), найдем )~ =,), пс„о ~1 — Я7 ()4, 1)) — ~1 — Ф (п, 1Я ~, пс„о, (4.54) 2тз Гл 4 пРоцессы с учАстием зАРяженных чистиц В ГАзе Введем т (и) = 1 ~1 йГ (и, 1д Г(1 = ~ 1~ (, ') г(1 ΠΠ— среднее время, за которое система рекомбинирующих частиц, первоначально находившаяся в состоянии п, достигает основного состояния.
Интегрируя уравнение (4.54) по времени и учитывая, что Ф' (и, 0) =-О, Ф'(и, ао) =1, получим уравнение для т(п) — 1 = ~ ш„„т (е) — г (п) .~, ш„о. (4.55) А Ф Свяжем коэффициент рекомбинации а со средним временем т, за которое система первоначально свободных рекомбинирующих частиц переходит в основное состояние, отвечающее наинизшему связанному состоянию частиц. Из определения вероятности 67(п, г) перехода системы рекомбинирующих частиц в основное состояние следует, что эта функция удовлетворяет уравнению йГ (и, 1+ 1,) =- %' (п, 1)+ (1 — %' (и, 1) ),'», 'Яг (п, п', 1) йг (и', 1,), Это уравнение непосредственно следует из уравнения Смолуховского.
Продифференцировав это уравнение по 1, н проинтегрировав его по (, получим в пределе (,— 0: и 1 ~ ~1 11 (и 1)( й ~ % (п и 1) ог ~ (456) о и' Воспользуемся тем, что время рекомбинации много больше характерного времени перехода между состояниями непрерывного спектра рекомбинирующих частиц.
Это определяется большим статистическим весом состояний непрерывного спектра. Так, в случае рекомбинации электронов и ионов число состояний непрерывного спектра, в которые возможны переходы, 1(й1,(гпТ(Ь')МО, т. е. для идеальной низкотемпературной плазмы весьма велико. Поэтому для времен 1, превышающих времена перехода между состояниями непрерывного спектра, 1у" (п, и', 1) не зависит от начального состояния и для состояний непрерывного спектра и' совпадаег с функцией распределения 1'(и') по состояниям непрерывного спектра (~',)(п')=1) .
Вообще говоря, следует учесть и ~ и' некоторые состояния дискретного спектра, в которые система успевает перейти за рассматриваемые времена 1. Однако в силу малого статистического веса состояний дискретного спектра их вклад в сумму по и' в уравнение (4.56) мал, так что ими можно пренебречь. В результате уравнение (4.56) приводится к виду 1 ТЕ1(п ) дег(п', г1)~ и 16=о зс нпкомвинлция заряженных частиц в плазми 279 По определению коэффициента рекомбинации его величина равна дг где Ж,— плотность ионов, и суммирование ведется по состояниям непрерывного спектра. Таким образом, коэффициент рекомбинации а=(тУ;) (4.57) причем при данных условиях задачи (идеальная плазма в случае рекомбинации электронов, большой статистический вес состояний непрерывного спектра в общем случае) время рекомбинации слабо зависит от начального состояния непрерывного спектра.
Таким образом, в случае, когда рекомбинация совершается в результате многократных переходов, время рекомбинации является решением уравнения (4.55), а это время простым соотношением (4.57) связано с коэффициентом рекомбинации. ! ,Задача 4.49, Определить величину коэффициента рекомбина. ции электрона и иона, происходящей через образование автоионизациоиного состояния атома. Автоионизационное состояние †связанн состояние электрона и иона, энергия возбуждения которого больше потенциала ионизации атома. В автоионизационном состоянии возбуждены несколько электронов, и если это возбуждение передается одному электрону, система распадается с вылетом этого электрона.
Наиболее простым примером автоионизационного состояния атома является атом гелия, у которого два электрона находятся в возбужденном состоянии. В результате взаимодействия электронов эта система распадается с образованием иона гелия в основном состоянии и свободного электрона. Другим примером автоионизацнонного состояния атома является связанное состояние возбужденного иона н электрона, когда энергия связи электрона с ионом меньше энергии возбуждения иона (например, ион Хе+ (зРгм) и электрон). В отличие от предыдущего примера, в этом случае возбужденной оказывается целая оболочка, и взаимодействие электрона с ней приводит к распаду системы. Следует заметить, что в силу слабой корреляции между электронами время жизни автоиоиизационных состояний оказывается значительно больше характерных атомных времен ( 10 " с) *), так что эти состояния являются квазнстационарными. *) Например, ширина наиболее слабо возбужденного автоионизациониого состояния атома гелия Не (2зз)хб составляет примерно 0,2 эВ (энергия возбуждения этого состояния бв зВ).
Ширина других автоиониэациоиных состояний гелия значительно меньше. Ширина автоиоииаационного состояния отрицательного нона гелия Не- (1з2зз)'3 составляет примерно 0,01 эВ. Зто состояние приводит к появлению резонанса в сечении упругого рассеяния электрона на атоме гелия при энергии электрона 19,3 эВ. ЧЗО Гл а НРОЦеССЫ С УЧАСТИем зАРЕЖБНИЫх ЧАСТИЦ В ГАЗЕ Частота рекомбинации электрона и иона через образование автоионизационного состояния есть произведение вероятности нахождения системы, состоящей из иона и электрона, в автоионизационном состоянии, на частоту перехода системы Яг„из автоионизацнонного состояния в связанные состояния, из которых атом в дальнейшем переходит в основное состояние.
Вероятность нахождения атома в автоионизационном состоянии можно получить методом, подобным выводу формулы Саха (задача 2.7). Система находится в непрерывном спектре и образование автоионизационного состояния отвечает реакции А++е А'. Отсюда, исходя из формулы Больцмана, получим для вероятности нахождения системы в автоионизационном состоянии выражение где й,— статистический вес автоионизационного состояния, я„,„р— статистический вес состояний непрерывного спектра, определяемый формулой (2.15), з,— энергия возбуждения автоионизационного состояния, отсчитанная от границы непрерывного спектра, Т— температура электронов. Отсюда находим для частоты рекомбинации за I па 1 =гэ — ехр ( — — ~ реа аа й пепр т 7' н далее, пользуясь формулой (2.15), получаем коэффициент рекомбинации электрона и иона через образование автоионизационного состояния где д, = 2, яг †статистическ вес электрона и иона соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
