Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Поместим мысленно внутри объема площадку н подсчитаем силу, действующую на нее с каждой стороны, Каждый фотон с энергией Йго обладает импульсом ггпу:с, где с — скорость света. Пусть / гйо — поток фотонов через выделенную площадку, причем частота фотонов сосредоточена в интервале от а до ы+й>. Как видно, световое давление на площадку с каждой стороны равно р =- ~в Ьв~„гпо. В частности, если в данном объеме сосредоточено черное излучение с температурой Т, то световое давление равно отв Р =.
где и — постоянная Стефана — Больцмана. ! Задача 5.6. Получить соотношение между коэффициентом поглощения газа на данной частоте и заданном переходе й и вероятностью испускания фотона а на этой частоте. Коэффициент поглощения в газе вводится согласно соотношению — „' " = — /г„у„, (5.5) Х вЂ интенсивнос излучения, распространяющегося в направлении х. Соотношение между коэффициентом поглощения й и функцией распределения испускания фотонов по частотам а„мы найдем из условия термодннамического равновесия между излучением и газом.
При наличии термодинамического равновесия для излучения и газа поток излучения, распространяющегося внутри газа, согласно законам черного излучения равен .г При этом в единице объема в единицу времени в интервале частот от ы до го+гйо поглощается количество фотонов, равное ггвг' гйо. Эта величина в силу равновесии совпадает с количеством фотонов, испускаемых в единицу времени, которое равно А~в — и Йв, О) Э Е ПЕРЕНОС РЕЗОНАНСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗЕ 297 где Ф,— плотность атомных частиц на верхнем уровне перехода, т — время жизни атомной частицы на верхнем уровне относительно рассматриваемого перехода. Приравнивая полученные величины, находим Л'„а„ й„= — —.
т ао» Плотность атомных частиц на верхнем и нижнем уровнях перехода связаны законом Больцмана: Ьо Л'а Ла, = — оде г ко где Мо — плотность атомных частиц на нижнем уровне перехода, и„ д„— статистические веса соответствующих состояний. Используя эту формулу и явный вид для потока черного излучения внутри занимаемого им объема, получим Мо Ло о»за Е гт т "Во <" Это соотношение справедливо при наличии термодинамического равновесия между верхним и нижним уровнями перехода.
При отсутствии равновесия входящую в данную формулу температуру следует определить из формулы Больцмана, В результате получим Л'о'е» паоо Л »во ~ оо оа ~ Л'ооо Это соотношение между параметрами, характеризующими поглощение и непускание фотона на данном переходе, справедливо при отсутствии термодинамического равновесия в газе. (5.б) $ 2, Перенос резонансного излучения в газе Резонансными возбужденными состояниями атома или молекулы называют нижние возбужденные состояния, из которых возможен эффективный излучательный переход в основное состояние. Излучение, испускаемое или поглощаемое при таких переходах; носит название резонансного излучения. Резонансное излучение наиболее эффективно взаимодействует с газом. Оно может составлять основную долю излучения, испускаемого газом. Кроме того, длина пробега резонансных фотонов ~т. е.
фотонов, составляющих резонансное излучение) невелика. Поэтому при распространении резонансного излучения важную роль играют процессы поглощения и переизлучения резонансных фотонов. Далее, резонансное излучение может влиять на плотность возбужденных атомов. Все это отражается на характере прохождения резонансного излучения через газовую среду. Процессы цереизлучения зависят от формы линии излучения. Существенным ГЛ.
6. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗЕ является то, что при малых интенсивностях излучения процесс переизлучения фотонов некогерентен, т. е. частота испускаемого фотона не зависит от частоты фотона, поглощаемого при возбуждении атомной частицы. Задача 5.7. Для лоренцевской и доплеровской формы линии определить вероятность Р(г) того, что в изотропной газовой среде резонансный фотон пройдет расстояние г, не поглотившись.
Считать, что коэффициент поглощения не зависит от координаты и расстояние г много больше длины пробега фотона в центре линии. По определению коэффициента поглощения (5.5) вероятность того, что фотон с частотой ы пройдет расстояние г, не поглотившись, равна ехр( — я„,г). Поскольку вероятность испускания фотона в интервале частот от ы до ы+йо равна а„,йо, то вероятность того, что резонансный фотон не поглотится на расстоянии г, оказывается равной Р (г) -.-- ~ а йо е Ао'. (5.7) Вычислим эту величину для лоренцевской формы линии а = — [(ы — ы,)'+У'1 ' (У вЂ” ширина линии). Вводя новую перемен- НУЮ З=(Ы вЂ” Ь,)/У, ПОЛУЧИМ а йО= —, И Йо= —,, ГДЕ /г„— п(1+Ао) " 1-)-о2' коэффициент поглощения в центре линии.
Подставляя эти выражения в формулу (5.7), находим для вероятности не поглотиться резонансному фотону: = ехр ( 2 ) 7~ ( р ) здесь Ч =- 2агс1д з, 7,— функция Бесселя. В предельном случае когда излучение переносится на расстояние, значительно превышающее длину пробега фотона в центре линии 1;й„эта формула дает (г) - - (4пйог) йо~ «) 1 ° В случае доплеровской формы линии воспользуемся формулой (П4.1) для функции распределения испускаемых фотонов по чаев — оь /Мс"- тотам и введем переменную з.—. 1г — „. Получим: а„йо =- оь = е нйз и й ==й,е-". Подставляя это в формулу (5.7), имеем Р (г) =- = ~ е-" Г(з ехр ( — й ге-и ). 2 о о Эз ПЕРЕНОС РЕЗОНАНСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗЕ 299 После введения новой переменной Г = — й,ге-н (0(((й,г) эта формула примет следующий вид: Р(Г)--= ) е-'Г(((!пф~ Вычислим этот интеграл в пределе !з,г)) 1, когда длина пробега фотона в центре линии много меньше расстояния Г.
Поскольку основной вклад в искомый интеграл вносят ( 1, заменим верхний предел бесконечностью. Получим: Р(Г)- (~ ля,г$' !п(з„г((,) ', где Г„определяется соотношением ~ е-'Ж !и — — — О. В результате Го О при доплеровском механизме уширения линии при Й,Г )) 1 находим: Р()=-~~ л, 'г'(! л, +С)1 ', где постоянная Эйлера — С вЂ” --0,577. ! Задача 5.8, Получить выражение для потока резонансных фотонов, выходящих за пределы газового объема на частоте аз, и полный поток фотонов. Геометрия излучения из объема газа представлена на рис.
5.1. Выбирая за начало координат точку поверхности, из которой подсчитывается выходящее излучение, имеем следующее выражение для потока излучения в этой точке поверхности, сосредоточенного в интервале частот от «з до аз+АЗ: Г Л~а (г) е(г ! м Х ехр ( й Г(Г ) соз0.
(5.8) аав газового объема Здесь первый множитель " представляет собой число фо- Л~а (г) аг тонов, испускаемых выделенным элементом объема в единицу времени (ЛГ,— плотность атомных частиц в верхнем состоянии перехода, т — время жизни этого состояния относительно высвечивания). Второй множитель характеризует вероятность того, что фотоны высвечиваются в рассматриваемом интервале частот; 4лг'— площадь на расстоянии з' от источника (г — расстояние от рассматриваемой точки границы до исследуемого элемента объема).
ГЛ. 5 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗЕ зоо Считая, что возбужденная атомная частица испускает фотоны изотропно, и разделив число испускаемых фотонов в единицу времени на эту площадь, мы получаем поток фотонов, создаваемый выделенным элементом объема. Далее, множитель ехр( — ~ Е„Т(г') в формуле (5.8) представляет собой вероятность того, что испускаемый фотон дошел до границы, не поглотившись, а соз9 учитывает, что создаваемые отдельными элементами объема потоки фотонов как векторы складываются в полный поток; 9 — угол между направлением полного потока и направлением, соединяющим рассматриваемую точку границы и выделенный элемент объема. На основе формулы для потока излучения на данной частоте (5.8) получим выражение для полного потока фотонов в данной точке границы.
Запишем его в виде (5.9) Здесь Р(г) представляет собой вероятность того, что испускаемый фотон проходит расстояние г, не поглотившись, и описывается формулой (5.?). Удобство введения вероятности Р(г) в том, что эта величина не зависит от геометрии задачи. Заметим, что при написании формулы (5.9) мы неявно полагаем одинаковое направление векторов ) .
Задача 5.9. Плотность возбужденных атомов 755 в газе, заполняющем объем, поддерживается постоянной по объему. Вычислить поток фотонов, выходящих за пределы системы, если форма линии излучения лоренцевская, коэффициент поглощения в центре линии равен Ф„а время жизни возбужденных атомов относительно высвечивания равно т и значительно превышает характерные времена установления равновесной плотности.
Возбужденный газ заполняет объем: между. двумя параллельными бесконечными плоскостями с расстоянием и' между ними; внутри бесконечной цилиндрической трубки диаметром 5(: внутри сферы диаметром 5(. Оценим сначала величину потока фотонов по порядку величины. Если бы поглощение внутри объема отсутствовало, то поток фотонов по порядку величины составил бы Л', /- — ( где 5( — наименьший характерный размер системы.
Однако при рассматриваемых условиях характерная вероятность выхода фотона за пределы системы, не поглотившись внутри нее, составляет Р(5() -(й,5()-'и (см. задачу 5.7). Учитывая это, находим для по- 3 2. ПЕРЕНОС РЕЗОНАНСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗЕ ЗО) тока фотонов Л,ив~в ! хаив ' о Такая зависимость потока фотонов от параметров задачи имеет место для любой геометрии системы, Вычислим теперь поток фотонов через рассматриваемую точку поверхности.
Для этого переместимся в некоторую точку поверх- ности и, выбрав ее за начало координат, подсчитаем проходящий через нее поток фотонов. Согласно формуле (5.9) он равен д'в (г) г)г Р (г) ов В l т 4лв В рассмотренных далее примерах в силу симметрии задачи поток фотонов направлен перпендикулярно поверхности, так что далее О является углом между нормалью к поверхности и направлением, соединяющим выбранную точку поверхности и точку объема, от- куда приходит фотон.
В рассматриваемом предельном случае основной вклад в поток фотонов вносит область объема, находящаяся от поверхности на расстоянии г4)) 1!)г,. В связи с этим, воспользовавшись асимпто- тическим выражением для вероятности Р (г), получаем для потока фотонов гув ог сов 6 1= 4янвуг1вт ~ гв!в в Выорав в качестве оси х перпендикулярное к поверхности направление, а в качестве осей у и г — два других направления, приведем это выражение к виду 1 " хохггуг)г 1=)в в~вхг)в ~ ( в+ув ( в)гГв ' где Лг Зв)в )в —— , г = (х + Д + гв)гм, СОЗ 8 = —, , 21!2 Г в Перейдем к рассмотрению конкретных случаев. Если 'газ заполняет объем между бесконечными стенками, расположенными на расстоянии в(, то вводя новые переменные р=--Уу'+гв, чг = = агс1и(у/г), получим 4явГ'агув,) З (Р + )'~в Зям'Двгв З У;=З)Г„- о о о В другом конкретном случае, когда возбужденный газ заполняет объем внутри цилиндрической трубки диаметра д, введем новые переменные р=-р' х'+у', гр=агс1я(у)х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
