Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Представим кинетическое уравнение для возбужденных частиц с учетом излучения. Оно имеет следующий вид: уоуш)((в (Г)+уво~бй(а(Г) — + ~ )((н (Г ) 6 (Г, у') б(» . Первые два члена в правой части уравнения отвечают столкновению частиц и имеют тот же вид, что и ранее, Третий член описывает спонтанное высвечивание возбужденных частиц, так что т — время жизни относительно этого высвечивания. Последний член в правой части уравнения характеризует переизлучение, т.
е. поглощение в данной точке пространства фотона, родившегося в другой точке. При этом функция Грина 6 (»', ») данного уравнения имеет следующий физический смысл. Величина 6 (»', г) д»' представляет собой вероятность того, что фотон, родившийся в точке»', поглотится в элементе объема г. Она обладает следующими свойствами; 6 (г, »') = 6 (»', г), 6(»', г)б(Г' -1. Первое свойство было использовано при написании уравнения, второе свойство следует из определения функции Грина, причем интеграл берется по всему бесконечному пространству. Найдем явный вид функции Грина данного уравнения.
Для этого найдем вероятность того, что фотон, испускаемый в точке г', 42 ПЕРЕНОС РЕЗОНАНСНО!О ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗЕ 3!о поглотится в элементе объема с)г вблизи точки г (рис. 5.4). Представим элемент объема с(г г(вг(х, где х направлено по лучу, а элемент площади с(в — перпендикулярно ему. Тогда для искомой вероятности получим 6(у', г)с(г== '1 гг„йо4 вуг~дхехр' )уг с(х) Здесь первый сомножнтель представляет собой вероятность того, что фотон будет излучен в заданном частотном интервале, второй— вероятность того, что будучи излученным изотропно, он пройдет через вы- туи деленный элемент объема г(г. Третий г' сомножитель характеризует вероятность у поглощения фотона на длине г(х, а чет- рис.
5,4. Геометрия распровертый — вероятность того, что фотон страиеиия фотона. дойдет до точки г, не поглотившись по дороге. Интеграл в экспоненте берется по лучу между рассматриваемыми точками. Таким образом, функция Грина рассматриваемого уравнения равна 6 (г', г) -= ) ",, ехр ( — ) /г„с(х), (5.12) где интегрирование ведется по частотам фотонов.
В соответствии с этим кинетическое уравнение для возбужденных атомных частиц принимает внд етушйгв (у ) +твввб)" в (у ) т + ) ~ А'в (и ) т)г пмгт, г)отех ( — ~ )г (х) . (5.13) Зго уравнение носит название уравнения Бибермана — Холстейна. Задача 5.20. Определить функцию Грина для переноса излучения в однородной газовой среде при лоренцевской н доплеровской формах спектральной линии излучения. Считать, что перенос происходит на расстояния, значительно превышающие длину свободного пробега фотона в центре линии.
В случае лоренцевской формы линии введем переменную з =- 2 (тв — втв) — где и — ширина спектральной линии (см. формулу (П4.2)). Получим а„с(оу —,, я„— - — ',, где й„— коэффициент поглощения в центре линии, т. е. на частоте со,. Подставляя ГЛ О РЛСПРОСТРЛНЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГЛЗЕ 3!6 это в выражение (5,12) для функции Грина, получим ()г = ! г — г' !) Ра Л„лоо Л Г оо; М,й 6 (Й) = ) — 4 Ро ЕХР( — неоР) — Л„о!Ро ) (! 1,), ЕХР ( — ! При вычислении этого интеграла была использована замена переменных з — — !5 (ер,'2) и определение функции Бесселя У, (г) = -о ооо = — ~ е-ооо"ог!ер.
В пределе ао)т'>)1 полученная формула дает В случае доплеровской формы линии (П4.1) введем безрази — мо- Мс 1 о мерную переменную з = ' !л —, так что а ейв — = е ' «1з мо г 2т р'и и А —. Е,е ', Подставляя это в выражение для функции Грина, получим о й о ео()о) ео ! -о,' ! -о ! Ге Ш 4а и' !2о,),! Ла Ио Л,!1о р 1и (Лц,и! ' о здесь ! -А„!ее '. В пределе е,)г)>1, заменяя верхний предел в интеграле бесконечностью и учитывая, что 1п )оо)т >) 1, получим б(й) — (4лм'Ф й'1/1п (й,й(1,)) ', ГдЕ то яВЛяЕтея РЕШЕНИЕМ ураВНЕНИя ) 1Е 'Е!1!П(1)1,)=0. РЕШая о это уравнение, находим 1п(, =1 — С 0,423, где С вЂ” постоянная Эйлера.
На основе этого получим окончательно б ()2) .— — ! 4пом й,У Р (1п й„й — 0,42)! Задача 5.21. Выяснить, при каких условиях излучение не нарушит термодинамического равновесия между основным и возбужденным состояниями атомных частиц. Считать, что плотность возбужденных частиц значительно меньше, чем плотность атомных частиц в основном состоянии. Искомый критерий следует установить из анализа уравнения (5.13), в которое включены процессы перехода между рассматриваемыми состояниями в результате столкновений и под действием излучения.
Г1ри поставленных условиях эти процессы не влияют на плотность атомных частиц в основном состоянии, где находятся практически все атомные частицы. Уравнение баланса для плот- 4 З ПЕРЕНОС РЕЗОНАНСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗЕ з!т ности резонансно возбужденных частиц (5,13) удобно переписать в безразмерных переменных. Введем безразмерную функцию у(г) — М,,~!1!,", которая равна единице, если плотность возбужденных частиц та же, что и при отсутствии излучения (Л!~ — плотность возбужденных частиц, отвечающая распределению Больцмана) Введем безразмерный параметр р — У,„„,т и безразмерное время !' = !1т Поскольку МОР„„А Л!ЗУ,Н„, то уравнение (5 13) в новых переменных принимает следующий вйд: — ", = ') у(г')6(г, г")й" +р — (1+!)) у(1).
(5.14) Из полученного уравнения следует, что влияние излучения на свойства газа характеризуется параметром р'. В частности, если ()>)1, то у(г) =1, т. е. распределение такое же, как и при отсутствии излучения. В этом предельном случае пропессы столкновения происходят быстро и излучение не успевает нарушить в системе равновесие, создаваемое в результате столкновения частиц.
Термодинамическое равновесие может не нарушаться и в случае, когда указанное соотношение не выполняется. Проследим за этим случаем. Введем (Р' — ~ 0(г, г')Г(г' — вероятность того, чзо родившийся в газовой системе фотон поглотится внутри газовой системы. Введем среднее по объему значение безразмер! ной функции у — —, ') у(г) Г(г, где 11 — объем системы.
Тогда приближенное решение стационарного уравнения (5.14) после интегрирования его по объему дает у.. ()((1+!3 — %'). 1(ак видно, если длина пробега фотона мала по сравнению с размерами системы (%'ж 1), то в основной части объема газа термодннамическое равновесие нарушаться не будет.
Действительно, в этом случае почти любой фотон поглощается внутри газа, т. е. излучение не уносит возбуждения за пределы системы. Задача 5.22. Считая плотность возбужденных частиц и другие параметры излучающ го газа постоянными внутри занимаемого им объема, определить плотность возбужденных частиц и поток выходящего за пределы системы излучения.
Форма линии излучения лоренцевская, длина пробега фотона в центре линии мала по сравнению с размерами системы. Воспользовавшись стационарным уравнением (5.14) и решая его с учетом того, что у(г) -сопз1, получим в+! — ~ 6 (г, г') Рг' причем интеграл в знаменателе берется по объему, занимаемому излучающим газом. Проанализируем полученное выражение. 3Г8 Гл. 5 РАСНРостРАнениг излучения В ГАзе Величина ~ 6(г, г')а(г' представляет собой вероятность того, что возникший внутри излучающего газа фотон поглотится внутри объема, занимаемого этим газом. Рассмотрим сначала случай, когда среда оптически тонка, т.
е. родившийся внутри объема фотон свободно выходит за его пределы, так что величина ~ 6 (г, г') э(г'((1. Тогда у = В)(1+(3). Как следует из этого решения и определения параметра В, если характерное время ТУШЕНИЯ ВОЗбУжДЕННОГО СОСТОЯНИЯ 1)У„в, МНОГО МЕНЬШЕ ВРЕМЕНИ излучения т, то у=-1.
В этом случае излучение не нарушает равновесного распределения частиц по состояниям. В случае, когда среда является оптически плотной, т. е. длина пробега фотона в центре линии много меньше размеров среды, введем новый безразмерный параметр. Обозначим РГ т,ФФ=-т(~1 — ) 6(г, г') дг'1 — среднее время, за которое возбуж- дение в виде излучения уходит за пределы системы. Вводя В.ФФ =у,у т,ФФ = ! — ~ 0 (г, г') Ег' представим решение стационарного уравнения (5.14) в виде . Как видно, при наличии переизлучения В,ФФ является Вэ', Ф ) + ВэФФ параметром, характеризующим влияние излучения на оптические свойства среды.
Подсчитаем интенсивность излучения, выходящего из объема, занимаемого газом. Число фотонов, покидающих этот объем в единицу времени, равно М,'у'!т,ФФ, где ээ — объем системы. В пределе В,ФФ((1 имеем у-=В Р э = эФ )У,.--М,В,ФФ, и число фотонов, испускаемых объемом в единицу времени, равно АУВ "" в утуштаФФ) ~тэФФ Л аувоэо(' ° При этом мы воспользовались соотношением между частотами возбуждения и тушении.
Как видно, в рассматриваемом предельном случае разрушение возбужденных состояний определяется их излучением. Поэтому полное число выходящих нз системы фотонов равно полному числу возбуждений, которые создаются в результате процессов столкновения. В дРУгом пРедельном слУчае, Вэво, )) 1, имеем )У', =- У51~. ПРи лоренцевской форме спектральной линии согласно результатам задачи 5.9 полное число фотонов, выходящих за пределы системы, равно в Л ПГРЕНОС ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛОЕ 919 Здесь 1' — поток фотонов, У вЂ” объем, занимаемый излучающим газом, 3 — ограничивающая его площадь. Задача 5.23. Нз плоский оптически толстый слой плазмы с бесконечными поперечными размерами падает пучок резонансных фотонов, поток которых равен 1, и направлен перпендикулярно поверхности плазмы. Определить плотность возбужденных атомов на гранипе раздела, если плотность электронов мала, так что каждый возбужденный атом разрушается в результате высвечивания фотона.
Внутри плазмы возникают два типа потока фотонов. Один из них — направленный, с плотностью потока 1'~(х) (х — расстояние до границы раздела), — создается под действием внешнего источника. Другой — изотропный, с плотностью потока 1. (х) — возникает в результате переизлучения фотонов. Условие равновесия для оптически плотной плазмы, для которой влиянием второй границы раздела можно пренебречь, приводит к равенству потоков фотонов, падающих на границу раздела и уходящих с нее. Это дает )в = 1.в = '~'в)в (О) Плотность возбужденных атомов на границе раздела М„найдем из уравнения баланса для числа излученных фотонов из единицы объема в единицу времени, которое равно М„lт, и числа поглощенных единицей объема в единицу времени фотонов, которое равно й (1., +1,) (й — коэффипиент поглощения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
