Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 61
Текст из файла (страница 61)
о 5 Здесь и; — оптическая толщина, создаваемая 1-и линией ца данной частоте Ги . Р.и;); )Р'(и;)5!и,— вероятность того, что опти- 5 ческая толщина за счет рй линии прн данной частоте лежит в интервале от и; до и;+5(пц так что 1(п) 5(и П к (и,) 5(ц. (' тт Обратная операция дает х Г(и) - — ) т (1] ецх 511 -- [ П х5(1) с' "«11. Выделим фиктивный интервал частот Лм, в котором находится рассматриваемая частота. Вероятность того, что центр Лй линии расположен в промежутке от м; до м, +йо,. в данном интервале, раВНа 5(555/Леь СЧИтая, ЧтО ШИрИНа ОтдЕЛЬНОй ЛИНИИ МаЛа ПО сравнению с величиной выделенного интервала, так что создаваемая 5'-й линией оптическая толщина на расстоянии порядка ЛЕ5 от ее центра много меньше единицы, получим ул(1) =) е 5 ' — ' =-1 — — 1 [1 — е 5 '( 11емп Отсюда, учитывая мало=ть второго слагаемого по сравнению с единицей, находим ! Х, (1) — — ~ Ь»;!1 — с и'т!"')1 Устремляя Лы к бесконечности и учитывая, что распределение каждой линии по положению ее центра и по интенсивности одинаково, получим ~ЙО [1 — пп;(х- ш, з)~ д (З вЂ” — р 6 !ну (1) Г1ри этом в данном интервале ЛЕ5 находится Ю линий, так что 6.=-Л55/Лг — средняя разность частот для соседних линий.
Далее, и; — оптическая толщина, создаваемая отдельной линией, интенсивность которой равна 3 и центр которой расположен в точке 555Р Отсюда на основании вышеприведенных формул определим искомую $ 3. ПЕРЕНОС ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛРЧЕНИЯ В СЛОЕ 325 функцию распределения: Ци)= — Г) А(ехр~(((и — ~ ~' р(Я)Г(5[1 — е и"Г(" "Г~)~ ~Ю (5.22) Определим на основании полученной формулы среднее значение функции поглощения на данной частоте. По определению этой функции она равна Ю А = ~ (1 — е-") )".(и) о(и =- 1 — ) е-"7 (и) Г(и.
о о Используя выражение для ) (и) и вычисляя интеграл по Г(и, получим А =-1 — — ~ —. ехр — ~ — ' р (Я)Ж[! — е — ии. 2н~ (! — и) ( ~ 5 Подынтегральиая функция имеет полюс в точке 1= — ~'. Выражая интеграл через вычет подынтегральной функции в полюсе, найдем окончательно А =1 — ехр ( — ~+р(5) Г(5 (1 — е ".Г)~.
Эта формула совпадает с результатом задачи 5.23. Задача 5.27. Считая, что интенсивность спектральной линии однозначно определяется частотным интервалом, в котором оиа находится, получить формулу для ширины зоны испускания плоского слоя молекулярного газа в рамках случайной модели. По определению ширины зоны испускания имеем ' ЛГо=-2 ') Гйо ') созЫсозй '[1 — ехр ( —" )1. При заданной частоге усредиим подынтегральное выражение по возможным значениям оптической толщины. Имеем О 1 — ехр ( — — "В) = ~ 7(и) Г(и Г[1 — ехр ( — — "~) ~.
б Воспользуемся выражением для функции распределения по оптическим толщинам, найденным в предыдущей задаче при одно- 3 3. ПЕРЕНОС ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛОЕ где ы! отвечает центру линии, и „вЂ” оптическая толщина слоя для центра линии, у — ширина спектральной линии, з==(со — а!)/ч.
Подставляя это выражение в формулу для ширины зоны испускания, полученной при использовании случайной модели, имеем ."ОР ! Ь!з = 2 ~ ГЫ ~ соз 8 Г( соз 8 х — ю О +" (-'У'*('-" (- "'::! )ф При этом и,„(Гз) — оптическая толщина слоя молекулярного газа в центре линии, которая пропорциональна интенсивности линии, а та, в свою очередь, зависит от частоты перехода. Вычислим далее ширину зоны испускания, считая, что в области частот, определяющих эту величину, и „„резко убывает по мере удаления от центра полосы. При этом заметим, что основной вклад в искомый интеграл вносят частоты, для которых — ') !(З(1 — ехр [ —,,',"„1~ 1.
Рассмотрим сначала случай, когда ширина спектральной линии Р мала по сравнению с разностью частот соседних линий. Тогда основной вклад в интеграл вносят частоты, которые отстоят от центра перехода на расстоянии, значительно превышающем ширину линии, так что Ь ~ г(з~1 ехр~ ' о"Е)1 2 Ь 1~ .е и ширина зоны испускания равна м ! Оь! = 2 ) Г1а! ~ соз 8!1 соз 8 (1 — ехр ~ — — ф' о При вычислении этого интеграла учтем, что и „., резко зависит от частоты.
Основной вклад н интеграл вносят частоты, для которых показатель экспоненты порядка единицы. Но в силу резкой зависимости и,„(в) в процессе изменения частоты выражение в фигурных скобках практически изменяется от единицы до нуля в малом интервале частот. Учитывая указанные обстоятельства, выберем частоту ы', которая близка к частоте центра полосы переходов ь!Ф но для частоты ы' показатель экспоненты много больше единицы. В окрестности <о' зависимость оптической толщины слоя в центре отдельной линии от частоты зададим в виде и,„(ы) =- и,„(ьз') е-" «'- '), где а представляет собой логарифмическую производную от величины и„„при частоте ы'.
о 3. ПЕРЕНОС ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛОЕ ЗЗ9 Это приводит к следующему выражению для ширины воны испускания: 1 5 Ла-= 2) сов ОГ(сов О ) па(! — ехр [— о Ф Введем, как и ранее, некоторую частоту а', при которой показатель экспоненты еще велик. В то же время она близка к частоте, при которой показатель экспоненты порядка единицы.
В силу резкой зависимости и„,„(а), аппроксимируя в этой области частот величину и,„(а) = и,„(15') е-" 1"-"'1, получим 1 А/ооо О ба=2(а' — ооо)+ — ) созОГ(созО ) — 5(1 — е '). о о Здесь а,— центр полосы рассматриваемых переходов, а= — ооон ехр( — а(а — а')1, А= 6 и,„(а'))~1. Определяя, как и раньше, асимптотическое выражение последнего интеграла при А)) 1, получим 1 А С Аос Ла=-2(а' — а,)+ — ~ созО11созО 1и оо 5050 о о = 2(а' — ао)+' — 1п(Аес+Ио) = 2 (1о,— ао) где частота а, определяется соотношением — и „(а,) =(лес+и') " Задача 5.29. Определить коэффициент поглощения в молекулярном газе, если переход осуществляется в результате колебательно-вращательного перехода линейной молекулы. Прн этом имеет место лоренцевское уширение спектральной линии и ширина спектральной линии мала по сравнению с разностью частот для центров линий соседних переходов.
Будем считать, что поддерживается термодинамическое равновесие между колебательно-вращательными состояниями. Тогда плотность молекул на колебательном уровне О и вращательном 1 равна А1 л1 е — Аи,о(т (21 1„1) е-В1 (1'оо11т В о1 о ) ГДЕ 15'о — ПОЛНаЯ ПЛОтНОСтЬ МОЛЕКУЛ В ОСНОВНОМ КОЛЕбатЕЛЬНОМ состоянии, Ьао — энергия возбуждения колебательного уровня,  — вращательйая постоянная молекулы, Т вЂ” выраженная в энергетических единицах температура газа, причем В<~ Т, Гл 5 РАспРостРАнение излучения в ГАзе Пользуясь соотношением (б,б) для коэффициента поглощения и формулой (П4.2) для формы спектральной линии, получим значение коэффициента поглощения в рассматриваемом случае за счет возбуждения молекул из основного колебательного состояния: Ь„= — '„,' "0 ГРЛ(0(1 — е-™1') —,(2/+1)е-~л~-Н)~ „ l ! где Гв — частота спонтанного высвечивания для рассматриваемого перехода, т — ширина линии излучения, $00à — энергия перехода, причем Ьсэ =лса0+2В(/+1) для перехода с увеличением вращательного момента на единицу (Р-ветвь) и Ьа, -=л050 — 2В/ для перехода с уменьшением вращательного квантового числа на единицу ()с-ветвь).
Введем т — время жизни относительно высвечивания для колебательного возбужденного состояния молекулы. Поскольку 1 — = п0(! )' — 1)+ГЕ(1 !+ 1) и для больших значений вратцательных моментов () )) 1) Га Ц 1 — !) = Га О /+!), то 1 Гв(! 1 — 1) =- Гво — 1+1) = †. Учитывая это и считая вращательную постоянную В малой по сравнению с энергией колебательного возбуждения Т0000 и тепловой энергией Т, представим формулу для коэффициента поглощения в виде 0 м à — 000 — Х ((+1!2) + 00 Используя далее, что В<~Т, на основе формулы для суммзе Х, ! п5Ь2су (5 — п)0+у' у (сЬ 2яу — со5 2ях) преобразуем выражение для коэффициента поглощения к виду Яй0У ( 1ь'- (00 — м0)') ~ сь — — с05 В В Коэффициент поглощения, как функция частоты, является почти периодической функцией с периодом, равным 2В Г1 (2 — разность энергий для соседних колебательно-вращательных переходов).
Такая зависимость для коэффициента поглощения носит название функции Эльзассера. Эта функция имеет вид гребенки. Отношение значений коэффициентов поглощения в соседних $ Э. ПЕРЕНОС ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛОЕ зз! НЬ~~(I НЬ максимуме и минимуме равно (1+ с)à — ) ( (с)à — — 1) . В частности, если Ьу((В, то это отношение велико и равно (2В(лйт)'. Максимальное значение коэффициента поглощения обусловлено возбуждением вращательного состояния, где находится максимальное количество молекул. Ему соответствует частота перехода )о — Гз,) =)'2ВТ~~~)Ь, а максимальное значение коэффициента поглощения Задача 5,30.
Определить ширину зоны испускания для квазирегупярной модели и лоренцевской формы спектральной линии. Считать, что интенсивность спектральной линии, которая мало изменяется для соседних линий, резко изменяется с частотой в масштабах частот, сравнимых с шириной зоны испускания. В рассматриваемом случае, согласно результату предыдущей задачи, оптическая толщина слоя равна 2зР сь — — 1 6 и =- и (Го) 2пт 2п (Ф вЂ” Фо) СП вЂ” — АСЬ б 6 2ят 1 сь — — ! и (Ф) б г х 1 — ехр с05 8 2ят 2п (Ф вЂ” ФР) сп — — соз 6 б Здесь и„(ы) — оптическая толщина слоя в центре соответствующего перехода, У вЂ” ширина линии, б = 2В/й — разность частот соседних линий, ы,— частота, Отвечающая центру полосы рассматриваемых переходов. При этом, как и ранее, считаем, что полоса расположена симметрично относительно своего центра.
Кроме того, согласно условию применимости модели значение и (ы) мало изменяется прн смещении частоты на величину порядка б, однако на краю полосы и (ы) заметно изменяется при смещении частоты на величину, малую по сравнению с шириной зоны излучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
