Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Исследование положительного столба разряда представляет физический интерес. С другой стороны, поскольку газовый разряд широко используется в прикладных целях, то изучение свойств положительного столба разряда имеет и практическое значение. Считается, что положительный столб разряда находится в диффузионном режиме, если длина свободного пробега электронов мала по сравнению с поперечными размерами разрядной трубки. Следовательно уход заряженных частиц на стенки определяется амбнполярной диффузией. Кроме того, плотность газа в разряде этого типа не очень велика.
Поэтому температура электронов значительно отличается от температуры газа. Задача 6.1. Определить распределение заряженных частиц по сечению цилиндрической разрядной трубки, если образование заряженных частиц в положительном столбе определяется прямой ионизацией, а уничтожение заряженных частиц обусловлено их уходом на стенки. о! ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ СТОЛБ РАЗРЯДА 345 Уравнение баланса для плотности электронов 11', при рассмат- риваемых условиях задачи имеет вид Ю,О11Г, + й„„„йГ,Л", =- О, где Ю,— коэффициент амбиполярной диффузии, я„„— константа скорости ионизации атомов в основном состоянии, 11',— их плот- ность. Используя цилиндрическую симметрию задачи, приведем уравнение баланса к виду (6.1) (р — расстояние электрона от оси разрядной трубки).
Решая это уравнение при граничном условии )У, (г,) = 0 (г„— радиус трубки), находим М, = Ф,7, (2,405р!г,), (6.2) где )11,— плотность электронов на оси трубки, 7,(х) — функция Бесселя. При этом, как вытекает из уравнения баланса, пара- метры плазмы и размер трубки связывает следующее условие: М,йо„4)Я, = 5,78. ~(6.3) Это ее условие дает уравнение для напряженности продольного электрического поля в области положительного столба, ибо ча- стота ионизации определяется величиной напряженности поля.
Согласно формуле (6,3) частота образования заряженной частицы равна частоте ухода ее на стенки разрядной трубки. Отметим, что в области внутри трубки в формуле (6.2) удобно использовать разложение функции Бесселя при малых значениях аргумента: Уо(2,405х) = 1 — 1,446х' +0,523х' — 0,084х'+0,008х', где х =-р)г,. С этим выражением проще проводить аналитически. операции. Более простое и более грубое по сравнению с форму- лой (6.2) выражение для плотности электронов, которое удовлет- воряет граничным условиям, имеет вид ~~~о' ~о(1 х ) 1 При и=1,52 интеграл ~ )Ч,хо(х, взятый с этой функцией, совпа- дает с величиной интеграла, если в качестве 1т',(х) подставить точное выражение (6.2). Кроме того, ~ 1! — х1 оо — 7о (2,40зх)Р 2х юх = 2,7.10 ', 1оол~оо)о и,~ о 346 ГЛ б НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ГАЗОВОГО РАЗРЯДА т.
е. приближенная функция близка к точной. Однако производная б(Ж,(дх на стенке (х=!) для приближенной функции оказывается в 1,22 раза больше, чем для точной функции (6.2). Задача 6.2. Определить распределение заряженных частиц по сечению цилиндрической разрядной трубки, если заряженные частицы образуются в малой области вблизи оси разрядной трубки (й„н = й„, р ( р„; йн,н = О, р > р,; р„(( г,). Такого типа распределение частоты ионизации по сечению трубки может возникнуть из-за разных температур газа на разных расстояниях от оси трубки. При не очень малых значениях разрядного тока газ в разрядной трубке нагревается в результате столкновения его молекул с заряженными частицами.
Тепловой поток уходит на стенки трубки, так что температура газа в центре трубки выше, чем у стенок. Поскольку давление газа в каждой точке пространства постоянно, то плотность молекул у оси трубки ниже, чем у стенок. Поэтому столкновение заряженных частиц с молекулами газа у оси трубки происходит реже, чем у стенок, а средняя энергия электронов, находящихся у оси, выше, чем у стенок разрядной трубки. Поскольку ионизация молекул газа определяется быстрыми электронамн, находящимися на хвосте функции распределения, то даже малый градиент температуры газа может привести к большой разнице между частотами ионизации у оси трубки и у стенок.
Решая уравнение баланса (6.!) для плотности электронов прн условиях данной задачи, получим У ,= ~( 4н!! Р ) ' а йГ, 1п — ', р,(р< г,. Р ' В полученном решении мы использовали граничное условие У, (г,) = О. Сошьем представленные выражения для плотности электронов в точке р=р„требуя в этой точке непрерывности плотности электронов и его производной (т. е, потока). Это дает 7 Аннах а и ~ 466 1') ' аЮа ! го ',= — +!п —. Анонх апо 2 Ро Последнее условие по своему физическому смыслу эквивалентно условию (6.3). Оно устанавливает соотношение между частотой образования заряженных частиц и частотой их ухода из объема, где они создаются, Отметим, что в это условие входит именно размер области, в которой образуются электроны, а не той, которую они занимают.
При ро=-г, это условие переходит в (6.3) с заменой величины 5,78 в прцвой части этого соотношения на 4. $1, ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ СТОЛБ РАЗРЯДА Такое расхождение связано с использованным предположением, которое нарушается в данном случае: размер занимаемой элек1- ронами области мал по сравнению с размером разрядной трубки Для определения степени сжатия разряда введем величину А,(О) .,,(! Эта величина определяет, какую часть разрядной трубки занимают электроны. В случае, когда распределение электронов по сечению дается зависимостью (6.2), эта величина равна х= 0,44. Для полученного распределения она составляет х = (1 — 0,5у)!'(1 — 1и у), у = р,',1г,'.
В частности, при и=! величина х=0,5. Значения этой функции даны ниже у 0001 ООРЗ 001 ООЗ 01 ОЗ 1 х 0,128 0,147 0,178 0,218 0,288 0,386 0,8 Как видно в рассматриваемом примере, область, занимаемая заряженными частицами, значительно шире области, в которой они образуются. В данном примере уменьшение области образования электронов на три порядка изменило размер области, в которой они находятся, в четыре раза. Поэтому сжатие области, в которой образуются электроны, еще не вызывает сжатия разряда. Задача 6.3. Метастабильные атомы равномерно образуются по сечению разрядной трубки, а гибнут только на стенках, причем длина пробега метастабильных атомов значительно меньше радиуса разрядной трубки.
Считая, что вероятность гибели метастабильных атомов на стенках у - 1, определить отношение плотности метастабильных атомов у стенок к их плотности в центре разрядной трубки. Для нахождения распределения метастабильных атомов по се- чению разрядной трубки необходимо решить уравнение баланса для плотности метастабильных атомов, которое имеет вид (6.1): 18/ ЛА!! !5- — ( р — ! + тУ = О. «0(, Здесь 1*1 — плотность метастабильных атомов, р — расстояние от центра разрядной трубки, !5 — коэффициент диффузии метастабиль- ных атомов в газе, т — частота образования метастабильных ато- мов в объеме. Решение этого уравнения с учетом, что на оси трубки плотность метастабильных атомов конечна, дает Л! = У,У, ()' ~'/Ж> р), где 1т',— плотность метастабильных атомов на оси трубки Збв ГЛ. б.
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ГАЗОВОГО РАЗРЯДА РА' ~ у (~ ) о которое дает связь между параметрами задачи. Подставляя в это граничное условие выражение для плотности метастабильных атомов, перепишем его в виде У (У ~'(Ю Ро) (. ()Г"/Ю Р ) 4 У РЮ При заданных условиях задачи правая часть этого соотношения много больше единицы. Отсюда получаем в нулевом приближении У,(Р' ~/Ж>р,)-0, что приводит нас к соотношению (6.3): Р' 7(Ю р„=- 2,405.
Действительно, при этих условиях правая часть соотношения (6.4) составляет по порядку величины = — 7 — )) 1, 7" то Ра Ра ф'тЮ Ю причем было использовано, что 7 1, Ю о)., где Х вЂ” длина: свободного пробега метастабильных атомов в газе. Рассмотрим следующее приближение при разложении (6.4) по малому параметру. Представим связь между параметрами задачи: (6. 4) )Гт(Ю р = 2 405 6 где б((1. Подставляя это в соотношение," (6,4), получим 4)' ТЮ 9,62 Ю то 7РРо При этом плотность метастабильных атомов на стенках разрядной трубки равна 1У(Ро) =- ~оУР (~ т(Ю Ро) = Л вбУ~ (2 405) — --0,519Уоб = Уа торо В рассматриваемом линейном приближении частота образования метастабнльных атомов 7 связана с другими параметрами задачи, причем эта связь вытекает из граничных условий. Действительно, число образуемых в объеме метастабильных атомов равно числу метастабильных атомов, гибнущих на стенках.
Далее найдем граничные условия, а из них — связь между параметрами задачи. кн ~ Поток метастабильных атомов на стенки равен 1= — Ю вЂ” ~ "Р !Р. С другой стороны, поток атомов на стенки из пристеночной области равен '(а)о'(р,) и, где о — средняя тепловая скорость мета- стабильных атомов.
Вводя 7 — вероятность гибели метастабильного атома при соударении со стенкой и приравнивая потоки метастабильных атомов, разрушающихся на стенках, получим граничное условие й Ь ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ СТОЛБ РАЗРЯДА З49 Таким образом, плотность метастабильных атомов на стенках 4,99Я1 разрядной трубки составляет ' ' часть от их плотности на т-'ра оси разрядной трубки. Задача 6.4. Разряд поддерживается между двумя плоскими бесконечными пластинами. Определить распределение электронов между ними и найти условие, накладываемое на напряженность электрического поля в положительном столбе, если вероятность рекомбинации заряженных частиц на стенках у отлична от единицы.
Считать, что частота нонизацин атомов не меняется по сечению разряда. Данная задача позволяет проследить на простой геометрии, как условие на стенках влияет на характер распределения заряженных частиц внутри разрядной трубки. Решим уравнения баланса для плотности электронов, которое в полной аналогии с (6.1) имеет вид д "а Здесь х — расстояние от плоскости симметрии, т.е, плоскости, которая параллельна стенкам и находится от них на равных расстояниях. Координаты стенок х — ~- 0~2, где 1 — расстояние между стенками. Решение представленного уравнения с учетом симметрии задачи (У,(х)=-М,( — х)) имеет вид й е )( а СОБ У йиаи й(а~ййа Х где еи',— плотность электронов на плоскости симметрии. Наша задача — найти условие, накладываемое на аргумент в полученном выражении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
