Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 55
Текст из файла (страница 55)
4.6. Область интегрирования в аадаяе 4.56. Интегрирование ведется по области, показанной на рис. 4.6. При этом в случае рекомбинации электрона и иона плотность состояний определяется формулой Р()= — „=-~6( — 2,+~~. '' ~ 2 ь" где и; — расстояние от электрона до (-го иона. Плотность состояний нетрудно вычислить для (е(~)еаЛ',"' (йг,— плотность ионов). В случае положительных энергий электрона его взаимодействием ге» с ионами при е~~)еай(на можно пренебречь лт,еа(г; мало по сраве нению с е~), так что и* Х е(р Зе 4я (2те)т(агни а,.т(а Р"е"и ) ( 2т ) (2ие)а (2яе)а где ье — объем системы, т — масса электрона. Для связанного электрона с энергией связи, превышающей потенциал взаимодействия электрона с отдельными ионами, (е(>) еайг,'", интеграл для плотности состояний разбивается на сумму интегралов вблизи каждого из ионов: й( (- ~ 6 ( ре + еа ) г(р 4Г )Г 2паеетыа)(;ье ! е ! ~) еа)и г $4.
РекомаииАция ЗАРяжеешых чАстиц в плхзме 29! Из сравнения выражений для плотности состояний р„,„р и р„„, видно, что для идеальной плазмы р„,„р > р,„„,. При этом для идеальной плазмы область энергий е'Л) ', где плотность состояний не определена, мала. Поскольку р„„„р/р„„,))1, в интеграле для времени рекомбинации удобно ограничиться лишь областью, заштрихованной на рисунке, где у > О, х < О, и в подынтегральное выражение входит отношение р„,„е(р,„„,. На основе этого получим / . - ! е !/ г /! ) е 1 т (е) ж т(О) =- ~ ' ~ е-Р/г р (у) 4(д —-- 2Т" /' (' ( е - ! ' // г ( е (4/' /( ( е ( В ' (е), 7 >) Т. п'/е/4А/ д /о (4.
63) Время рекомбинации определяется форл!улой (4.63), найденной в предыдущей задаче, причем мы считаем 1 )) Т, (Т, †температура электронов). Задача сводится к нахождению велйчины ! дЛе~ В(е) = —— д/ где черта сверху означает усреднение по координатам и скоростям электрона. При вычислении этой величины мы будем считать, что электрон движется в поле иона по классическим законам и в результате соударения с атомами обменивается с ними энергией. Тогда, как было найдено ранее (формула (1.74)), е е а где и,— скорость атома, с которым электрон обменивается энергией, и,— скорость электрона, а' — диффузионное сечение упругого рассеяния электрона на атоме.
Усредним это выражение по скоростям атомов и скоростям электронов. Рассматривая движение в системе координат, где ион неподвижен, получаем <и'",'> -= 3Т,)М+ + п'";, где ҄— температура газа, М вЂ” масса атомов, и/ — скорость иона. При малых скоростях электрона и* — -сопз1. Для связанного электрона имеем ~4 ' ~ "еб/! е 2 '+ )/(е/е 4(~' ~ ~ 6(е 2 + )4(е/е/1/'1 !Е // 21е)) е/е Зя !, е/ ! Задача 4.57. Вычислить коэффициент рекомбинации электрона и иона, если рекомбинация обусловлена тройными столкновениями электрона с атомами газа. 292 ГЛ. 4.
ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ 3АРЯЖЕННЪ|Х ЧАСТИЦ В ГАЗЕ На основе этото получим для в с'О В (Е) = — '1 1 + — 4 ~ М Оел4ме — (2 ( Е ~) Яе. При этом мы считали, что за несколько соударений электрона с атомом скорость иона не меняется. Отсюда змт"' е 16 ~Г2йе'МГТГ (1+Мее(ЗТГ) Фаветы' Коэффициент рекомбинации, усредненный по скоростям ионов, равен 1 16)е 2п ееУе Те РГта» (4.64) [Ае 3 е где р — приведенная масса атома и иона.
Глава 5 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГАЗЕ $ 1. Равновесие излучения с газом Излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с газом, сосредоточенном в том же объеме, или со стенками сосуда, в котором оно находится, носит название черного излучения. Термодинамическое равновесие излучения с газом отвечает сильному взаимодействию между ними, которое сопровождается поглощением и излучением фотонов. Термодинамическое равновесие может иметь место как в узком интервале частот поля излучения, так и во всем спектре. Далее будут рассмотрены некоторые закономерности, характеризующие черное излучение.
! Задача 5.1. Получить формулу для среднего числа фотонов, находящихся в одном состоянии при наличии термодинамического равновесия с температурой Т. Распределение для числа фотонов †осциллятор поля излучения †определяет теми же законами, что и распределение для любого другого типа колебаний при термодинамическом равновесии. В частности, по аналогии с распределением молекул по колебательным состояниям, имеем, что вероятность возбуждения »в» п фотонов в рассматриваемом состоянии с частотой м равна е г Отсюда находим среднее число фотонов, находящихся в одном состоянии с энергией гив: ьв» Аи» / Ао~ ~ -1 (5.1) Эта формула носит название распределения Планка.
Задача 5.2. На основе распределения Планка вывести законы черного излучения для спектральной плотности излучения Н вЂ” энергии электромагнитного поля излучения, приходящейся на единицу объема и единичный интервал частот. Выделим элементарный объем )г из всего объема, в котором сосредоточено поле излучения. По определению спектральной плотности излучения имеем, что энергия поля излучения, находящаяся в выделенном объеме в интервале частот от м до ы+йо, '»' »'л равна )г()„г(а. С другой стороны, эта величина равна 2 —,Вал, Гл, 5.
РАЕПРОстРАнение излучения В РАзе где множитель 2 учитывает число поляризаций поперечной электудв ромагнитной волны, —. — число состояний в рассматриваемом (2Е)з интервале фазового пространства, ли- — число фотонов в одном состоянии, й — волновой вектор фотона, йм — энергия этого фотона. Приравняем указанные величины и воспользуемся дисперспонным соотношением между частотой электромагнитной волны и волновь<м вектором ьз-- йо (с — скорость света). Из полученного соотношения имеем следующее выражение для спектральной плотности излучения: й з Если поле излучения находится в термодинамическом равновесии с газом или стенками сосуда, в котором оно сосредоточено, то для числа фотонов в одном состоянии можно воспользоваться формулой (5.1).
Это дает для спектральной плотности излучения: й. з ~ = — 7-~и (5.2) пзсз(, е — 1 / Полученная формула носит название формулы Планка. В предельном случае больших частот она переходит в формулу Вина: Йи й з й У„= —,е г, — >)1. В другом предельном случае, малых частот, формула Планка переходит в формулу Релея †Джин: мзт йм (),„= —... — (~1. Формула Релея — Джинса соответствует классическому пределу, когда результат не зависит от квантового параметра Ь.
В этом случае зависимость спектральной плотности излучения от определяющих ее параметров может быть получена из соображений размерности. Действительно, в этом предельном случае спектральная плотность излучения выражается через параметры ьз (размерность частоты), Т (размерность энергии), с (размерность скорости). Из этих параметров можно составить только одну комбинацию с размерностью спектральной плотности излучения, которая равна изТс '. Отсюда с точностью до постоянного множителя имеем: ()„ - азТс-з, что совпадает с формулой Релея †Джин. ! Задача 5.3. Определить поток энергии излучения, испускаемого с поверхности абсолютно черного тела(закон Стефана †Больцмана). Внутри объема, заполненного черным излучением, во все сто роны распространяется поток энергии излучения, который в рас- З Е РАВНОВЕСИЕ, ИЗЛУЧЕНИЯ С ГАЗОМ 295 сматриваемом интервале частот от ы до ы+Гйо равен Ь .„( =си.Ы Здесь Ги — поток фотонов внутри объема с черным излучением, который согласно формуле Планка определяется формулой Этот поток фотонов распределен изотропно в каждой точке рассматриваемого объема.
Поток энергии излучения, испускаемого с поверхности абсолютно черного тела, мы будем понимать как поток излучения, выходящий через отверстие из полости с непрозрачными стенками, которая заполнена черным излучением. С поверхности черного тела излучается изотропно во все стороны поток ~1„$ГВГ(ВЕ такчтп в направлении элемента телесного угла йо излучается поток энер. ьг. гии, равный „вЂ” „~ 1„чае(ее Проектируя элементарные потоки излучения на направление результирующего потока, который перпендикулярен к излучающей поверхности, и учитывая только часть потока, которая уходит наружу за пределы излучающего тела, получим для результирующего потока излучения 4 ) 1айы~йв 4 ) 1"Йа йо=- ОТ', (5,4) о О о где 0 — угол между нормалью к поверхности н направлением испускаемого фотона, о (4л'СФ) ' ~ (е" — 1) 'х'е(х= л'(60СФ = = 5,67 1О "Вт см '.К ' — постоянная Стефана — Больцмана.
Сам закон (5.4) носит название закона Стефана †Больцма. ! Задача 5.4. Вывести закон Стефана — Больцмана из соображений размерности. Равновесное излучение с поверхности абсолютно черного тела определяется температурой тела Т, а также параметрами Ф вЂ постоянной Планка н с †скорост света, которые характеризуют излучение. Из этих параметров можно построить только одну комбинацию с размерностью l †пото энергии. Эта комбинация имеет внд т1 ГАЗ ' Полученное соотношение с точностью до постоянного множителя совпадает с законом Стефана — Больцмана (5.4).
296 Гл. 5. РАСНРост РАнение излучения в ГАзе Задача 5.5. Получить уравнение состояния для поля излучения, находящегося в термодннамнческом равновесии с газом и сосредоточенного внутри выделенного объема. Фотоны, перемешаясь внутри рассматриваемой области, переносят импульс и за счет этого оказывают давление на находящийся в данном объеме газ или на ограничивающие его сзенки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
