Смирнов Б.М. Физика слабоионизированного газа (1185093), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Перейдем теперь в систему координат, в которой положительно заряженная частица покоится. Число отрицательно заряженных аэрозольных частиц, пересекающих сферу радиуса Я, равно т = 4п/с'ю/т', По определению величина т удовлетворяет уравнению баланса: 4/й//4и = — тй/. Отсюда получаем выражеиие для коэффициента рекомбинации: (3 = т/й/ = 44/'/ЗЧг4. Задача 4.54. Рассмотреть предыдущую задачу в случае, когда аэрозольные частицы распределены по радиусу и заряду, который сосредоточен на частицах.
Распределение частиц по радиусу и заряду одинаково для частиц, несущих заряд разных знаков. Кроме того, заряд, который несет частица, не зависит от ее радиуса. Введем /(4/) †функц распределения аэрозольных частиц по заряду, который они имеют. Эта функция нормирована на еди- Ъ ницу, так что ~ /(д)4(4/=1, Воспользуемся промежуточными результатамй предь4дущей аазачи. Скорость сближения частиц аэрозоля с радиусами г, и г.„, зарядами разных знаков 4/, и 4/, при расстоянии /т между ними равна Поскольку коэффициент рекомбинации пропорционален этой величине и зависимость от радиуса частицы определяется только этим множителем, проведем усреднение скорости сближения частиц по радиусу частиц.
Так как заряд частицы не зависит от ее радиуса, усреднение по заряду и радиусу можио проводить независимо. Усреднение по радиусу дает для средней скорости сближения разиоимеино заряжениых частиц с зарядами 4/, и 4/,: Чыа ! 3Р ЗЯЧА4 ' где 1/г, = <!/г> и угловые скобки означают усреднение по радиусу частиц. Введем коэффициент рекомбинации зарядов в аэрозольной плазме а на основании уравнения баланса: 4/й/,/4// = — а/4/4/4/, 566 Гл. о, ПРоцессы с учАстием зАРяженных чАстиц В ГАзе где Л~ = йà — число зарядов в единице объема смеси.
Эта величина связана с плотностью аэрозольных частиц гвг, использованной в предыдущей задаче, соотношением )у,=у =м<д>, где <д> — средний заряд частицы. Соответственно, в случае частиц одинакового заряда д, который сосредоточен на отдельной аэро'зольной частице, коэффициенты рекомбинации, введенные в предыдущей и данной задачах, связаны соотношением () =ад. Частота, с которой исчезает заряд на положительно заряженной частице заряда д„равна (ср. с предыдущей задачей) у = 4п)<вцвгв' цйп (д„д,) = — '' ппп (д„<гв).
44,АУ Зпго Отсюда имеем уравнение баланса для плотности зарядов: Ело — = — угвг = — аго в <д)в м где <5> †средн заряд на аэрозольной частице. Сравнивая выражения в этом уравнении, получим для коэффициента рекомбинации: 4 <двчв пня (Чь чо)) Зпго <4> В частности, для функции распределения, использованной в предыдущей задаче [~(в)) = 6 (д — о)о)1, имеем отсюда 44о Р а= — = —, Зпго 40 ' где р — коэффициент рекомбинации, найденный в предыдущей задаче. Приведем результаты для простой функции распределения: ч С чи 1(о)) = (в)в — о)в) ' в)в < о) С Чв д»д,.
В этом случае для коэффициента рекомбинации имеем !6 24вв+4дввв+авдо+Здв 45пго Йв+чв) В предельном случае, когда дв = д„ получаем результат предыдушей задачи. В другом предельном случае, дв<~д„получаем 524в а= —. 455 го Оба предельных случая (а также промежутсчные случаи для данной функции распределения) с точностью до Зого аппроксими- $4. РЕКОМЕИНАЦИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ Е ПЛАЗМЕ 2ЗТ руются выражением 1,аз<ай> а= ч'о Видимо, это выражение подходит и для другого распределения аэрозольных частиц по зарядам. Задача 4.55. Определить зависимость коэффициента диссоциативной рекомбинации электрона и комплексного иона от температуры электронов, считая, что температура электронов порядка комнатной температуры. В силу сложности комплексного иона имеется много каналов для перехода энергии электрона на внутренние степени свободы образуемого комплекса.
Тем самым осуществляется сильное взаимодействие электрона и комплексного иона, которое и определяет искомую зависимость. Решим задачу на основе следующей модели. Будем считать, что если электрон попадает в область, находящуюся вблизи комплексного иона радиуса Тх'„ то имеет место рекомбинация. В противном случае рекомбйнации не происходит. Тем самым мы выделяем область сильного взаимодействия электрона и комплексного иона. Поэтому далее наша задача сводится к вычислению сечения попадания электрона в область радиуса Я, вблизи комплексного иона. Воспользуемся классическим законом движения электрона. Установим связь между прицельным параметром столкновения р и расстоянием наибольшего сближения г ИР Потенциал взаимодействия между электроном и ионом кулоновский, причем в области сильного взаимодействия между ними он значительно превышает тепловую энергию.
Поэтому кинетическая энергия электрона на расстоянии г;„от иона равна е'/г„м, а касательная компонента скорости при этом расстоянии (нормальная компонента скорости при расстоянии наибольшего сближения равна нулю), составляет р' 2е'/глг;„. Здесь е — заряд иона и электрона, т— масса электрона. Приравняем момент количества движения электрона относительно иона вдали от иона н при расстоянии наибольшего сближения. Имеем л4Ро= — тг ЫР 2е'(тг;„, где о — скорость электрона на бесконечности. Отсюда находим связь между прицельным параметром столкновения р и расстоянием нанболыпего сближения частиц г ы. Это дает для сечения попадания электрона в область размера 4т„которое в рассматриваемом случае совпадает с сечением рекомбинации: о = пр4 = 2п44 оев~то'. 293 ГЛ.
4. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ГАЗЕ Использованный при получении этой формулы классический закон движения справедлив, если основной вклад в сечение вносят соударения с большими значениями момента столкновения с. Имеем для моментов столкновения, вносящих основной вклад в сечение: Ас)се сесе Уе'Р41ссс ' т/ Ссе где а,= Ьсспе' — радиус Бора. Таким образом, полученный результат справедлив, если размер области сильного взаимодействия электрона и комплексного иона значительно превышает характерные атомные размеры. Используя выражение для сечения рекомбинации, получим для коэффициента рекомбинации; а = — <эо> = 2п — ' ( — ) = е где угловые скобки означают усреднение по скоростям электронов, Т,— температура электронов.
Таким образом, коэффициент рекомбинации электрона и комплексного иона обратно пропорционален корню квадратному из температуры электронов. Этот результат можно получить непосредственно из формулы Брейта — Вигнера, согласно которой сечение рекомбинации через образование автоионизационного состояния электрона и иона по каналу с равно песе 121+1) Гсгс 2мз 14 — з,)е+ Гс/4 Здесь 1 — момент электрона, à — полная ширина автоионизационного уровня, Г,— ширина, отвечающая упругому рассеянию, Гс— ширина, соответствующая распаду по рассматриваемому каналу, е — энергия электрона, зс — положение схго автоионизационного уровня. Полное сечение рекомбинации есть сумма сечений рекомбинации по отдельным каналам, причем основной вклад в рекомбинацню вносят каналы с большой шириной автоионизационного уровня.
Для этих каналов вторая дробь в выражении для сечения рекомбинации не зависит от энергии электрозов. Тем самым сечение рекомбинации по основным каналам и полное сечение рекомбинации электрона и комплексного иона обратно пропорционально энергии электрона. Отсюда, как и ранее, получим, что коэффициент диссоциативной рекомбинации обратно пропорционален корню квадратному из температуры электронов. Таким образом, два разных подхода, каждый из которых по-своему учитывает сильное взаимодействие электрона и комплексного иона, приводят к одинаковому результату.
Именно: коэффициент диссоциативной рекомбинации электрона и комплекс- $4 РекомеинАция зАРяженных честиц В плАзме еда ного иона обратно пропорционален квадратному корню из температуры электронов. ! Задача 4.56. Определить коэффициент рекомбинации при малом изменении энергии рекомбиннрующей частицы в результате однократного перехода. В рассматриваемом случае уравнение (4.55) для времени рекомбинации переходит в дифференциальное уравнение. Чтобы его получить, воспользуемся уравнением Фоккера †План для плот ности вероятности как функции начального состояния(задача 1.35): 1,, д)т (е, е', 4) В, д')т (е, е', 4) дк'(е, е', г) При этом вероятность %'(е, 4) достигнуть основного состояния системе, первоначально находящейся в состоянии с энергией е, 1)р'(е, ()=1 — 1 й'(е, е', ()р(е')е(е'1, удовлетворяет уравнению д (! — е) 1 д (! — Е) де(! — Р) де де дее Отсюда получаем среднее время рекомбинации т (е) =- ) 11 — йт (е, г)1 4(4 = ') г' ( ' ) 414, которое в случае, если система первоначально находилась в состоянии с энергией е, удовлетворяет уравнению Вт" — Ат' =- — 1.
Эти же коэффициенты А и В входят и в уравнение Фоккера— Планка (!.71) для плотности вероятности Поскольку в равновесном состоянии функция распределения мак. СВЕЛЛОВСКая (%'=СЕ-е~г), тО КОэффнцИЕНтЫ А И В СВяЗаНЫ СООтношением Арс-е(Т . (Врс-еГТ) и де т. е. А= — В+в — — 'В, У где Т вЂ” температура рекомбинирующих частиц. Таким образом, уравнение для т приводится к виду Вт — ~ — —  —  — т = — 1.
гв, р1, ~1т р ) 296 гл. 4. процессы с учлстнем злРяженных члстиц в газе Решение этого уравнения: ( ) =- ~ ~ -""р (у) Ь. где еа, С,— константы интегрирования. В дальнейшем будем иметь в виду рекомбинапию электрона н иона. Энергию электрона будем отсчитывать от границы непрерывного спектра, так что е,= — !, где ) — потенциал ионизации атома. Далее, при больших (по сравнению с температурой газа) энергиях пробного электрона он должен только отдавать энергию, т. е. членом Вт" в уравнении для т можно пренебречь. Чтобы удовлетворить этому условию, следует положить С,== со, так что е е Г г(у е"'~ р (у) е 3 и (х) р (х) — ! е Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
